第四章 §4.5 4.5.3 函数模型的应用-高中数学人教A版必修一 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
4.5.3　函数模型的应用
第四章　§4.5　函数的应用(二)
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点)
2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.(难点)
导语
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.五期后的本利和是多少？
问题1　解决上述问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和.实际问题中两个变量之间一定是确定的函数关系吗？函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义就可以吗？用函数模型预测的结果和实际结果必须相等吗？
提示　两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.函数模型中定义域除了要使函数式有意义还必须满足实际意义.用函数模型预测的结果近似地符合实际结果即可.
知识梳理
1.常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.解决函数应用题的基本步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模——求解数学模型，得出数学结论.
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
一、应用已知函数模型解决实际问题
二、拟合数据构建函数模型解决实际问题
随堂演练
内容索引
应用已知函数模型解决实际问题
一
Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：
天)的Logistic模型：I(t)＝ ，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)
＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为
(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)
A.60 B.62 C.66 D.69
例1
√
∵I(t*)＝ ＝0.9K，
解得t*≈62.
反思感悟
利用已知函数模型解决实际问题的思路
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
跟踪训练1
我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2 (单位：m/s)，其中O表示燕子的耗氧量.
(1)当燕子静止时，它的耗氧量是多少个单位？
由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
即当燕子静止时，它的耗氧量是10个单位.
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
将耗氧量O＝80代入题中公式，
所以当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是15 m/s.
拟合数据构建函数模型解决实际问题
二
例2
某纪念章从2023年1月1日开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
∵随着时间x的增加，y的值先减小后增大，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系.
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低的价格为26元.
反思感悟
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
跟踪训练2
某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长.记2018年为第一年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年
x 1 2 3 4
f(x) 7 12.78 25 49.13
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝a·2x＋b，f(x)＝x－1＋a.
(1)写出你认为最适合的函数模型(不用说明理由)，然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式；
选f(x)＝a·2x＋b，代入数据(1,7)和(3,25)，
故f(x)＝3·2x＋1.
(理由：从表格可以判断函数为增函数，所以排除f(x)＝x－1＋a；若选f(x)＝ax＋b，
则f(x)＝9x－2，则f(4)＝34，这与49.13相差太大. )
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量.
2023年对应x＝6，因此预计2023年的年产量约为f(6)＝3·26＋1＝193(万件)，受影响后实际年产量约为193×(1－30%)＝135.1(万件)，故2023年的年产量约为135.1万件.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)应用已知函数模型解决实际问题.
(2)拟合数据构建函数模型解决实际问题.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论.
随堂演练
1.一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是
A.分段函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
√
1
2
3
4
根据函数图象由不同的直线段构成可知，函数是分段函数.
2.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位：只)与时间x(单位：年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2017年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2023年冬有越冬白鹤
A.4 000只 B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只
√
1
2
3
4
由题意，当x＝1时，可得3 000＝alog3(1＋2)，解得a＝3 000，
所以估计2023年冬有越冬白鹤y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000(只).
3.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为
A.略有亏损 B.略有盈利
C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
√
1
2
3
4
由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299<1.
因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.
4.右面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是
A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
√
由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，
所以该函数模型应为指数函数.
1
2
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4
本课结束