10.1.2事件的关系和运算课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
1. 随机试验
2. 样本空间、样本点
复习回顾
Ω={ω1，ω2，…，ωn} 写随机试验的样本空间时看，要按照一定的顺序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．
可重复性、可预知性、随机性
样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示.
样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.
3. 随机事件有关概念：
基本事件:只包含一个样本点的事件.
事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.
必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.
Ω为必然事件.
不可能事件：在每次试验中都不会发生.
为不可能事件.
随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.
复习回顾
引例 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如:
Ci =“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”;
……
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？
请用集合的形式表示这些事件.
借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗
新课引入
思考1 用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
事件G包含事件C1.
C1={1}，G={1，3，5}
集合表示
如果事件C1发生，那么事件G一定发生.
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作
A
B
Ω
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即 则称事件A与事件B相等，记作A=B.
1. 包含关系
事件关系
D1={1,2,3}，E1={1,2}和E2={2,3}
集合表示
事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.
称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
思考2 用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作
（如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）
A
B
Ω
2. 并事件（和事件）
事件关系
C2={2}，E1={1,2}和E2={2,3}
用集合表示就是
事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生.
这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件.
思考3 用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件C2与之间的联系吗？
一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作
（如下图10.1-6所示的蓝色区域）
A
B
Ω
3. 交事件（积事件）
事件关系
C3={3}，C4={4}
用集合表示：
事件C3与事件C4不可能同时发生.
称事件C3与事件C4互斥.
思考4 用集合的形式表示事件C3=“点数为3 ”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.
（如下图10.1-7所示）
A
B
Ω
4. 互斥事件
事件关系
思考5 用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
F={2，4，6}，G={1，3，5}
用集合表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ
在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.
我们称事件F与事件G互为对立事件. 事件D1与D2也有这种关系.
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记作 .（如下图10.1-8所示）
A
Ω
5. 对立事件
事件关系
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
【归纳小结】
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如，对于三个事件A，B，C：
A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.
例题1 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌 ”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.以上都不对
B
例题巩固
例题2 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有 一次中靶”的互为对立事件是( )
A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
D
例题3 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1) 恰有一名男生与恰有2名男生；
(2) 至少有1名男生与全是男生；
(3) 至少有1名男生与全是女生；
(4) 至少有1名男生与至少有1名女生．
(4) 不互斥.
(3)互斥且对立；
(1) 互斥不对立；
(2) 不互斥；
①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言.
②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；
而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生.
互斥事件与对立事件的区别：
因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.
例题4 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ，并说明它们的含义及关系.
乙
甲
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态. 以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间Ω={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
A∪B表示电路工作正常， 表示电路工作不正常；
A∪B和 互为对立事件.
（2）根据题意，可得
例题5 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
解：(1)所有的试验结果如图所示. 用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), （3,2), (3,4),（4,1), (4,2), (4,3)}
例题5 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
(2)因为R R1, 所以R1包含事件R；
因为R∩G=Φ, 所以事件R与事件G互斥；
因为RUG=Ω, M∩N=Φ，所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为RUG=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件.
因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
1.事件的关系与运算
2.互斥事件与对立事件联系与区别
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
(2)对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.
课堂小结
1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
巩固练习
A中的两个事件能同时发生，故不互斥；
同样，B中两个事件也可以同时发生，故不互斥；
D中两个事件是对立的，
2.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；
事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.
其中正确的序号是 (　　)
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
A∪B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正确，
D∪B表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；
3.事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是________．
解析：事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”．
4.从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品不全是次品}，则下列结论正确的序号有________.
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
①②⑤
5.
A.必然事件 B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生
√
7.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则 表示的含义是__________________，事件“密码被破译”可表示为______________.
只有一人破译密码
8.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”.
(1)事件A1含有多少个样本点？
解　用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点.
8.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”.
(2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，事件B与事件Ak有怎样的关系？
解　事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.