1.1集合的概念教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

【新教材】1.1集合的概念 教学设计
（人教A版）
集合是现代数学的基本语言，集合是一个基础性概念，是许多重要数学的分支，如近世代数、实变函数、泛函分析等，都建立在集合论的基础上；另一方面，在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有紧密联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础.同一个物体在不同的维度下会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。我们需要使用集合语言来表述研究范围、对象。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。
课程目标
1. 通过实例，了解集合的含义;体会元素与集合的属于关系；熟记常用数集专用符号。
2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题。
3. 知道常用数集及其专用记号；会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。
数学学科素养
1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；
2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；
3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；
4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；
5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．
难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、创设情景，揭示课题。
1．教师首先提出问题：（1）长方形的对角线互相相等；（2）等腰三角形两底角相等；（1）中的结论对所有的长方形都成立？（2）呢？
2．接着教师指出：有时候需要研究某类对象的普遍规律，如所有的长方形，所有的等腰三角形等，如何表达所有的意思？
那就需要我们把研究对象“集合”到一起成为一个整体.在数学中，我们统称这个整体为集合，例如：所有的长方形就可以组成一个集合.事实上，现实生活中也有很多包含所有的例子.
二、研探新知。
指导学生阅读课本2页（1）~（6)例子，并思考：（3）~（6）
1.能组成集合吗？
2.它们的元素分别是什么？
3.这6个实例的共同特征是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
每个小组选出—位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出6个实例的特征，并给出集合的含义。
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集)。
教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示。
质疑答辩，排难解惑，发展思维。
探究一 集合中元素的性质
教师引导学生阅读教材中的2页~3页并思考一下两个问题
所有的“老人”能否构成一个集合？由此说明什么？
不能. 其中的元素不确定 集合中的元素是确定的
2. 由1,2,0,5,︱-2 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .
集合中的元素是互异的
3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
集合没有变化 集合中的元素是没有顺序的
归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？
确定性、互异性、无序性
4.两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.
5．让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由。教师对学生的学习活动给予及时的评价。
探究三： 元素和集合的关系
教师提出问题，让学生思考
1.已知下面的两个实例：
（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.
思考：那么a，b与集合A分别有什么关系
【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.
2.元素与集合的“属于”关系
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A中的元素 aA a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 aA a不属于集合A
3.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号。
常用的数集 自然数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集
记法 Z Q R
练习1. 用符号“∈”或“ ”填空.
(1)2 N；(2)_____Q；(3)0 {0}；
(4)b {a,b,c}.
【答案】(1) ∈ (2) （3）∈ （4）∈
探究四 集合的表示方法
1.列举法
思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？
【提示】可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？
【提示】 {-1,-2}
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；
⑵ 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。
思考3：a与{a}有什么区别？
【答案】a 是一个元素，{a}是集合。
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，
例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}；
② 用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。
描述法
思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？
【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：
集合中的元素都小于10.
（2） 集合中的元素都是实数．
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:
思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？ 有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？
，或 ；
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或或。
注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
需要提醒学生不能写成{所有直角三角形}，因为{}包含所有的意思。
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解：(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.
(3)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10B={x∈Z∣10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
三、典例分析、举一反三
题型一 集合的含义
例1　考查下列每组对象，能构成一个集合的是(　　)
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④　　 B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
跟踪训练一
1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________．(填序号)
【答案】①③
题型二 元素与集合的关系
例2　(1)下列关系中，正确的有 (　　)
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【答案】　 (1) C (2) 0,1,2
解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。
跟踪训练二
2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a B，则a的值为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
3．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A.
【答案】∈　 　
【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.所以－5 A.
题型三 集合中元素的特性及应用
例3　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【答案】-1　
【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
【答案】a＝2，或a＝，或a＝－　
【解析】若2∈A，则a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝，或a＝－.
变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
【答案】a≠0且a≠1　
【解析】若A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.
变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
【答案】a=0　
【解析】由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.
解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）
四、课堂小结
培学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
五、板书设计
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集合的概念
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集合与元素的关系
例题
例题
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几何特性
3
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集合表示方法
例题
例题
)
本节内容为集合的概念，主要通过研究集合中的元素来确定集合的三个特性，由于元素的种类不同引入数集，点集等等，又由于元素的个数不同，所以元素分为有限集合无限集，从而引入了集合的表示方法：列举法和描述法。