第四章 §4.4 4.4.3 不同函数增长的差异-高中数学人教A版必修一 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
4.4.3　不同函数增长的差异
第四章　§4.4　对数函数
学习目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.(重难点)
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
3.能根据具体问题选择合适的函数模型.(重点)
导语
如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！
一、几个函数模型增长差异的比较
二、函数增长速度的比较
三、函数模型的选择
随堂演练
内容索引
几个函数模型增长差异的比较
一
问题1　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一直角坐标系中，并比较它们的增长差异.
提示　一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长越来越慢.
知识梳理
三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 _________ _________ _________
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度；总会存在一个x0，当x>x0时，恒有_________
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有____________
y＝kx(k>0)
logaxax>kx>logax
注意点：
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变，平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大增长速度不一定快，增长速度体现在函数值的变化趋势上.
例1
(1)下列函数中，增长速度最快的是
A.y＝2 023x B.y＝x2 023
C.y＝log2 023x D.y＝2 023x
√
比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
√
由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数.
反思感悟
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
反思感悟
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型：幂函数y＝xα(α>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
跟踪训练1
下列函数中，增长速度越来越慢的是
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
√
D中一次函数的增长速度不变；
A，C中函数的增长速度越来越快；
只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
函数增长速度的比较
二
例2
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
C1对应的函数为g(x)＝x3，
C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)结合函数图象，比较f(6)，g(6)，f(2 023)，g(2 023)的大小.
因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1所以x1<6x2，
从图象上可以看出，
当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 023)>g(2 023).
又因为g(2 023)>g(6)，
所以f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6).
反思感悟
指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象逐渐变“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
跟踪训练2
以下四种说法中，正确的是
A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快
B.对任意的x>0，xa>logax
C.对任意的x>0，ax>logax
D.不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax
√
对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，一次函数的增长速度受一次项系数的影响，幂指数及一次项系数不确定，增长速度不能比较；
对于B，C，当0对于D，当a>1时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不一定成立.
函数模型的选择
三
问题2　现在你能对三种投资方案做出选择了吗？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
提示　如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案三最终回报最高.
例3
某汽车制造商在2023年年初公告：公司计划2023年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：
年份(年) 2020 2021 2022
产量(万辆) 8 18 30
如果我们分别将2020,2021,2022,2023定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，
与计划误差为1万辆.
(2)构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
与计划误差为1.4万辆.
由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
反思感悟
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能做理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
跟踪训练3
在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx
C.y＝ax2＋b D.y＝a＋
√
在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长
模型.
(2)函数增长速度的比较.
(3)函数模型的选择.
2.方法归纳：转化法、数形结合.
3.常见误区：不理解三种函数增长的差异.