第四章 §4.3 4.3.1 对数的概念-高中数学人教A版必修一 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
4.3.1　对数的概念
第四章　§4.3　对数
学习目标
1.了解对数的概念，会进行对数式与指数式的互化.(重点)
2.会利用对数式与指数式的关系求值.
3.掌握对数的基本性质与对数恒等式.(难点)
导语
有一个投资项目，满足年利率为20%的复利，假设你是这个项目的负责人，想劝说投资者多投资，如果你跟他们说复利、指数增长，他们听不懂.投资者问：“你就告诉我，我的钱啥时候能翻倍，变成5倍，10倍？”你能给他们满意的答复吗？
一、对数的概念与指对互化
二、利用对数式与指数式的关系求值
三、对数的基本性质与对数恒等式
随堂演练
内容索引
对数的概念与指对互化
一
问题1　我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若 ＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.
知识梳理
对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
x＝logaN
底数
真数
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换.
(2)logaN的读法：以a为底N的对数.
问题2　现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示　x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.
两类特殊对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N；
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.
知识梳理
例1
(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，则x的取值范围为
A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(3,4)
√
解得34.
(2)将下列指数式与对数式互化：
①log216＝4；
24＝16.
②
③ln 100＝4.606；
e4.606＝100.
④43＝64；
log464＝3.
⑥10－3＝0.001.
lg 0.001＝－3.
反思感悟
(1)关于对数式的范围
反思感悟
(2)指数式与对数式互化的思路
①指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
②对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
跟踪训练1
(1)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是
A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
√
要使对数式log(t－2)3有意义，
所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞).
√
利用对数式与指数式的关系求值
二
例2
(1)求下列各式的值.
①log981＝____；
2
设log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
②log0.41＝____；
设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
0
③ln e2＝____.
设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，
即ln e2＝2.
2
(2)求下列各式中x的值.
得x＝ ＝ ＝3－2＝ .
②logx16＝－4.
反思感悟
对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
跟踪训练2
求下列各式的值：
(1)log28；
设log28＝x，则2x＝8＝23.
∴x＝3，∴log28＝3.
∴x＝－1，∴ ＝－1.
(3)ln e；
ln e＝1.
(4)lg 1.
lg 1＝0.
对数的基本性质与对数恒等式
三
问题3　你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？
提示　log21＝0；log22＝1； ＝x.
对数的性质
(1)loga1＝ (a>0，且a≠1).
(2)logaa＝ (a>0，且a≠1).
(3)0和负数 .
(4)对数恒等式： ＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1，N>0).
知识梳理
0
1
没有对数
N
x
例3
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)log3(lg x)＝1；
∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)x＝ .
x＝ ＝7÷
延伸探究　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值.
因为log2(log5x)＝1，
所以log5x＝2，
则x＝52＝25.
反思感悟
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.
跟踪训练3
求下列各式中x的值.
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
由log8[log7(log2x)]＝0，
得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，
∴x＝27.
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
由log2[log3(log2x)]＝1，
得log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.