第四章 §4.2 4.2.1 指数函数的概念-高中数学人教A版必修一 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
4.2.1　指数函数的概念
第四章　§4.2　指数函数
学习目标
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.(重点)
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
导语
一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个月的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第十二个月，他能获得多少工资(211＝2 048)？第二十四个月，他能获得多少工资(223＝8 388 608)？估计这个老板肠子都悔青了.
一、指数函数的概念
二、指数函数解析式及应用
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
随堂演练
内容索引
指数函数的概念
一
问题1　在某种细菌的培养过程中，细菌每10 min分裂一次，由1个分裂成两个.设分裂次数为x，细菌的个数为y，说出y与x的关系.
提示　细菌个数y是分裂次数x的函数，对应关系为y＝2x.
问题2　《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”设经过x天，剩余量为y，说出y与x的关系.
问题3　以上两个函数在结构上有什么共同点？
提示　指数都是自变量，底数都是不为1的常数.
知识梳理
指数函数的概念：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
y＝ax
注意点：
(1)函数的特征底数a>0，且a≠1；指数幂的系数为1；指数仅为自变量x.
(2)注意区分指数函数与幂函数.
例1
(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是
A.0 B.1 C.2 D.4
√
①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；
⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.[0,1)∪(1，＋∞)
√
依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
反思感悟
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
跟踪训练1
(1)下列是指数函数的是
A.y＝－3x B.
C.y＝ax D.y＝πx
√
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为______.
2
解得a＝2.
指数函数解析式及应用
二
例2
已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝ ，
于是f(x)＝ ，所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝ ，f(－3)＝π－1＝ .
反思感悟
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
指数函数y＝f(x)的图象经过点 ，那么f(4)f(2)等于
A.8 B.16 C.32 D.64
跟踪训练2
√
设指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
则f(4)f(2)＝24×22＝64.
指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
三
问题4　从课本P114例2(1)中你能发现都建立了哪些函数模型吗？
提示　A地旅游是一次函数模型，B地旅游是指数函数模型.
知识梳理
1.指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝ (x∈N).
2.应用：刻画指数增长或指数衰减变化规律.
N(1＋p)x
注意点：
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型.
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0(1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为
A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120
例3
√
设原来的细菌数为a，由题意可得，当t＝1时，y＝2a，
当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，
当t＝7时，y＝10×27＝1 280.
延伸探究　将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数.
设原来的细菌数为a，由题意可得，
当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10·3t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有 升，必须再经过
A.12分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟
√
由题意得B桶中水的体积y2＝a－amt，
反思感悟
关于函数y＝kax在实际问题中的应用
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
跟踪训练3
据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2023年的湖水量为m，从2023年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为__________.
设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝ ，
所以x年后的湖水量为 .
课堂
小结
1.知识清单：
(1)指数函数的概念.
(2)指数函数解析式及应用.
(3)指数增长型和指数衰减型函数模型.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件，即a>0且a≠1.