第三章 3.2.2　奇偶性-高中数学人教A版必修一课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
3.2.2　奇偶性
第三章　§3.2　函数的基本性质
学习目标
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.(重点)
3.应用函数的奇偶性解决简单的求值和求解析式问题.(难点)
导语
古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.
一、函数奇偶性的概念及判定
二、奇、偶函数的图象及应用
三、利用函数的奇偶性求值
随堂演练
四、利用函数的奇偶性求解析式
内容索引
函数奇偶性的概念及判定
一
问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
提示　可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
知识梳理
偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.
奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
注意点：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；②先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数；③偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；④若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0；⑤若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.
例1
　　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x5－x；
f(x)的定义域为R，它关于原点对称.
f(－x)＝(－x)5－(－x)＝－x5＋x＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
f(x)的定义域为(1，3]，不关于原点对称，
故f(x)是非奇非偶函数.
所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称.
所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.
所以f(x)＝0，
所以f(x)既为奇函数，又为偶函数.
反思感悟
(1)判断函数奇偶性的方法
①定义法：
反思感悟
②图象法：
反思感悟
(2)常用结论
①两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
②奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为奇函数.
(3)判断函数奇偶性的注意事项
①定义域优先判断是否关于原点对称；
②判断函数奇偶性定义是否成立时，注意解析式的化简.
跟踪训练1
　　 　判断下列函数的奇偶性.
所以f(x)的定义域关于原点对称.
所以f(－x)＝f(x).
故函数f(x)为偶函数.
当0当－2又f(x)的定义域为[－2，2]，则f(x)为奇函数.
奇、偶函数的图象及应用
二
例2
　　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
由题意作出函数图象如图.
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
由图可知，y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2延伸探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}.
反思感悟
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式等问题.
跟踪训练2
　　 　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.
(1)补全f(x)的图象；
描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，
则可得f(x)的图象如图所示.
(2)解不等式xf(x)>0.
结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).
利用函数的奇偶性求值
三
例3
　　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝____，b＝____.
0
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝____.
7
令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
反思感悟
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据定义列式，比较系数利用待定系数法求解(或利用特殊值求出参数，再代入条件进行检验)；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
跟踪训练3
　　 　(1)已知f(x)＝(x＋1)(ax＋1)是偶函数，则实数a的值为_____.
－1
方法一　由题意知f(－x)＝f(x)，
即(－x＋1)(－ax＋1)＝(x＋1)(ax＋1)恒成立，
即x(1＋a)＝0恒成立，所以a＝－1.
方法二　由f(－1)＝f(1)得a＝－1.经检验，符合题意.
－1
方法一　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
显然x≠0，整理得(a＋1)x＝0，
故a＋1＝0，得a＝－1.
方法二　由f(－1)＝－f(1)得a＝－1.经检验，符合题意.
利用函数的奇偶性求解析式
四
知识梳理
利用函数的奇偶性求解析式的步骤
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
注意点：
f(x)的解析式是否需要分段写.
例4
　　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
延伸探究
1.在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
∴f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2.在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式.
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
反思感悟
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
跟踪训练4
　　 　(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋a，则g(2)等于
A.－4　　B.4　　C.－8　　D.8
√
因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋a，　　　　　　　　　　　　　　　　①
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋a，
因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋a，　　　　　　　　　　　　　　　②
由②－①得2g(x)＝－2x3，所以g(x)＝－x3，所以g(2)＝－23＝－8.
(2)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1.求函数f(x)的解析式.
依题意f(0)＝0，
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－2x－1＝－f(x)，
所以f(x)＝2x＋1.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念及判定.
(2)奇函数、偶函数的图象特征及应用.
(3)利用函数的奇偶性求值.
(4)利用函数的奇偶性求解析式.
2.方法归纳：特值法、数形结合法、转化法、构造法.
3.常见误区：
(1)忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
(2)解决函数问题时忽略奇偶性的转化.