第三章 函数概念与性质 章末复习课-高中数学人教A版必修一 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
章末复习课
第三章　函数的概念与性质
知识网络
一、函数的概念
二、函数图象的画法及应用
三、函数的性质及应用
随堂演练
四、函数在生活中的应用
内容索引
函数的概念
一
1.求函数的定义域：若给定函数的解析式，以所含式子有意义为准则，列出不等式或不等式组求集合的交集(对于实际问题，定义域应注意使实际问题有意义)；若给定的函数是抽象函数，定义域一般用代入法求解.
2.函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法，含字母的要分情况讨论.
3.函数解析式可以根据不同条件选择适当的方法来求解.常用方法有：待定系数法、换元法、解方程组法、性质转化法等.
4.掌握与函数有关的基本运算与方法，提升逻辑推理、数学抽象与数学运算素养.
例1
√
(－1，1]
又函数的定义域为R，
所以x2＋1≥1，
则y∈(－1，1].
(3)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且 x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝_________.
x2＋x＋1
方法一　由已知条件得f(0)＝1，
又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以f(x)＝x2＋x＋1.
方法二　令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)，将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.
反思感悟
1.求函数的定义域，始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值集合.
(1)常见求定义域的形式：偶次根式，根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0等等.
(2)复合函数中，
注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围.
2.求函数的值域，别忘了定义域优先的原则.常用方法有：配方法、分离常数法、换元法等等.
3.求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、解不等式组法等等.
跟踪训练1
　　 　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[－2，4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是
A.[－4，4]　　　　B.[－4，2]
C.[－4，－2]　　　D.[2，4]
√
由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2.
所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4，2].
(2)在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a[－2，2]
由题意知f(x)＝x2－2，
因为x∈(－2，2]，
所以x2∈[0，4]，
所以f(x)∈[－2，2].
(3)已知f(x－1)＝2x＋5，则f(x)的解析式为___________.
f(x)＝2x＋7
设x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝2(t＋1)＋5＝2t＋7，
∴f(x)＝2x＋7.
函数图象的画法及应用
二
1.画函数的图象，可以用描点法，也可以用变换法，要注意利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图.
2.利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
3.掌握简单的基本函数图象及应用，提升直观想象和逻辑推理素养.
例2
　　(1)在平面直角坐标系中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为_____.
函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，
因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)，在(－∞，0]上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(x＋3)f(x)<0的解集是
A.(－∞，－3)∪(3，＋∞)　　B.(－∞，－3)∪(0，3)
C.(－3，0)∪(0，3)　　　　　D.(－∞，－3)∪(－3，3)
√
由题意，画出f(x)的大致图象如图，
由图可知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－3，3).
反思感悟
(1)画函数图象时要先确定函数的定义域，结合函数的奇偶性和单调性，可利用描点或图象变换作图.
(2)图象变换
②对称：y＝f(x) 　　 y＝f(－x)；
y＝f(x) y＝－f(x)；
y＝f(x) y＝－f(－x).
跟踪训练2
A.－2　　B.1　　C.2　　D.3
√
方法一　图象法：由题意画出y＝x－2和y＝－x2＋4x－2的图象，如图①，因而得到f(x)的图象，如图②，
令x－2＝－x2＋4x－2，
解得x＝0或x＝3，
所以当x＝3时，f(x)有最大值，最大值为f(3)＝3－2＝1.
方法二　当x－2≤－x2＋4x－2，即x∈[0，3]时，f(x)＝x－2在[0，3]上单调递增，所以f(x)max＝f(3)＝3－2＝1，当x－2>－x2＋4x－2，即x∈ (－∞，0)∪(3，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2在(－∞，0)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，因为f(0)＝－2，f(3)＝1，所以f(x)综上，函数f(x)的最大值为1.
函数的性质及应用
三
1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
例3
　　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.
②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；
函数f(x)的图象如图所示，
则f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1).
(3)若关于x的方程f(x)＝2a＋1有三个不同的解，求a的取值范围.
因为方程f(x)＝2a＋1有三个不同的解，
所以－1<2a＋1<1，
所以－1反思感悟
(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
跟踪训练3
(1)求实数m和n的值；
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
比较得n＝－n，即n＝0.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增.
函数在生活中的应用
四
1.以现实生活为背景，解决生活中的成本最低、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
2.通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.
例4
　　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
由题意得，当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100，
当x>20时，y＝260－100－x＝160－x，
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
当0当x＝16时，ymax＝156，
而当x>20时，160－x<140，
故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.
反思感悟
能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题中自变量的取值范围.
跟踪训练4
(1)求f(50)的值；
若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
随堂演练
A.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
√
1
2
3
4
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f(x)是奇函数.
又因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
1
2
3
4
√
所以函数为奇函数，排除C，D；
1
2
3
4
3.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
A.[－1，1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞)
D.[－1，0]∪[1，3]
√
1
2
3
4
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象，如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象，如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
1
2
3
4
{x|x≥－1，且x≠0}
由函数解析式有意义可得x＋1≥0且x≠0，
所以函数的定义域是{x|x≥－1，且x≠0}.
1
2
3
4
本课结束