第五章 §5.1 5.1.1 任意角-高中数学人教A版必修一 课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
5.1.1　任意角
第五章　 §5.1　任意角和弧度制
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角
所组成的集合.(重点)
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.(难点)
学习目标
导语
2022年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛展开争夺，谷爱凌在前两轮成绩落后的情况下，第三轮超越自己做出
了此前从未做出过的向左偏轴转体1 620，得到94.50分的高分，也凭借总成绩188.25分夺得了这枚宝贵的金牌！我们该怎样理解向左偏轴转体1 620呢？这和角度是分不开的，为了研究这个问题，我们开始今天的新课.
一、任意角
二、象限角
三、终边相同的角
随堂演练
四、区域角的表示
内容索引
任意角
一
问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
1.角的概念及其表示
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图，
(1)始边：射线的 位置OA；
终边：射线的 位置OB；
顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
知识梳理
射线
旋转
图形
起始
终止
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
逆时针
顺时针
没有
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
4.角的加法
设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是
.
5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角
叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ .
α＝β
α＋β
相反角
－α
(－β)
如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .
例1
－40°
∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－760°＋720°＝－40°.
弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
反思感悟
图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α，β，γ分别是 ， ， .
跟踪训练1
390°
－150°
60°
题图①中的角是正角，α＝390°.
图②中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
象限角
二
问题2　初中所学的0°～360°角可以怎样分类？
提示　锐角、直角、钝角、平角和周角.
1.我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
知识梳理
终边落在x轴正半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴负半轴上 {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}
终边落在y轴正半轴上 {α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}
终边落在y轴负半轴上 {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
2.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；
(2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小.
注意点：
(多选)下列结论正确的有
A.－75°是第一象限角 B.225°是第三象限角
C.475°是第二象限角 D.－315°是第四象限角
√
例2
√
因为－90°<－75°<0°，所以－75°是第四象限角；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角；因为360°＋90°<475°<360°＋180°，所以475°是第二象限角；因为－360°<－315°<－270°，所以－315°是第一象限角.所以B，C正确.
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
反思感悟
(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
√
跟踪训练2
√
√
直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；
由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；
由于零角和负角也小于180°，故D不正确.
终边相同的角
三
问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
知识梳理
在与2 110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角；
例3
与2 110°终边相同的角的集合为{β|β＝2 110°＋k·360°，k∈Z}，
由－360°<2 110°＋k·360°<0°，k∈Z，
得－2 470°解得k＝－6，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)最小的正角；
由0°<2 110°＋k·360°<360°，k∈Z，
得－2 110°解得k＝－5，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)在360°～720°范围内的角.
由360°≤2 110°＋k·360°≤720°，k∈Z，
得－1 750°≤k·360°≤－1 390°，k∈Z，
解得k＝－4，故所求的角为β＝670°.
反思感悟
终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(1)写出终边在直线y＝ 上的角的集合.
跟踪训练3
因此，终边在直线y＝ 上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝ 上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
(2)与－2 024°角终边相同的最小正角是
A.136° B.132°
C.58° D.42°
√
因为－2 024°＝－6×360°＋136°，所以与－2 024°角终边相同的最小正角是136°.
(3)若角2α与240°角的终边相同，则α等于
A.120°＋k·360°，k∈Z
B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z
D.240°＋k·180°，k∈Z
√
角2α与240°角的终边相同，
则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，
则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
区域角的表示
四
问题4　你能否表示出终边落在各个象限的角的集合？
提示　第一象限的角：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限的角：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限的角：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限的角：{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}.
已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
例4
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
延伸探究
1.若将本例题图改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
由题干图可知满足题意的角的集合为{β|60°＋k·360°≤β≤105°＋k·360°，k∈Z}∪{240°＋k·360°≤β≤285°＋k·360°，k∈Z}＝{β|60°＋2k·180°≤β≤105°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|60°＋(2k＋1)·180°≤β≤105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|60°＋n·180°≤
β≤105°＋n·180°，n∈Z}，即所求的集合为{β|60°＋n·180°≤β
≤105°＋n·180°，n∈Z}.
2.已知α是第一象限角.
(1)2α是第几象限角？
∵α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z).
∵2k·360°<2α<180°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角.
方法一　(分类讨论法)因为α是第一象限角，
∴k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
方法二　(几何法)如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向依次将各区域标上“一、二、三、四、一、二、三、四”，则标有“一”的区域即为角 的终边所在的区域，故
是第一或第三象限角.
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
反思感悟
如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；
跟踪训练4
因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|－45°＋k·360°<γ<60°＋k·360°，k∈Z}.
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角θ的集合.
{θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正角、负角、零角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°的角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
随堂演练
1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是
A.B＝A∩C B.A?C
C.B∪C＝C D.A＝B＝C
√
1
2
3
4
由题意得B?A∩C，故A错误；
A与C互不包含，故B错误；
由B＝{钝角}?{小于180°的角}，所以B∪C＝C，故C正确；
由以上分析可知D错误.
2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，则α的终边在
A.第一、三象限 B.第一、二象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
√
1
2
3
4
因为α＝45°＋k·180°，k∈Z，所以
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝45°＋2n·180°＋180°＝225°＋n·360°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝45°＋2n·180°＝45°＋n·360°，n∈Z，其终边在第一象限.
综上，α的终边在第一、三象限.
3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的角度为 .
1
2
3
4
因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的角度为－720°.
－720°
1
2
3
4
4.如图所示.终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为 .
终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤
300°＋k·360°，k∈Z}.
{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}
本课结束