2.5.1直线与圆的位置关系 教案

§2.5.1 直线与圆的位置关系
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线与圆的方程》第五节的第一课时。在本节课之前已经学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课用代数方法研究两者的位置关系，也是对己学内容的深化和延伸;另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。
二、学情分析
学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系，但学生还只是停留在对于直线与圆的直观“形”的感受上，而不能挖掘出内在“数”的关系。经过高一一年的学习学生掌握了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系，因此本节课我们要引导学生类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
三、教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线与圆的三种位置关系；
（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系以及通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系；
（3）运用直线和圆的方程解决实际问题。
2. 过程与方法
（1）通过引导学生对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的构建过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式；
（2）强化学生用坐标解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。
3．情态态度与价值观
通过对本节课的知识探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。
四、教学重点与难点
教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。
教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系。
五、教学设计
（一）复习回顾
问题1.点和圆的位置关系有几种？
师生活动：（1）dr 点在圆外
设计意图：让学生回顾点与圆的位置关系，引出接下来要学习的直线与圆的位置关系。
（二）创设情境
问题2.“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，他描绘了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能想象一下，直线与圆的位置关系有几种吗？
师生活动：
①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
②在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
讨论结果：初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种。
直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 图形
相交 两个 d＜r
相切 只有一个 d=r
相离 没有 d＞r
设计意图：回顾初中从“形”的角度判断直线与圆的位置关系。
（三）新知探究
问题3. 我们是否可以用直线与圆的方程来判断它们之间的位置关系呢？
已知直线：和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系。如果相交，求出它们的交点坐标。
师生活动:学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价;方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系。
解法一:由直线与圆的方程，得
方法总结：
1°将直线方程与圆的方程联立成方程组。
2°利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程。
3°求出其判别式Δ的值。
4°比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相离；若Δ=0，则直线与圆相切;若Δ＜0，则直线与圆相交。反之也成立。
解法二：圆C的方程
因此圆心C的坐标为(0,1）,半径为，
圆心C（0,1）到直线的距离
所以，直线与圆C相交，有两个公共点。
由。
把代入方程①，得;把代入方程①，得。
所以直线与圆相交有两个公共点，它们的坐标分别是A(2，0)和B(1，3)。
方法总结：
1°把直线方程化为一般式，求出圆心和半径。
2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离。
3°作判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d＜r时，直线与圆相交。
设计意图：与初中的方法进行比较，高中从“数”的角度，判断直线与圆的位置关系；同时比较两种解法，可以看出，几何法判断要比代数法判断快得多，但是若要求交点，仍需联立方程组求解。
问题4：过点 P（2，1）作圆O：x2+y2=12，求切线的方程。
师生活动:学生思考讨论，教师提示学生解题的思路，引导学生回顾直线方程的求法，考虑图形的几何性质。
分析：此切线过点P，点P位于圆外，所以过点P有两条直线与这个圆相切。要确定其方程，只需求出其斜率k，可利用待定系数法(或直接求解)。直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径，切线与法线垂直。
解法一:设切线的斜率为k，则切线的方程为
由圆心（0,0）到切线的距离等于圆的半径1，得
解法二: 设切线的斜率为k，则切线的方程为:
.
因为直线与圆相切，所以方程组 只有一组解.
消元，得
因为方程只有一个解，所以
解得
所以，所求切线的方程为
设计意图:过圆外已知点P(x，y)的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为k，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关k的方程。求出k，因为有两条，所以应有两个不同的k值，当求得的k值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于x轴的直线，所以补上一条切线x=x1。
（四）巩固练习
练习1：已知圆的方程是，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点没有公共点。
师生活动:学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价。求字母的取值范围，即求曲线公共点问题可转化为b为何值时，方程组有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题。圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题，可转化为b为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题。
解法一:若直线：和圆有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点，
则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解，
解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0，0)，半径长为2，圆心C到直线:y=x+b的距离d=。
当d＞r时，即＞，即|b|＞2，即b＞2或b＜-2时，圆与直线没有公共点;
当d=r时，即=，即|b|=2，即b=±2时，圆与直线只有一个公共点；
当d＜r时，即＜，即|b|＜2，即-2＜b＜2时，圆与直线有两个公共点。
设计意图：由于圆的特殊性，判断圆与直线的位置关系，多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法，而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断，则需要利用方程组解的个数来判断。
练习2：(1)已知直线有两个不同的公共点,求实数b的取值范围；
(2)若关于的不等式解集为R,求实数b的取值范围.
解:(1)如图3(数形结合),方程表示斜率为1,在y轴上截距为的直线；
方程表示单位圆在x轴上及其上方的半圆,
当直线过B点时,它与半圆交于两点,此时,直线记为；
当直线与半圆相切时,,直线记为.
直线要与半圆有两个不同的公共点,必须满足在与之间(包括但不包括),
所以,即所求的的取值范围是［,).
(2)不等式＞恒成立,即半圆在直线上方,
当直线过点(1,0)时,,所以所求的的取值范围是(-∞,-1).
设计意图:引导学生利用数形结合解题,有时非常方便直观，同时逆向思维已知直线与圆的位置关系求解参数的取值范围。
（五）课堂小结
(1)判断直线与圆的位置关系有几种方法？
方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系。
(2)求切线方程。
(3)已知直线与圆的位置关系求参数取值范围。
（六）作业布置
习题一：已知直线l过点P(4，0)，且与圆O：x2+y2=8相交，求直线l的倾斜角α的取值范围。
解法一：设直线l的方程为y=k(x-4)，即kx-y-4k=0，
因为直线l与圆O相交，所以圆心O到直线l的距离小于半径，
即＜2，化简得k2＜1，所以-1＜k＜1，即-1＜tanα＜1。
当0≤tanα＜1时，0≤α＜；当-1＜tanα＜0时，＜α＜π。
所以α的取值范围是［0，)∪(，π)。
解法二：设直线l的方程为y=k(x-4)，
由，消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0。
因为直线l与圆O相交，所以Δ=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)＞0，化简得k2＜1。(以下同解法一)
设计意图:平面解析几何是高考的重点和热点内容，每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题，涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法。
六、板书设计
§2.5.1 直线与圆的位置关系
问题1： 问题2： 直线与圆的三种位置关系： 相离d>r 相切d=r 相交d问题3： 问题4： 判断直线与圆位置关系的方法： 几何法： 代数法： 练习1 练习2 学生解题板书 1： 2：
七、教学反思
设计说明：
学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，但还只是停留在对于直线与圆的直观“形”的感受上，而不能挖掘出内在“数”的关系。因此本节课我们主要通过引导学生探究用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
本节课以探究为教学主题，“情境探究、教师指导”是其教学程序，“学生探究、教师指导”为其教学策略。第一阶段：复习回顾，让学生回想前面学习过的知识，为接下来的学习做铺垫。第二阶段：教师创设情境，让学生产生疑惑，激发探究欲望。第三阶段：学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价;学生提出的方法：方法一，判断直线 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系。第四阶段：共同验证，教师将学生提出的解决方法集中起来，引导学生进行比较、筛选、甄别、探索答案、去伪存真。第五阶段：总结概括，教师引导学生主动、积极地进行方法总结。第六阶段：巩固练习，通过相关问题，进一步让学生掌握并运用本节课所学知识。
整个教学过程体现了学生的主体性，教师的引导性。教师创设探究情境，引导学生运用探究方法，让学生主动探究、发现问题，提出猜想、验证猜想，总结规律，理解数学知识，形成数学技能，构建自我的知识体系，并激发学习兴趣，萌发创造的意识，提高创新能力，培养数学的科学精神，实现数学教学目标。