第四章　§4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂-高中数学人教A版必修一 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
4.1.1　n次方根与分数指数幂
第四章　§4.1　指数
学习目标
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简求值.(重点)
3.会对分式和分数指数幂进行转化.
4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.(重难点)
导语
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.
一、n次方根与根式
二、分数指数幂
三、有理数指数幂的运算性质
随堂演练
内容索引
n次方根与根式
一
问题1　(1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x2＝－3呢？
提示　若x2＝3，则这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作 ；
若x2＝－3，则这样的x不存在.
(2)若x3＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x3＝－3呢？
提示　若x3＝3，则这样的x有1个，它叫做3的立方根，记作 ；
若x3＝－3，则这样的x也只有1个，它叫做－3的立方根，记作 .
(3)若x4＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x4＝－3呢？
提示　若x4＝3，则这样的x有2个，它们都称为3的四次方根，记作 ；
若x4＝－3，则这样的x不存在.
(4)若x5＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x5＝－3呢？
提示　若x5＝3，则这样的x有1个，它叫做3的五次方根，记作 ；
若x5＝－3，则这样的x也只有1个，它叫做－3的五次方根，记作 .
问题2　根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？当n为偶数时呢？
3.根式
式子 叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 .
知识梳理
1.n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
2.n次方根的性质
n次方根
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝____ x＝_____ x＝0 不存在
根式
根指数
被开方数
4.根式的性质
(1) 没有偶次方根.
负数
0
a
a
注意点：
例1
(1)化简下列各式：
原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(2)若 ＝a－1，求实数a的取值范围.
∴a－1≥0，∴a≥1，
∴实数a的取值范围是[1，＋∞).
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
延伸探究
∴a－1≤0，∴a≤1，
∴实数a的取值范围是(－∞，1].
2.在本例(3)中，若将“－3∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟
跟踪训练1
化简下列各式：
分数指数幂
二
问题3　观察下列各式，你能得出什么结论？
提示　通过观察两式可以得出，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
问题4　类比以上两式，你能运用分数指数幂表示出下列各式吗？由此你能得出什么结论？
可以得出：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.
问题5　因为a－n(a≠0)可以写成 ，那么 (a≠0)能否写成 ？
提示　能.
1.根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： ＝ ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
知识梳理
0
没有意义
2.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
注意点：
(1)分数指数幂 不可理解为 个a相乘，它是根式的一种写法；
(2)有理数指数幂运算性质的记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；
(4)不要自创公式，严格按照公式化简、运算.
例2
(1)化简 的结果是
√
A. B. C. D.都不对
√
原式＝
√
原式＝ ＝ .
反思感悟
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
跟踪训练2
原式＝a· ＝ .
有理数指数幂的运算性质
三
(1) ＝_____.(式中的字母均是正数)
例3
原式＝
＝ ＝ ＝
(2)计算： － －(π－3)0＋ .
反思感悟
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.
跟踪训练3
计算下列各式(式中字母均为正数).
(1)
＝4ab0＝4a.
(2)
＝
课堂
小结
1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)根式的概念及性质.
(3)分数指数幂与根式的相互转化.
(4)分数指数幂的运算性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：