第四章 §4.1 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-高中数学人教A版必修一 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
第四章　§4.1　指数
学习目标
1.能结合教材探究了解无理数指数幂.
2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质.(重难点)
导语
牛顿(Newton,1643－1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将 …写成 ， ， ，…，将 …写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程.
一、无理数指数幂的运算
二、实际问题中的指数运算
三、实数指数幂的综合运用
随堂演练
内容索引
无理数指数幂的运算
一
问题1　阅读课本108页的探究，你发现了什么？
提示　可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应.
问题2　指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示　正整数指数幂和0次指数幂→自然数指数幂和负整数指数幂→整数指数幂和分数指数幂→有理数指数幂和无理数指数幂→实数指数幂.
1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 .
2.实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
(4)拓展： ＝ar－s(a>0，r，s∈R).
知识梳理
实数
注意点：
特别强调底数a>0，如果a<0，比如 ，无法判断其值是1还是－1.
例1
计算下列各式的值：
(1) ；
原式＝ ＝29×32＝4 608.
(2) (a>0)；
原式＝ ＝a0＝1.
(3) .
原式＝ ＝π.
反思感悟
关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
跟踪训练1
计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1) ；
原式＝ ＝26·m3＝64m3.
(2) .
原式＝ ＝a0＝1.
实际问题中的指数运算
二
例2
从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒___次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
4
所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
反思感悟
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
跟踪训练2
如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成_____个.
64
经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个).
实数指数幂的综合运用
三
例3
(1)如果45x＝3,45y＝5，那么2x＋y＝______.
1
由45x＝3，得(45x)2＝9.
又45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝451，
即452x＋y＝451，
所以2x＋y＝1.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：① ；
设m＝ ，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
因为m>0，所以m＝3，即 ＝3.
②x2－x－2.
设n＝ ，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
延伸探究　本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值.
由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，
所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.
反思感悟
利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝ ，
.
跟踪训练3
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)无理数指数幂的运算.
(2)实际问题中的指数运算.
(3)实数指数幂的综合运用.
2.方法归纳：整体代换法.
3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.