6.4 平面向量的应用 教学设计（表格式）

教学设计
课题 向量的应用
课型 新授课
一、内容及其解析 1.内容 运用向量方法解决平面几何、物理中的问题. 2.内容解析 学生已经学面向量的概念、运算、基本定理以及坐标表示，借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用，同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤. 向量具有明确的几何背景，向量的加法、减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，向量的数乘的几何意义是平行（或共线），由此可以自然而然的利用向量来解决有关三角形、平行四边形、平面内两条直线平行或垂直关系及夹角的几何问题. 向量有丰富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解决物理力学现象，最短航程或最短时间等问题.通过解决平面几何和物理中的问题，最终归结为平面几何问题. 向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想.对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法学习解析几何做好准备. 本课时研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分的体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何的完美结合，解决问题的一把利器.因而本课时的内容蕴含了数形结合、类比、化归与转化等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养的极好载体. 二、目标及其解析 1.目标 ⑴经历几何元素转化的过程，能应用向量解决平面几何中的位置关系、长度和夹角等问题，纳出方法和步骤，体会化归与转化、数形结合的数学思想； ⑵通过对实例的转化与建模，会应用向量解释物理现象或解决物理最优问题，归纳向量法解决物理问题的方法和步骤，提升数学建模、数学运算的核心素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： ⑴学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和夹角问题，利用向量的模可以解决长度问题.从而进一步体会数形结合在解决问题的简洁性.并能够在教师的引导下，归纳向量法解决平面几何问题的“三步曲”； ⑵学生能把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系转化成数学模型，同时能利用数学模型的解来解释问题中所反映的物理现象.并归纳总结出向量法解决物理问题的方法和步骤. 三、教学问题诊断分析 学生已经学面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何意义，自然而然可以利用向量解决平面几何和生活中物理现象的相关问题. 在平面几何中，有很多问题已经运用综合法给与解决，可现在又用向量方法再解决一次，学生会有一些困惑，通过教师采取比较法，让学生深刻感受向量法解决数学问题的简捷性. 对于物理中的应用举例，如何将物理问题转化为数学模型，并利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象是学生可能会忽略的环节. 四、教学重点与难点 教学重点：用向量法解决平面几何问题、物理问题的方法和步骤. 教学难点：如何把平面几何问题、物理问题转化为向量问题. 五、教学支持条件分析 问题驱动式，启发式，合作交流式，信息技术工具，多媒体技术支持. ? ? 六、学习评价设计 评价目标： 1. 能将几何元素用向量元素来表示； 2. 能将几何关系用向量运算来表示； 3. 能用规范的数学语言叙述用向量法解决平面几何问题、物理问题的步骤. 评价方式： 1. 过程性评价：通过课堂教师提问、追问及求解相关问题，了解学生对用向量法解决平面几何、物理问题的理解情况； 2. 作业、测试反馈：通过课后作业的完成情况及测试的正答率情况，判断学生的学习效果； 3. 访谈反馈：通过面对面的交流，了解学生的困惑与问题.
七、学习活动设计 本课时教学流程图： 旧知引入——对比感悟——解决问题——明确方法步骤——强化应用. （一）旧知引入（学习任务1） 教师活动： 1. 问题情境： 我们可以发现前面学习过的向量线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景，这就说明在平面几何图形中，如平行、垂直、长度、夹角等可以由向量相关知识表示出来. 2. 驱动问题： 大家回忆下怎么用向量及其运算表示表格中的平面几何元素？ 几何特性几何元素及其表示向量元素及运算表示平行 垂直 长度 角度
学生活动： 利用向量的线性运算和数量积运算公式及变形来表示. 预设： 几何特性几何元素及其表示向量元素及运算表示平行 垂直 长度 角度
教师点评： ⑴引导用向量形式和坐标形式表示不同几何元素. （二）探究新知（学习任务2） 教师活动： 1. 问题情境： 之前我们研究平面几何常用的方法是综合法，它依据基本的逻辑原理，从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决几何问题. 2. 驱动问题： 已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？ 学生活动： 1. 分析问题： 提取材料中几何元素：直角三角形、直角边、对角线、斜边，思考这些元素间的联系. 2. 解决问题： 应用勾股定理建立元素间的关系. 预设： 教师点评： 分析提取数学知识时的准确性，建立联系，为下面做准备. 教师活动： 1. 问题情境： 矩形中存在直角，可以应用勾股定理进行逻辑推 理，一般地，将上述问题从矩形推广到平行四边形， 用综合法进行逻辑推理难度将加大. 2. 驱动问题： 上述问题从矩形推广到平行四边形，这个结论还 成立吗？若成立，结论如何证明？ 学生活动： 1. 分析问题： ⑴提取材料发现几何元素较少，利用综合法建立联系思维量较大； ⑵可否利用其他方法将几何元素转化为其他表示形式寻求联系. 2. 解决问题： 用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 预设： ⑴结论仍然成立； ⑵归纳小结向量方法解决平面几何问题的“三步曲”； 转 用向量表示问题中的几何元素，几何问题转化为向量问题 运 通过向量运算研究几何元素之间的关系 翻 把运算结果“翻译”成几何关系 ⑶ 教师点评： ⑴对比感悟综合法与向量法在解决平面几何问题中的优劣； ⑵引导用规范语言概括总结用向量法解决平面几何问题的步骤. （三）运用新知（学习任务3） 教师活动： 1. 问题情境： 通过课前填写的表格我们发现向量法也可以探究平面几何中的夹角问题，下面大家按照刚才我们总结的“三步曲”尝试解决下练习1. 2. 驱动问题： 如图，在中，，，点在线段上，且,求： （1）的长；（2）的大小. 学生活动： 1. 分析问题： ⑴理解本任务与上一个学习任务的关系； ⑵找到几何问题中长度、角与向量对应关系表示. 2. 解决问题： ⑴选好基底向量表示； ⑵利用数形结合思想，用向量法按“三步曲”求解. 预设： ⑴采用综合法解题会计算复杂； ⑵明确长度、角与向量数量积的关系. 教师点评： ⑴引导学生对比综合法与向量法，突出向量的强大工具性； ⑵按“三步曲”书写过程的逻辑性. （四）类比迁移（学习任务4） 教师活动： 1. 问题情境： 通过章引言的学习，我们了解向量理论具有丰富的物理背景，同时通过本章的学习，我们可以用向量的语言、方法表述和解决现实生活、物理中的一些问题.向量加法的三角形法则的物理模型是位移的合成，向量加法的平行四边形的物理模型是力（速度）的合成与分解，向量的数量积的物理模型是力对物体所做的功. 2. 驱动问题： 两位同学共提一桶水，两人拉力夹角越大越费 力，还是越小越费力？为什么？你能从数学的角度 解释吗？ 学生活动： 1. 分析问题： ⑴理解本任务与上一个学习任务的关系，类比向量法解决平面几何问题，尝试用向量法解决物理问题； ⑵找到物理问题中分力、合力与向量对应关系表示. 2. 解决问题： 通过直观想象将物理问题抽象为数学模型，用向量表示物理问题中的元素，数据分析建模、解模. 预设： ⑴该物理问题是力的合成问题，可以用向量加法的 平行四边形解决.设作用在水桶上的两个拉力分别为、 其夹角为 ，不妨设，水桶所受的重力为.由向量 的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识知 ⑵因为，所以，由余弦曲线可知，当由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小，这就说明，、之间的夹角越大越费力. ⑶归纳向量法解决物理问题的步骤. ①问题的转化：把物理问题转化为数学问题； ②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型； ③参数的获得：求出数学模型的有关解； ④问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. 教师点评： ⑴引导学生类比法来研究问题，总结归纳； ⑵用信息技术工具GGB验证结果，直观体现结论的准确性. （五）应用提升（学习任务5） 教师活动： 1. 问题情境： 借助向量法解决物理问题的步骤小组研究速度合成的最优问题. 2. 驱动问题： 一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为 ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间？ 学生活动： 1. 分析问题： 找到物理问题中合速度、船的速度、水流的速度与向量对应关系. 2. 解决问题： 按照向量法解决物理问题的步骤求解. 预设： ⑴船只要取垂直于河岸的方向行驶航程将最短； ⑵行进方向是垂直对岸的，分清楚是合速度的方向还是的方向； ⑶利用向量的平行四边形法则作出速度的合成； ⑷①问题的转化：“航程最短”问题 转化为向量问题； ②模型的建立：建立以向量加法平行四边形法则为主体的数学模型； ③参数的获得：利用勾股定理求出直角三角形中直角边的长度，即合速度大小； ④问题的答案：回到问题的初始状态，通过河宽度求得航行最短时间，解决相关物理问题. 教师点评： ⑴向量表示分速度、合速度的准确性； ⑵按向量知识解决物理问题的逻辑是否严谨. （六）课堂小结，总结提升 教师活动： 根据本节课的学习，明确的研究平面几何问题和物理问题的方法，回顾归纳总结的步骤，并引导学生对向量法的工具性的作用加以评价. 学生活动： 对自己本节课所有学习活动加以反思、评价和总结.
九、板书设计 1.向量法解决几何问题的“三步曲” 2.向量法解决物理的步骤课题 学习任务1、2、3 产生的问题解答 学习任务4、5 产生的问题解答
十.作业与拓展学习设计 必做题：教材P40第3题，P41第1题，P52第2题. 拓展题：探索下列四个问题的过程. ⑴为的重心(中线交点); ⑵为的垂心(高线交点); ⑶为的外心(中垂线交点)（或）; ⑷为的内心(角分线交点).