第四章 §4.3 4.3.2 对数的运算-高中数学人教A版必修一 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
4.3.2　对数的运算
第四章　§4.3　对数
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.(重点)
2.掌握换底公式及其推论.(难点)
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(重难点)
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.
一、对数的运算性质
二、对数的换底公式
三、对数运算性质的综合运用
四、实际问题中的对数运算
随堂演练
内容索引
对数的运算性质
一
问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示　由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
提示　由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a＞0，且a≠1，n∈R).
知识梳理
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝ .
(2) ＝ .
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
logaM＋logaN
logaM－logaN
注意点：
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·
(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
例1
计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
反思感悟
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简.
跟踪训练1
计算下列各式的值：
原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
对数的换底公式
二
问题4　前边我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
提示　设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，
问题5　是否任意的logab都可以表示成logab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？说出你的理由.
提示　是.依据当a>0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出.
知识梳理
2.对数换底公式的重要推论
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中，可根据需要换底，比如我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝ 或logab＝ .
例2
(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.
方法一　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
延伸探究　若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示).
因为18b＝5，所以log185＝b.
反思感悟
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练2
√
方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
＝ ＝
对数运算性质的综合运用
三
例3
方法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，
得alog63＝blog64＝log636＝2，
令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
反思感悟
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
跟踪训练3
(1)用lg x，lg y，lg z表示下列各式：①lg(xyz)；
lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
＝lg x＋2lg y－lg z.
∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
由logc15＝2得c2＝15，
实际问题中的对数运算
四
某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，则至少应过滤(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
A.6次 B.7次 C.8次 D.9次
√
例4
设至少需要过滤n次，
又lg 2－lg 3<0，
又n∈N，所以n≥8.
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.
反思感悟
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近 的是(lg 3≈0.477)
A.10－37 B.10－36 C.10－35 D.10－34
跟踪训练4
√
＝361×lg 3－52×4≈－35.8，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数的运算性质.
(2)换底公式.
(3)利用对数的运算性质化简、求值.
(4)实际问题中的对数运算.
2.方法归纳：换底公式、转化法.
3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则；要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆.