6.4.3 解三角形 教学设计（表格式）

课题 解三角形 年级 高一
教学背景分 析 本节课是在学习了正、余弦定理后，安排的一节应用课. 正余弦定理沟通了三角形中边与角的关系， 用这两个定理可实现边角互化，从而简化问题，明确解题方向. 解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化，二是利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题.在本节课的教学中，从这两种题型出发，用方程的思想作支撑，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题.
教 学 目 标 教学目标： 通过熟悉三角形中边与角的正余弦关系、公式的结构特点，知道这两种关系能解决解三角形中哪些问题，养成善于观察、善于总结的品质. 2．能根据问题中所给的边角关系，做出合理选择，实现边角的转化，从而解决问题，归纳总结解题方法，提高分析和解决问题的能力. 3．通过分析、探索、发现和归纳, 感受“要求什么——能求什么——怎么求”这一思考问题的方法和过程, 培养数学建模素养. 重点：综合运用正弦定理、余弦定理进行边角转化，从而解决问题． 难点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解．
（一）复习回顾，温故知新 思考：首先，我们一起来回顾一下这两个定理相关的知识 1、正弦定理：（为外接圆半径） （1）公式的常用变形： ① ② ③ （2）面积公式 2、余弦定理： . 公式的常用变形：，， 【设计意图】回顾定理的相关知识，理清知识结构，明确研究范围. 探究新知 例1．在中，角、、的对边边长分别是、、，若，，，求的值．（1解） 【师生活动】学生先分析解题思路，教师给出规范答题过程. 【分析】边边角问题可以直接利用正弦定理求出，求出，然后求解即可．也可运用余弦定理来求解． 【解答】解法一：由正弦定理 ，，， ，所以．角、、是中的内角． ，， ． 故答案为：2． 解法二： 由余弦定理 得 （舍） 变式1. 在中，角、、的对边边长分别是、、，若，，，求的值．（0解） 变式2. 在中，角、、的对边边长分别是、、，若，，，求的值．（2解） 小组讨论：正余弦定理在解三角形中分别适用哪些情形？ 预设：正弦定理适用情形： 已知两角及任一边； 已知两边及一边对角.（关注多解条件） 正弦定理可用但不方便的情形：已知两边及夹角. 余弦定理适用情形： 已知两边及夹角； 已知三边； 已知两边及一边对角.（对多解情况的判断更为方便和清晰） 追问：如何处理多解的情形？ 预设：多解时注意检验. 检验方法： ①三角形内角和为1800 ②大边对大角 、两边之和大于第三边. ③画三角形. ④将解代回已知条件，看是否符合. 【设计意图】例1及其变式体现出解边边角问题时出现的无解、1解、2解情况，学生通过练习回顾正余弦内容，结合题目的已知条件以及学生做题所选用的方法，小组讨论如何合理选择用正余弦定理. 例2. 在中，已知试判断的形状. 【解答】（法一：边化角） 又 故是等腰直角三角形. （法二：角化边） 故是等腰直角三角形. 设计意图：合理转化边角关系.解题中，题目条件不一定刚刚好满足总结的定理结构需要我们适当转化，去匹配已有经验，适当调整，寻求解决办法. 这两个定理在实际生活中有什么作用呢？首先给出测量问题中相关角的概念 仰角：目标视线在水平线上方与水平线的夹角； 俯角：目标视线在水平线下方与水平线的夹角； 方位角：从某点的正北方向起，按顺时针方向旋转到目标方向线所成的最小正角；
方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角
（仰角、俯角） （方位角） （方向角） 例3. 如图，设，两点在河的两岸，一测量者在的同侧，设计一种测量，两点间的距离的方案，并求出，间的距离． 【师生活动】在和学生讨论建立数学模型的方法上着 重强调可行性. 【分析】这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，本质上还是解三角形的问题. 【解析】测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离，，. 利用正弦定理求出AB长度. 思考：测量问题中，对于可到达的两点之间的距离，一般直接测量. 一点可到达，一点不可到达用例1，两点均不可到达，该如何测量呢？ 变式1. 若，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量，两点间的距离的方法，并求出，间的距离． 【学生活动】小组讨论并提出解决这个实际问题的方法. 【教师活动】引导学生充分展示自己的见解，营造一个探讨和辩论的氛围，激发学生的创造力. 【分析】这研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形. 若测量者在，两点的对岸取定一点（称作测量基点），则在点处只能测出的大小，因而无法解决问题. 为此，可以再取一点，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦和余弦定理算出距离了. 【解析】如图，在两点的对岸选定两点，，测得，并且在，两点分别测得，，， ，在和中，应用正弦定理得 于是在中,由余弦定理可得两点间的距离 追问：还有其他计算AB两点间距离的方法吗？ 预设：在中进行计算. 师生总结解题思路： 测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点间都不可达. 解决此类问题的方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将其转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解. (1)两点（A、B）间不可达又不可视：测量的要素是边，角,求解方法是利用余弦定理. （2）两点（A、B）间可视但不可达：测量的要素是边、角，求解方法是利用三角形内角和定理及正弦定理. (3) 两点（A、B）间都不可达：测量的要素是边、 , 求解方法是利用三角形内角和定理及正、余弦定理. 【设计意图】引导学生寻求在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式，并强化学生的数学建模意识. 例4.在中， 求; 求. 【分析】边边角问题中多解问题 【解法】（1） （法1）由 即 若 又 则 （分析：，也就是图中的垂线长度实际上是小于3（的长度）的，所以点会有两种可能，如图中所示，于是产生两个解.但是又由于,所以我们只能要一种，也就是. 因此在边边角问题中利用余弦定理出现多解情况，如果有其他条件，一定要检验.此类题目作图一目了然.） （法2） 由 解得 （分析：根据大边对大角，利用B的余弦，得到关于的一元二次不等式，但是两根之积小于0，从而的值必然一正一负，只有唯一解.） （法3） 由正弦定理 即 得. （用正弦定理避免了最后解一元二次方程出现两解的情况.） 【总结】在利用两个定理解三角形时往往要通过解方程或不等式，这时容易产生增根，注意进行检验. 有两个角，尽量就不要用余弦定理；只有两边夹一角求对边的情况用余弦定理，因为没有交叉项，解题也会简单得多.
在求三角函数时，有些情况会有余弦值为正、负数的要考虑，这时候你可以清楚的看出多出来的解是什么意义（正数是锐角、负数是钝角的区别），也可以根据题目中的具体数值直接判断哪个解是无效的. （四）课堂小结 正余弦定理沟通了三角形中边与角的关系， 用这两个定理可实现边角互化，从而简化问题. 思考：回顾本节课的学习过程,解三角形的问题中我们如何使用正余弦定理？ 预设：“边化角，角化边”是我们解决三角形问题的主要策略. （1）已知三边，或两边及夹角用余弦关系； （2）已知两角及任意一边用正弦关系 （3）已知两边及一边对角，可用正弦关系、也可以用余弦关系. （此时会出现无解、一解、两解的情况） “边边角问题”求边，利用余弦关系，建立所求边的二次方程较为简便. 【设计意图】回顾整节课不断在解题中积累经验的过程，提炼解题策略和指导思想，获得深层的理解. 反馈练习. 1. 在中，角、、的对边边长分别是、、，已知 【解答】原式可化为 等式两边都有，消去 ， 即 . . 3.一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h, 在A处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向上. 30分钟后, 船航行到B处, 在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上. 已知距离此灯塔6.5海里以外的海区为航行安全区域, 这艘船可以继续沿正北方向航行吗？