第四章 §4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解-高中数学人教A版必修一 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
4.5.2　用二分法求方程的近似解
第四章　§4.5　函数的应用(二)
学习目标
1.了解二分法的原理及其适用条件，掌握二分法的实施步骤.(重点)
2.会利用二分法思想求函数近似零点和方程的近似解.(难点)
导语
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了.你知道工人师傅是如何做到的吗？
一、二分法的概念
二、二分法求函数零点近似值的步骤
三、二分法的应用
随堂演练
内容索引
二分法的概念
一
问题1　如图，上述问题中工人师傅从中点C开始查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.
每查一次，可以把待查的线路缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.在上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
提示　通过不断地把需要检测的范围一分为二进行检查.
问题2　工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？
提示　确定故障所在的范围，来确定爬哪根电线杆子.
知识梳理
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步逼近零点
注意点：
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
例1
(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是
√
√
√
根据二分法的定义可知，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将零点所在区间不断一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值.
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是
A.9 B.8 C.7 D.6
√
f(x)＝x2＋bx＋c有零点，但不能用二分法求出，
则x2＋6x＋c＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9.
反思感悟
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右两侧的函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
跟踪训练1
已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为
√
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
二分法求函数零点近似值的步骤
二
问题3　用二分法求函数的零点时，函数需要满足什么条件呢？
提示　函数需要满足的前提条件是：
(1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断.
(2)区间端点的函数值f(a)f(b)<0.
问题4　在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若给木棒规定一个长度，是否就可以停止“取半”？同样给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算？
提示　可以，所以二分法求函数零点的近似值时，规定了精确度.
知识梳理
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 .
2.求区间(a，b)的中点 .
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则 就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ )，则令b＝c；
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈ )，则令a＝c.
f(a)f(b)<0
c
c
(a，c)
(c，b)
4.判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
注意点：
(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分.
(3)二分法求函数零点的近似值时，将区间[a，b]至少等分 <ε次后，所得近似值达到精确度ε.
例2
(1)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于
A.1 B.－1 C.0.25 D.0.75
√
(2)(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为
A.0.625 B.0.093 75 C.0.125 D.0.096
√
√
√
已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，
则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75,0.125)，
所以零点在区间(0.093 75,0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，
所以结合选项0.093 75，0.096,0.125都符合题意.
反思感悟
二分法求函数零点的关注点
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.
(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.
跟踪训练2
用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______.
(1,2)
设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，
∵f(1)f(2)<0，
∴f(x)零点所在的区间为(1,2)，
∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2).
二分法的应用
三
问题5　由前面的学习，你认为二分法可以用来解决哪些问题？
提示　求函数零点的近似解以及方程的近似解等问题.
例3
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.01).
经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)f(1.5)<0，
所以x0∈(1.25,1.5).
如此继续下去，得到下表：
零点所在区间 (a，b)的中点 中点函数值符号
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5,1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0
(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
延伸探究　若问题改为“用二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解(精确度为0.01)”，又该如何解决呢？
令f(x)＝x3－x－1，x∈[1,1.5]，下与例3同.
所以方程x3－x－1＝0的一个精确度为0.01的近似解可取为1.328 125.
反思感悟
利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.
跟踪训练3
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以f(0.5)f(1)＜0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到下表：
(a，b) 中点c f(c)
(0,1) 0.5 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)二分法的定义.
(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解.
(3)二分法的应用.
2.方法归纳：化归、逼近.
3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的.
随堂演练
1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是
1
2
3
4
√
2.(多选)下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是
A.y＝3x2－2x＋5
1
2
3
4
√
√
因为3x2－2x＋5＝0的判别式Δ＜0，故没有零点；
1
2
3
4
故无法用二分法求零点近似值.
3.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
1
2
3
4
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为
A.1.5 B.1.375 C.1.437 5 D.1.25
√
∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0，
∴f(1.406 25)f(1.437 5)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 25,1.437 5)内，
又∵|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.05，
∴方程的近似根可以是1.437 5.
1
2
3
4
4.某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分____次后，所得近似值的精确度达到0.1.
1
2
3
4
5
∴n－1≥4，即n≥5.
本课结束