华大新高考联盟2023年名校高考预测5月文科数学试卷（PDF版含解析）

四省 联合
名校 命题
华大新高考联盟2023年名校高考预测卷（全国卷）
文科数学
本试题卷共 4 页，共 23 题。满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1.答题前，允斗寄自己的姓名 、准考证号填写在试卷和答题卡上．并将准考证号条形码贴在答题卡上的指
定位置。
2.选择题的作答·每小题选出答案后．用2B铅笔祀答是豆宇土对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷 、 苹
稿纸和答题卡上的非$.足足区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在主 题卡丰对应的 题区城内。写在试卷 、苹；！；1，纸和答题卡丰
的非答是革区域均元效。
4.考试结求后，请将本试卷和主 题卡一并上交 。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1若集合A={xl内＋ )A. (-4 ，一？］ B. (-4，一3] c. [-3,0) 。［-f ,o)
22一-一3，，.，1 ＋（4 i) i9一 0, · 1+21 "＂旧的应部为
气2－7 一9 c· . 11 3一 H 一 一－5 5 》－叫 5 0 73
3.中心对称图形的叠加会产生对称美的效果，现有如下叠加：在正六边形 c
ABCDEF 中，JIR六条边的中点顺次连接，得到一个六边形，将上述步骤jlJ重
复一次，得到六边形 GHIJKL 如i望所示，则往正六边形 ABCDEF 中任意
投掷一点．该点落在六边形GHTJKL I材的概率为
A 4－ RU 一2qd 3
C F E . l.. 1 D.立6
4已知幕函数 f（』
A.函数 f(xφ）7'1奇涵数 B.函数｛（.x）为｛肉函数
c. 函数 f数学试题｛全罔文科数学） 第1页（共4页）
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5 已知首项为÷的数列｛ －(l，， 州市r n 项和为 S., ，；（＃ 比 S.，）问＋l)+l ＝川!IJ a, α2 ' (13 ' ．α2 阳
A÷ B 1 c. -t D÷
6.已知平而向最 a,b 满足｜α1=3,lbl=LIα＋Zbl=4，则 a-3b,b 夹角的余弦值为
A 一－－－：－ B. 一J百－ C.-4 D 车
4 .12 6 6
7.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的而积． 当我们垂直地缩小一个圆时，我们得
到一个椭圆椭圆的丽积等于困用率 π 与椭圆的附轴伏与短半袖长的乘积已知椭圆 C，兰＋丢＝ 1
a o
(a>b＞们的而积为21π，点 P 在椭圆C上·同点 P -与椭圆C左 、右顶点连续的斜率之积为一立49 ，记椭圆 C
的两个焦点分别为只，凡，』!IJIPF, I的值不可能为
A. 4 8. 7 C. 10 D. 14
8.己知在边 l王为2的正方体 ABCD-A I Bi C, D， 中，点M在线段 B, q上〈含端点位置），现有女II下说法：
①CM／／平而A 1 BD；②CM..l_AC ， ，③点M到平丽ABC 1 D1 的距离的最大值为l.则正确说法的个数为
A. 0 B. l C. 2 D. 3
9己知双曲线C：王－}z=l归＞吵。）的左 、 右焦点分另肌，F2 .,1/;i_ M,N 在双曲线C上，P(-a,O）.若
L:::.PMN 为等边三角形，且IPF2I=I凡Ml=IF 2 NI ,Y！ 双曲线C的渐近线方程为
一 M
A － 土－Z B.y＝Y 士子 C.y＝ 土z D.y＝ 土子3
10.已知正数α，b,c 满足α，b,c笋 l,a说法：
①若。，b,c廷 (l, +oo），则VxEO，＋＝），都有 m<,·1＜川
②若a,b,c廷 (l, +oo），贝1JV xE co，门，都有 11③若α，b,cE (l, +oo），贝IJVxE(O,+oo），都有 lm-x ｜《In-xi《｜川一叫：
＠若 a,b,cE (0, l），贝1JVx E [l , ＋＝），都有I11-xl 《Im-xi《Im一叫 ．
则正确说法的个数为
A. 1 B.2 c. 3 0.4
11.已知函数 f(x)=si 日 飞（x-1L4 卜 Isin x+cos x I ，则下列说法错误的是I
八．函数 f(x ） 的最小正周期为K
E函数 f(x） 在［号，于］上单调递减
C 轩 j(:1·, 一)+ j(xz） ＝ ，／？， ’ 911
D.函数 g(.1')=4/(:i:)-:i· 有4个零点
已知函数 If (x,) 1 . -f (x2) I 2 f(x)= (./: +l) 矿，若对任意。＜.1-·1J
＇） 恒成立，则实数 A 的
取｛自范围为
人（一oo, l] B. [l ,+oo) c. （ 一oo,3] D. ［三，＋∞）
数学试题〈全罔文科数学〉 第2页（共4页〉
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二 、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.为了反映城市的人口数啃 3 与 tllt业压力指数y之间的变最关系，创究人员
－立 主
选择使用非线性国归模型 ＇y= e e 0 对所测数掘进行拟合，并设立 ＝ lny, ：
得到的数据如表所示．则 曰 同曰c ＝一一一一－－
( 42 ,· ,.:r二主2.
14.已知函数／（x） ＝才 则j(2x-2）》f(x+l)的解线为创 一一一一·
l4 ＇气 ， x<2,
_s,.+1 15.已知数列｛a，.｝的前， 一1 项和为s，. . 且ι 一言一，首项为1的iE项数列｛b. . ｝满足b l b2 b3 .…·仇＝
（α，， · b,. >" ,Y!tl数列｛b，.｝的前， ＝I J吸: 初Q，， 一一一一－－
16.已知长方体ABCD-A =1 B 1 C1 D1 中 ， AB BCA 1 B,A矶的夹角为 肉 ，直线 A,B.FlD的夹角为的 ·直线 AM.BO的夹角为的 ，则°＇1 ,az 、的之间的大小关
系为一一一一·（棋线上按照从小到大的顺序进行书写）
三 、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～ 21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、 23题为选考题 ，考生按照要求作答。
｛ 一 ）必考题：共60 分。
17. (12分）
已知在6ABC 中，角Aβ， ，C所对的边分； IJ为α， 3b,c 其， 中E川
(l）求角 B的大小：
(2）若6AHC的面积为6.求61\HC的周长．
18. < 12分） s
如｜望所示因， 棱锥 .S-ABCD 中 点， E在线段 AB 上（不含端点位鱼、），，：乙ABC
＝仨BJ\D＝ 旷，AB= BC= SJ\ =/2 SB=/2 SC＝ 川＝4.
(1）求证 ： 平面 SBC_I_ 平面 ABCD;
(2）若问团体 BCSE的体积为4一－点3 ，＃IJ!Jfr6BCE是否为茧，角三角形 ． 莉：是，i言
A
指出哪个角是直角若， 不是．消说明理由．
19. 02分）
为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测．所得数据统计虫fl下囱所示 ．
频率／主lli'?
0.041 · ..
0 03← ”－……，．－ ，－－－
(l）求α的值以及这批产品质最指标的平均值；
(2）若按照分层的方法从质盘指标值在［110, 130）的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机摘取
2件，求至少有一件的指标值在［120,130）的概率；
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(3）为了调查A、8两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性，以便提高产品的叫：1产效率，质检人员
选取了部分被抽查的产品进行了统计，所得数据如｜下表所示，判断是否有 99. 9.%的把握认为机器类型与生
产的产品质量具有相羔性．
A饥苦苦生产 B flt苦苦生产
优质品 200 80
合格品 120 80
附：
＇
Pk I 3. 841 I 6. 63s I 1o . s28
k= 11(ad-bc)
2
（α＋b)(c+d）（α＋c)(b+d)'
20. (12分）
已知圆 c， 过点（ －3,0). （ 一1,2),(1，的，抛物线C2 :i=2阳（卢＞O）过川（士，1).
(1）习之四 c， 的方程以及抛物线C2 的方程；
(2）过点A作抛物线Ci 的切线i与圆 c ， 交于 P,Q两点，点B在回C ， 上，且直线 BP,BQ 均为抛物线
C2 的切线，求满足条件的所有点B的坐标．
21. (12分）
己知函数 f(:r ) =xln 2.x+ ).:r .
(1）若曲线y=f（川在0,/(1））处的切线与直线x-y=O 相互垂直，探究函数 f（ 川的单调性；
－
(2）若两数 ＇ ，g(x) = f (x) +e 有唯一的极假0，求λ的值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题申任选一题作答，如果多选， 则按所做的第－题计分。
22. (10分）［选修4 4：坐标系与参数方程］
2
( t +2
已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C的参数方程为4 0为参数〉．以坐标殿、点。为极点，
I 3t4 一 18
ly＝一τ「’
’
2 铀的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P(2号），曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin 8，直线t的极坐标方程
为ρsin(e+{ )=3，且直线i与州线C交于 A,B 两点
(l）求,6,PAB 的面积；
(2）若,6,0AB 的外接圆与曲线C交于 M.N 两点，＞k直线 MN 的极坐标方程
23. 00分）［选修4-5：不等式选讲］
已知函数／ω ＝ ｜叶11，且.／（.r),;;;;;4的解集为［－t,1J.
(1）求不等式／（x)+lx+3l>6的解集；
－
(2）若关于r的不等式 f ρ）－ :3'＇岳王13ρ－（ 21 +,1. 3 ·对任意的户，q但成立，求实数A的取值范｜重｜ ．
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机密，传启用前（全国卷文科数学）
华大新高考联盟2023年名校高考押题卷
文科数学参考答案和评分标准
一
、选择题
1.【答案JB
【命题立意】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法、对勾函数的值域，考查数学运算 、 逆辑推理 、 直
观想象的核心素养．
【解析】 依题意，A= {.xi .r(.r＋以O} = {.rl-4<.rAnB= (-4,-3］ ， 故选B.
2.【答案）A
E命题立忘iJ本题’考 复数的运算 、 复数的概念，考查数学运算 、逻辑推理的核心素养．
一 i
【解析】依题嚣’I丰五2 3i十（4-1. )1·2 023 一（(21十-3 )(l2i)(l
--2i) 一 二主二卫＿ . 一 9 一 27 2i）一（4
i)i-一 5 41 l= τ τi，故所求应
都为一 27 τ，故逃A.
3.［答案】C
E命题立意】本题考查几何I概型，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建 B C
i锐的核心素养．
【解析】不妨设 AB=4 ，则GL=2·GM·c os 30。＝ 2 BM cos 30。·cos 30。
6×车×32 -
= 3，故所求概率 P＝－－.＋一一＝牛
× .n ×4'_ 16
，以选C
6 」f
4.［答案JB F
E命题立意】本题考查籍；函数的图象与性质．考查数学运算 、逻辑推理 、 直xW,想象的核心素养．
E解析阳意，.r＂＝纭， 则♂ ＝α十1， 易知该方貌有唯一解卢，故f(x)=.r0， 易知该函数为偶函数，故
选B.
5.［答案】I)
E命题立意】本题考查数列的递推公式 、数列的周期性，考查数学运算 、逻辑推理的核心素养．
一
E解析I依题意，α川（α ，，＋1>+1一 α 一α，， 1、－，， 则a,.+I ；，：丰l ；阳α，
1
＝ 言，则 一az －－ τ，α3 = -2，向 ＝ 3，的 ＝言，．．，
故仰JI {α，， ｝的周期为4又 a, .α2 .α ＂ .向 ＝ l，贝lj a 1 ·α . “ ·ω ＝2 ÷故逃。3
6.［答案】A
E命题立意】本题考查平而｜句蠢的数量积，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析lf夜题：忘. la+Zbl 2 ＝ α2 +4b2 +4α·b = 16，解得。 ·b ＝ 立4 ，故｜α
－ 3bl = ./a2 -6α· b+9b2 =
3
F习工；＝ -:--3手 厅，攸 cos2
文科数学参考答案和评分标准 第 1 页（共 7 页〉
7. ［答案】D
E命题立意】本题考资椭圆的方程与性质，考资数学运算 、逻辑推理 、 直观想象的核心素养．
(ab= 2l,
脚析】依题嚣，制 rl 9解得α ＝ 7,b=3，则 c＝ ＝2汀古，故 7-2 ./I古 ＝α －’ c IPF,I《
l a2 49
〈＋α ＝2,/Io+7，故逃。－
8.【答案】C D, C1
【命题立意】本题5号药！空间线丽的位置关系，考查数学运算 、 逻辑推理 、 直观
想象的核心素养．
【解析1因为平而 A,BD／／平而CB 1 D1 .所以CM／／平面 A1 BD，故①正确；
因为AC,_L_平丽 CB ， 队，CMC平丽CB1 D ， ，故CM_L_AC1 ，故②；正确；当点
M 在端点矶时，点M到平商ABC 1 D 1 的距离为最大值J言，故③错误．攸
选c.
9.［答案】D
E命题立意】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算 、逻辑推坝 、 直xW,
想象的核心素养．
E解析】由双向线的对称性可知，点M,N在双f掬线C的右交上，且ζ 。MP凡 ＝ 30 ，又IF2 PI = I F ＝2 MI α ＋c,
故ζPF M =1 l20
。．连接F,M，则IF,MI 一IF 2 MI =2a，故IF.Ml=3α＋ι在今MF 1F 2 中．由余弦定理叮
得I F, MI 2 = IF 1 F 2 I 2 + I凡Ml 2 -2 IF,F
° 2 2
2 II F 2 MI cos 120 ，自ll (3a+c) = (2c) + (a+ci-2× 2c×
附）×cos 1肌脚得 4a2 +ac-3c2 =o，阳咛寸，时 ＝号，故双曲线C的渐近线方都＂.］ y＝ 士孚 .1:'
故选D.
10.【答案】C
【命题立意】本是重考查指对数函数的图象与性质，考，J!l:数学运算 、逻辑推理 、 直观想象的核心素rf.
【解析】令 m-.x = loK （αr 十的 一 log,.c·' = lo息［（子）＇＋（子r J = f(.r），因为 y＝ （子）＇＋（子丁在定义域
上正在调递减 .y= log..x 在定义域上正在调递槽，放 I＜川在(1，＋∞）上单调递减，故 f(x)o.故 111-x一 （tr在定义域上单调边增，y＝ 阳在定义域上单调递增，故g(x）在(l,+oo）上单调递增，故g(.r);
>gO) = log,,l = O，故 n-x>O，即，，＞：. c综上所述，若α，b,cECl,+oo），则V :r·E门，＋∞），都有l＜川
l，由①的推论
俐 － ’ ”
可知，η＞x>m>J ,Ji!IJ I 11-..rl< I 111-111，而♂’
＂ r b ，， ／飞
－ （／ ＝ c·’ －b＂ ＝旷，攸一一一 ----dL ， （ -l广州b ＞ 手） ＞川 则。 飞口j
＇＇
（ ） j ，故[j'-"'I m-xl< I ,1-x I Im一忡，当且仅当x = l日才等号成立，则＠正确；同理可得，④正确. 次选c.
11.【答案】D
【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算 、逻辑梳理、直观想象的核心索养．
｜一孚cos 2x，一干 ＋2krr x ＋2阳，
【解析E依题意， f(x) = sin(、x
一子吨 ） lsinx+cosxl
＝ 斗 “ ., 丁 ｛走廷
I
lI Jzzcos轧f
句 +2k1r . · 《于十2阳
文科数学参考答案和评分标准 第 2 页（共 7 页〉
到，作出函数 ！＜川的大致 ，象如 i到所示，观察可贵U,A 、 B正确；若 f<:r,) + /Cr2) = -J言，可以取 x, =o,
Xz ＝号，故C正确；由于户／（x）与户丘 ＝ －4 有5个交点，故函数 g(x ） 仙） .1. 有5个零点，故。销
误 ． 故选D.
y
12.（答案】D
E命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质， 考查数学运算 、 逆辑推涩 、 直iW-想象的核心素养．
E解析】当r廷（O，＋＝）肘，f(x)= <.i+2x十l)e'=(.r+l)2 町’ ＞O,i皮 I J<.:r, )-Jlf(.r, )-f（马）｜
f(xz) = (xf+l)矿， 一 （过＋1) e'2， 故 ＋ s < A (e't一的 , ρ）伸 （xf + 1）矿，
－ ilea'1 <
e
(x + l）ρ － ile2s2 令 g(x)= (.:r2 +l)e'-ile2.. .:iε（0， 十∞） ． 则 g' (x) = (x+ l) 2 er -2Ae2r ’，令g Ct)
运0，故Zil》坦坦羊，令 h (x) ＝立土丘， 故 h' (x) ＝江乒，故当.rE O，当反e" e'
(l.+oo）时，h'(x)解得应号， 以实数A的阳范围为［专＋∞），似选D
二、填空题
13.【答案】3.
【命题立意】本题考查回归直线方程及其应用 ． 考查数学运算 、逻辑推理 、数学建模的核心素养．
【解析）1衣题意，z= lny = ln(e-
-1!;;; e品i ＇· ·） 7 一一9 一 －10 x 10 ，’ 而回归直线方程z
7 9
一 I
－ 一一 过 （7 一13－＋叶x l故
J 10 10 点 飞 ’ ，J I
－一－13+c ＝－一7×7一 一9
4 10 10 ，解得c
= 3.
14.【答案】［专3].
【命题立意】本题考查分段函数的图象与性质 、 一元二次不等式的j院法，考查数学运算 、 逻辑推理 、直观想
象的核心素养．
【解析】依题意，J(x） 的图象关于直线 x = 2 对称，且 I ＜川在（2,+oo）上单调递减；令 g(x) = J＜工＋2)
为偶函数， 故f(2x-2）》f(x十1）悼f(2:i.·-4十2）》f(x 一 1+2）间g(2x-4）二:l'g(x一1）间l2x-41《
lx-11同f x《3
15.【答案】一4 一一一l一 3 3 4” 寸E
’
E命题立意1本题考查等比数列的基本运算，考查数学运算 、 逻辑推理的核心素养．
S+I S+l
= ＝ ＝工
S-. ,+1 【解析） 11=1时，α ＝1 亏L抑得α 1 1，当府2时，α ，， 」2'a川 俨，阀式相诚可得－：：－； =
「l ”
2，自立数列｛ a,, ｝是以1为益
’项 、 2 }J 公比的等比数列，放的 ＝ L「川 ． 记 T,, =b, b b3 ·…· b = ,, (2 b”） ，2
7、 （2”
－I/J，.） ” 2"<" l>(/J,.)" I ( \" 2＜”们〈
， υ
故当 一 一 b,. 'T” ， ’(2"-2{J” 〉「l ” ( ,o-J）《，，－－ I － I 2 Z> (b,,_ ） ＂叶, ＼b,.-1)
文科数学参考答案和评分标准 第3页〈共7页〉
为 b,, 1
1
b,,>O，故一 ι＝一，4 故数夕。｛b” ｝是以1为首项
1
、7为公比的等比数歹lj 古 4 1 ，故 Q’ 一 一一 一一一一 一 一’－一＝ I
b,, · ， ，＿ _l 3 3 4I
- 4
16.【答案la1＜的＜的·
【命题立意】本Im考查空间线丽的位置关系，考查敏学运算 、逻辑推理 、直观想象的核心素养 ．
【解析1 记 BB = 1 a, AB = BC = b ，故cosα1＝」一α2 ＝一牛－I \τ ＞
止
2 ，故α1εr\· o. +-)· . cosα2
=
+f/ o }
1+r-1
b
f」p寸，敞的廷（号，号），易知的寸，敞的＜的$J王 ·ll丰'if
Jz·J1+(!;-r
三 、 解答题
17.【命题立葱、】本题考查正余弦定理 、三角形的面积公式 ， 考查数学运算 、逻辑推理 、直观想象的核心素养．
【解析】Cl 〕依题 ；，有 b cos A=2a cos B,
由正弦定理，得sinB cos A=2sin A· cos B ，则tan B=2tan A. …………………………….. (1分）
n 2C 2tan C 3 . ＝一一一一「＝一4 ’， ..3 tan"C+8tan C-3
=0. ..(
1-ta旷C 2分）
·:c 为钝角，忡n C =-3( tan C＝÷舍去）， ..( 3分）
:. tan C= tan［π一 （A+B)] =-tanCA+B) = tan /\+tanβ 3tan B 一 3 ， …… …. ）I-tan A tan B tan2
(4分
B-2
解得tanB=l(tan B=-2舍去），即 B＝王4· ..................................................................(5分）
(2) ·: tan C= -3, :.sin C·一-－3 v'1o ’cos乙·， 一-一－/I－－百 .. 10 10 (6分）
·:J\+B+C＝π，二 A π一＝ ＜B+C),
:.sin A=sin［π一 （β＋C)J= sin（β＋C) =sin B cos C+cos B sin C
＝丘×（一正!Q)+R×叫互＝丘飞 10 2 10 5 ·估分）I
理，得一一一＝一一－ _ 一一一一c sin A 由正弦定 ’a＝ ．
. α c × .：：！..：：！.....！乓＝ ×一－－；：：：＝10 =.::!.!:::....9 ( ）
A sin C sin C ， ． 5 3
c 9分
3 .J l O
:.L,.ABC 的面积S＝ταcsinβ一一一1 ×一－Jz c× ×一一在 ＿一一／ =2 2 3 c 2 6 ＝6 ， 解得 c 6,a
= 2,布r;;- ， .. ( 11 分）
由正弦定理，得一一－＝一一－ 一c sin B .I7 10 r-sin B sin C' · · b
＝ 一一一＝6×丛×一－－；：：：＝= J5 , sin C 2 2Vυ 3 .J1 0
二L>.ABC 的周长为2Jz+2Js+6. …………… …………………………………… …………(12分）
18.【命题立意】本题考查空间线丽的位置关系 、空间儿何体的表面积与体积，考查数学运算 、 逻辑推理 、 直观
想象的核心素养
E解析】(1)iiE明：设点 M 为 BC 的中点 ，连接 SM.MA.
由题意得SM_l_BC，且 SM=2, ……………………………………………………….......…........门分）
．·．在L>.ABM 中，由余弦定理可得 MA=2点，则MAJ_BC. ……………………………………….(2分）
易得 MC//AD，且 MC=AD=2 ，则四边形 AMCD 为矩形， ：.AM//CD. …………………...(3分）
在L>.SAl\1 中 ， SJ\2 =AM2+SM 飞 二SM_l_MA, ...............................................................( 4分）
而M/\nBC=M, :.SM＿］＿平而 ABCD, ························………..........….........…….......…（5分）
文科数学参考答案和评分标准 第4页〈共7页）
而SMC平面 SBC ， 自立平面 SBC..l平面 ABCD. ... .....………….........................…………… （6分）
(2）由（］）知平面 ABCD..l平丽 SBC,
设点E到平而 SBC 的距离为 1 h , 二 VHSEC =V SIJC -一τSt:,Sl',C h
－ /3
- ， ………………........…E 3 （
8分）
卡护 2队2/2问＝ 午， ， h ＝i:; ♂＝士AM，阳城段 AB 的中点， 川分）
在l:i.EBC 中，βC=4，ζEBC 60。= ，EB=2，易得ζBCE= 30。，ζβEC=90。． ………………… (12分）
19.【命题立意】本题考查频率分布直方图、独立性检验、古典概型的概率 ，考查数学运算、逻辑推理、数学建模
的核心素养
【解析】(1）由题图可知，0. 005×2×10＋。×10+0. 03×10+0. 04×10=1,
解得。＝ O. 02, …………………………………......………………………………………………… 门分）
质量指标的平均值x=1os×0. 05+115×0. 4+125×0. 3+ 135×0. 2+145×0. 05=123. ...… ＂ (3 分）
(2）依题意，质盘指标值在［110,120）的有4件，记为L2 、 3 、 4，质量指标值在［120,130）的有3件，记为
A 、 B 、c,
则随机抽取2件，所有的情况为(1,2),(1,3) ,<1,4), (1,A) ,(2,C),(3 ， 的，（3 ，剧 ， 门，阶，（3,C), (4,A),( 4 ， 剖 ， （4,C） ， 悦 ， 剖，（A,C),(B,C) ， 共21件 ， … （5分）
其中满足条件的为门，A）＇（］，酌，（1,C),(2,A), (2, B), (2 ， 。 ， 门，A），门，酌， 门，C），仆，A), (4 ， 酌，
(4,C),(A，白，（A,C），惜，C），共15件， … …………………………………… ………………·· ω分）
故所求概率 P＝一15 ＝一5 ． …… …………… ……………………………………………………… 口分21 7 ）
(3）完善表格如下：
A饥骨苦生产 日机器生产 总 ii'
优质品 200 80 280
合格品 120 80 200
总i十 320 160 480
中， ,＇ 的 ＝ 480×(16 000-9 600沪在本次试验 K 观测值 k 。Of\'-/ 4')f\l'\ V ')")f\ V 1 r.／＼ 臼6. 857<10. 828,
故没有99. 9.%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性． …………………………… (12分）
20.【命题立葱、】卒；题考查抛物线的方程、圆的方程、直线与抛物线的位置关系，考查数学运算、逻辑；在理、直观
想象的核心素养．
【解析】(1）设因C ,x21 +y2+Dx+Ey+F=O,
(9-3D+F=O, (0=2 宅
故，｛S-D+2E+P=O，解得才 E=O, 故因C1 ,x2 +y2+2x-3=0, …… ………………··臼分）
ll+D+F=O, lF=-3,
将 A（士 ，1）代人／ ＝ 2阳中，附ρ＝ 2，故抛物线 C2 的方程为 y2=4x . (4分）
(2）设 P ＜ 句，Y,) ,Q（句，Yz ） ，设切线 lm, ,x-x, =t, (y-y1) ,l I一句＝即 tz(y-yz),
过抛物线Q上店、 A （士 ，1）的切线方程为 y=2x＋乞
LW t 一 l l l ： I Y一τ，记 to ＝ ·① … ………………………… ………… …… ……………………. (5用 丁f 分）丁f
设过点P的直线 x-x,=t, (y-y，） 与抛物线C 柑切，代人抛物线方程 y2=2 4x,
得 2y -4i,y+4t 1 y1-4x,=O,
文科数学参考答案和评分标准第5页（共7页）
则 L', ＝ 叫 一16(t,y, -x,)= O, !!P 1f-y11 1 +x, =O，所以÷1 = =1 x ， ÷＋1, y,, (7分）
1 =2.r =y 一士，所以2y ＝1 1 ， ， 的， ＋1，②，同理可得 1 ＝2 怀
所以切线lw ,x-x, =2:r, (y-y,) ,l ： x 一句 ＝8曰 2x 2 (y-yρ，
联立j,9;｝式消去y，可得x =ll 2x,x2 羊二1'.!=4.1· :r· ，＠……………………………………………… 9分x ）2-x 1 2 （1
u 4rι，
一1+」2＝一 一 vL, 代人l/JI, nJ1; y 丁 ④
代人②得 Yu =2(x,+xz),
l l , 11
联立 lro ,x=-y一一与愿IC 可得 5x"+4x一一， ＝ ,l'U 2 4 I， O
所以x ＝ 一1 +x2 τ，x,x =-
ll
zo ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 (11分）
分别代人＠、 ＠可得 xa 11 ＝ 一τ，Ya ＝ 一τ’
2 2
(x 十1ll )’' +Y牛ii = I［ 一1一1 ＋l)\J ＋（
I 一一8 ）\ =4，即切线βP,BQ 的交点B在圆 c 上，
\ 5 \ 5/ ，
J
1
所以B［I 一一1 一’ －8 ）\ . ………………………… …………… ………………………………… 02分）\ 5 5 J'
21.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质 ，考查数学运算、逻辑推理 、直观想象的核心素养
【解析】Cl）依题意，f(x)= lnx+ 1 +2,1.1，故／0)=1+2,1 ＝ 一 I，解得,1＝ 一 l， ……………….. (l分）
则 f(x) =xlnx-x2， 故／（x)=lnx+l-2x ， 则／
＇(.l')= l.-2, ....................................... (2分）
工
故当zξ（o古）时，／＇（x川，当rξ（÷’＋∞）时，／＇（x
故函数／Cx）在（o，÷）上单调递增，在（÷，＋∞）上单调递诫’ 刊）
故［／( I 1 \ lx) Jmax = r （τ）＝Inτ＋1 一2×τ＜O，故／（x)则两数 j （川在（O,+oo）上单调递减． …............……….........………......……......……...... (5分）
(2)g(x)= e' '+xlnx+h2 ,g ’（x)= e' '+lnx+l+2h.
( g(.10)= e' -' +x0lnx0 +b:i· =O， ①
设 g(x ） 唯一的极值点为Xo，贝IJ才 …· (6分）
怡’（x- )=0 e'o 1 +ln:r0 + 1 +2λx- =0 0，②
由②×x。 一 ①×2 得 ， cx.-2)e···.-J-.x、lnx0+x =0. （铃） ………… ………… ……..0 (7分）
令F(x)=(.r －一 川 ＇－xi叶x,Y川 F'(x)= (.r一l)e"- 1 一l几所以F'(x) =.re·户’ 一士
又 F' ’
所以当xE CO,l）时，F"(x)当xE Cl,+00）时， F''(x)>O，从而F' Cx）单调递增，
故 F' 又因为F(l)=O，所以代人①可待,1＝ 一1. ………………………………………………………… (10分）
当,1＝ 一1时，g(.r)= e··叫＋.d： n.r-.r2 ,g’（.r)= e'-'+In I 十 l-2x,
因为 x= l是（提）的唯一零点， .El g(l)= O, ’g (1) =O， …………………………………………… (11分）
所以x =l是 g(x)II能一的极值点，且极值为0，满足题意
所以,l＝ 一1. …… ．．．．． ．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．． ．．．．．…………………......................… (12分）
文科数学参考答案和评分标准 第6页（共7页）
22. ［命题立意】本题考查参数方程与极坐标方程的转化与应用噜考查数学运算 、 逻辑推理 、 直iW,想象的核心
素养．
【解析】(1 ）依题； ；，直线i的直角坐标方程为;r =3, ………… ……… ……… …………… ＂ ( l分）
2
入可 t一t +2 ＝3，得t"-3,+2 =0，解得t = l或 t=2， …………… .......…………………… ………… ＂ (2分）
3t‘一18
将 t = l,t = 2 代人 y＝－τl 中 ， 得 y= -3 旦旦 y=3 ， 故A<3 一， 3),B(3,3). ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“分）
而P(2,f） ， 故P(1,/3）＇故S P/\IJ ＝专×2×时 ... ... t:, (5分）
(2）由 (1）可知。IA.lOB，故.60AB的外接圆的圆心坐标为（ 3 ,0） ， 半径为3,
故固的直角坐标方程为“－3)2 +/ = 9,1W. x2 +/-6x=O， …………… ……………… ……＂ ( 7分）
令 x＝ ρcos 0,y＝ ρsin O ， 代人可得ρ＝6cos 0,
即.60AB的外接圆的极坐标方程为ρ＝6cos B，……………………………………………………… （8分）
fp=6c…os O 联立＼卢 ＝ 故6s 翩 t川 l， 直线MN的极坐标为程为e ＝｛ 忻R). 00分）＝
23.【命题立意】本题考查不等式的解法 、绝对值三角不等式的性质 、 基本不等式 ， 考查数学运算 、 逻辑推理的
核心素养．
川一立α＋11 =4,
【解析】依题意，一专利1是方程｜川＋11 = 4的解， 以｜ 3 I 解得的 (1分）
l Iα＋11 =4,
O)f6件I3.r+1 I+ I x+3 I >s,
当.1:<-3时，一3.1:一 l-.1:-3>6 5 一， 解得 .1:＜ τ，故x<-3 ； …… …………… ………………… …（2分）
当－3 xζ一 ÷时，－ 3x 一 l+x＋例，解得 x＜一2，故－ 3 x<-2; · (3分）
当 >-.l时，3 +l+ +3>6 解得 x＞土 ， 以 >.!. ................................................... .1: .i_ .i_ ， :r
2 2.
(4分）
综上所述，所求不等式的解袋为｛xl.1:<-2或 x＞士） (5分）
(2）依题葱、 ，13ρ＋11一13ρ－21《3"+,1 3 ＂对任意的户，q恒成立，
13ρ＋11一 13户一21《13ρ＋1-3ρ＋21=3，当且仅当ρ二三 2 一时等号成立， …………………3 · (7分）
则♂＋,1 3 ＇＇二？；3，故A》3 (3-3 ).
而3''(3-3＇＇ ）《旦 二旦旦4 -立4’当且仅当d＇＂＝立一 ，2 即q＝ log
立时等号成立， ………………… （
3 2 9分）
攸应号，即实数λ的取他范围为［击 ， ＋∞） － ω分）
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