3.3幂函数教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§3.3 幂函数
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学必修第一册》第三章第三节《幂函数》，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数的的概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质研究函数的意识。从教材地位看，学生对特殊的正反比例函数和二次函数等已经很熟，幂函数正是对这些在形式上有着共同特征的函数的推广;从研究方法上看本节突出幂指数从特殊到一般的推广，为后续学习做了铺垫。
二、学情分析
在知识上，学生已经有了学习指数函数和对数函数的经历，有初中的一次函数、二次函数和反比例函数等作为基础，这为学习幂函数做好了知识和方法上的准备。在能力上，学生已经具备一定的形象思维和抽象思维能力，有一定的分析和解决问题的能力。对于进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，需要教师点拨。
三、教学目标
1．知识与技能
（1）通过5个具体的实例了解幂函数的概念;
（2）并通过具体实例研究幂函数的图象和性质，能初步进行应用。
2. 过程与方法
（1）通过引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法；
通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣；
（3）对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力。
3．情态态度与价值观
进一步渗透数形结合、分类讨论、类比和归纳的数学思想方法;通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神。
四、教学重点与难点
教学重点：通过五个具体的幂函数了解概念，研究性质，体会图象的变化规律。
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质。
五、教学设计
（一）实例观察，引入新课
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要支付元
是的函数
（2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积
是的函数
（3）如果立方体的边长为,那么立方体的体积
是的函数
（4）如果一个正方形场地的面积为,那么正方形的边长
是的函数
（5）如果某人 s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度km/s
是的函数
问题1：观察以上问题中的函数具有什么共同特征
师生活动：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数（为定值）.
设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的定义.
（二）类比联想，探究新知
1.幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。
问题2：判断， ， 是否为幂函数。
师生活动：幂函数的解析式必须是的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．
设计意图：加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
幂函数的图像与性质
问题3：有了幂函数的定义，接着我们应该研究什么？
师生活动：根据我们学习过的函数的知识，应该研究函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等性质。
根据初中学习函数的经验，我们可以先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质
不妨也找出典型的函数作为代表：
追问1： 的图像是我们熟悉的，如何画出 的图像呢？
师生活动：观察函数解析式的特点，得出是奇函数，的定义域为非负数的集合，取点利用描点法作图。学生进行作图，在同一坐标系中画出五个幂函数的图像。
问题4：观察这五个函数图像，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？
师生活动：学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中。
(
函
数
性
质
) y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞) {x︱x≠0}
值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y︱y≠0}
单调性 增 (-∞,0)增 [0，+∞)减 增 增 (-∞,0)减 （0+∞)减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 （1,1）
问题5：观察图像所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？
师生活动：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.
问题6：第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？
师生活动：当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.
教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.
问题7：所有图像都过哪些点，为什么？
学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.
问题8：对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？
学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.
问题9：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？
学生反应：当01时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.
教师活动：在01时，指数大的函数值就大.
【总结】
幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：
【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.
新知应用
问题10：利用图像得出幂函数的性质并不严谨，我们还应该对其进行严格的证明。
你能证明幂函数在[0，+∞)上是增函数吗？
师生活动：学生独立完成，请几位学生板书证明过程。教师对学生的证明过程进行评价纠错。
证明：
设计意图：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断
（四）巩固练习
练习1：比较下列各组数种两个值的大小。
（1）
（2）
（3）
解：:(1) y= 5.2x是增函数,
∵0.1<0.2　∴ 5.20.1 < 5.20.2
(2) y=x0.9在(0,+∞)内是增函数
∵ 3.2<3.7∴ 3.20.9 <3.70.9
（3） 1.72.5<1.82.5<1.83.5
练习2 ：已知一个函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解：依题意,得 解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为符合题意.
当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2
【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.
（五）课堂小结
（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.
（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
（六）课后作业
P79习题2.3： 1，2，3.
板书设计
§3.3幂函数
定义 二、五个特殊的幂函数的性质 例题1： 函数图像：
七、教学反思