第四章 §4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解-高中数学人教A版必修一 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
4.5.1　函数的零点与方程的解
第四章　§4.5　函数的应用(二)
学习目标
1.了解函数的零点、方程的解与图象的交点三者之间的联系.(重点)
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.(难点)
导语
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50～100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法.今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧！
一、函数的零点与方程的解
二、函数零点存在定理
三、函数零点个数的问题
随堂演练
内容索引
函数的零点与方程的解
一
问题1　类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)，你能说说什么是函数y＝f(x)的零点吗？
提示　与二次函数类似，我们称使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
问题2　类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)的零点，与对应方程的根、函数图象与x轴的交点有联系吗？
提示　(1)函数y＝f(x)零点的个数、方程f(x)＝0的根的个数与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的个数相同.
(2)函数y＝f(x)的零点、方程f(x)＝0的根与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等.
知识梳理
1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系
f(x)＝0
x轴
f(x)＝0
注意点：
(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解.
例1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出函数零点.
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.
(3)f(x)＝2x－3；
令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)f(x)＝1－log3x.
令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
反思感悟
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪训练1
求下列函数的零点：
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，
解得x＝e2.
所以函数f(x)的零点为－3和e2.
(2)f(x)＝(lg x)2－lg x.
令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
解得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10，
所以函数f(x)的零点是1,10.
函数零点存在定理
二
问题3　下面两组镜头，哪一组能说明人一定曾渡过河？
提示　第1组.
问题4　探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
提示　利用图象可知，零点－5∈(－6，－4)，零点1∈(0,2)，且f(－6)f(－4)
<0，f(0)f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的.
知识梳理
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有
，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
连续不断
f(a)f(b)<0
f(c)＝0
注意点：
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
例2
(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
√
√
√
由题知f(0)f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)上一定有零点，
又f(1)f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
反思感悟
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练2
(1)函数f(x)＝lg x－ 的零点所在的区间是
A.(0,1) B.(1,10)
C.(10,100) D.(100，＋∞)
√
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内为增函数，
f(1)f(10)＜0，
故在区间(1,10)上，函数f(x)存在零点.
(2)若函数f(x)＝x＋ (a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是
A.－2 B.0 C.1 D.3
√
当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0，f(1)·f(2)＜0.
故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理可得其他选项不符合.
函数零点个数的问题
三
问题5　判断方程ln x＋2x－6＝0是否有解？如果有解，请问有几个解？想一下有哪些解决方案.
提示　(1)通过画对应函数f(x)＝ln x＋2x－6的图象，进而确定方程解的个数，但在作图过程中发现遇到困难，此时需要借助于信息技术工具.
(2)利用函数零点存在定理及单调性.
(3)转化为两个函数图象的交点问题.
例3
判断下列函数的零点的个数.
即f(x)零点的个数为0.
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
方法一　由f(x)＝0，得ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x＋x2－3＝0有1个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有1个零点.
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以零点只有1个.
反思感悟
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
已知函数f(x)＝ 和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)
＝f(x)－g(x)的零点个数是____.
跟踪训练3
3
作出g(x)与f(x)的图象如图，
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的零点定义.
(2)函数的零点与方程的解的关系.
(3)函数零点存在定理.
(4)函数零点个数的判断.
2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法.
3.常见误区：
(1)零点理解成点.
(2)零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题.