第四章 §4.2 4.2.2 指数函数的图象和性质(一)-高中数学人教A版必修一 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
4.2.2　指数函数的图象和性质(一)
第四章　§4.2　指数函数
学习目标
1.掌握指数函数的图象和性质.(重点)
2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域的问题.
3.能利用指数函数的单调性比较大小和解不等式.(重难点)
导语
对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质”的过程进行研究.前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质.回顾以往的研究经验，你能说说我们要研究哪些内容吗？研究方法是什么？
一、指数函数的图象与性质
二、与指数函数有关的定义域问题
三、指数函数单调性的应用
随堂演练
内容索引
指数函数的图象与性质
一
问题1　用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝ 的图象.
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝
1
2
4
4
2
1
问题2　通过图象，分析y＝2x与y＝ 的性质并完成下列表格.
函数 y＝2x y＝
定义域
值域
单调性
最值
奇偶性
x∈R
x∈R
(0，＋∞)
(0，＋∞)
增函数
减函数
无最值
无最值
非奇非偶函数
非奇非偶函数
特殊点
y的变化情况 当x<0时，______； 当x>0时，_____ 当x<0时，____；
当x>0时，______
(0,1)
(0,1)
0y>1
y>1
0问题3　比一比y＝2x与y＝ 的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；
不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝2x与y＝ 这两个底数互为倒数的函数图象关于y轴对称.
问题4　再选取底数，a＝2，a＝3，a＝4， 在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象.
提示　
知识梳理
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 ___
值域 _________
最值 _______
R
(0，＋∞)
无最值
性质 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝___
函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时，____ 当x>0时， ；
当x<0时，_____
单调性 在R上是_______ 在R上是_______
奇偶性 _____________
对称性 y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称
(0,1)
0
1
0y>1
0y>1
增函数
减函数
非奇非偶函数
注意点：
(1)函数图象只出现在x轴上方；
(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)；
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴；
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
例1
(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是
A.aC.1√
作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b(2)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，则m＋n等于
A.3 B.1 C.－1 D.－2
√
由函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，
得m－1＝0,2·am－1－n＝4，
解得m＝1，n＝－2，
∴m＋n＝－1.
反思感悟
(1)解决指数函数图象问题的注意点
①熟记当底数a>1和0②在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
(2)与指数函数相关的定点问题
由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)过定点(0,1)，可令所给函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
跟踪训练1
(1)已知0＜m＜n＜1，则可以在同一坐标系中表示指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是
√
由0＜m＜n＜1可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由m＜n可知应选C.
(2)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是___________.
(－1，－1)
因为y＝ax的图象过定点(0,1)，
所以令x＋1＝0，
即x＝－1，
则f(－1)＝－1，
故f(x)＝2ax＋1－3的图象恒过定点(－1，－1).
与指数函数有关的定义域问题
二
例2
求下列函数的定义域：
(1)y＝23－x；
R.
(2)y＝32x＋1；
R.
R.
(4)y＝ .
{x|x≠0}.
反思感悟
定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合.
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集.
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论.
跟踪训练2
函数y＝ 的定义域为________.
{x|x≠4}
x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴函数的定义域为{x|x≠4}.
指数函数单调性的应用
三
角度1　比较大小
比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.11.1，1.10.9；
因为y＝1.1x是增函数，1.1>0.9，故1.11.1>1.10.9.
(2)0.1－0.2，0.10.9；
因为y＝0.1x是减函数，－0.2<0.9，故0.1－0.2>0.10.9.
例3
(3)30.1，π0.1；
因为y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，3<π，故30.1<π0.1.
(4)1.70.1，0.91.1；
因为1.70.1>1.70＝1，0.91.1<0.90＝1，故1.70.1>0.91.1.
(5)0.70.8，0.80.7.
取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，
故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).
反思感悟
比较幂值大小的三种类型及处理方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.
跟踪训练3
(1)下列大小关系正确的是
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
√
0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
A.aC.b√
∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
即b例4
角度2　解不等式
已知 0，a≠1)，求x的取值范围.
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
解得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1综上所述，当05}；
当a>1时，x的取值范围是{x|－1反思感悟
简单的指数不等式的解法
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)不等式53－2x<0.23x－4的解集为________.
跟踪训练4
{x|x<1}
原不等式可化为53－2x<54－3x，
因为函数y＝5x是R上的增函数，
所以3－2x<4－3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)指数函数的图象和性质.
(2)与指数函数有关的定义域.
(3)利用指数函数单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：比较大小时混淆指数函数与幂函数；忽视底数a的范围.