第五章 §5.1 5.1.2 弧度制-高中数学人教A版必修一 课件（共48张PPT）

(共44张PPT)
5.1.2　弧度制
第五章　 §5.1　任意角和弧度制
1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.(重点)
2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.(难点)
学习目标
导语
同学们，大家看过《水浒传》吗？在古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，若按照我们今天的标准(1米＝3尺)换算，这些人的身高都超过了姚明的身高，难道古人真的都有那么高吗？其实不然，在我国历史的不同时期，一尺的标准是不一样的，比如在春秋战国时期，一尺约等于0.23米，这样算来，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右.据说在商代的时候，一尺约等于0.17米，人高约一丈(一丈等于十尺)，故有“丈夫”之称，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们带着这个疑问开始今天的新课.
一、弧度制的概念
二、角度制与弧度制的相互转化
三、利用弧度表示角
随堂演练
四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
内容索引
弧度制的概念
一
问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系.
问题2　为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制.提到弧度，你能想到什么？
提示　我们能够想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正是因为有弧度而富有神韵.而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变.
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
1.度量角的两种制度
知识梳理
半径长
2.弧度数的计算
正
负
0
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
注意点：
下列命题中，假命题是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
√
例1
根据1度的角、1弧度的角的定义可知D为假命题.
(1)圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
反思感悟
下列各命题中，真命题是
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
√
跟踪训练1
根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
角度制与弧度制的相互转化
二
问题3　根据公式|α|＝ ，你能得出圆周角的弧度数吗？
提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系.
1.弧度与角度的换算
知识梳理
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° _____ 90° 120°
弧度 ___
度 135° 150° ______ 270° 360°
弧度 π 2π
60°
180°
0
(1)弧度单位rad可以省略；
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.
注意点：
把下列角度化成弧度，弧度化成角度：
(1)37°30′；
例2
(2)－216°；
(3)2；
角度与弧度换算技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数.一般情况下，省略弧度单位rad.
反思感悟
将下列角度与弧度进行互化：
跟踪训练2
(3)10°；
(4)－855°.
利用弧度表示角
三
将－1 125°角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
例3
所以－1 125°角是第四象限角.
延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
得k＝－2，－1,0,1，
反思感悟
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意同一题目中角度制与弧度制不能混用.
(1)用弧度制表示所有与75°角终边相同的角的集合是
.
跟踪训练3
√
(2)将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是
弧度制下的扇形的弧长与面积公式
四
问题4　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
公式 度量制　　　 弧长公式 扇形面积公式
角度制
弧度制 l＝ (0＜α＜2π)
S＝ ＝______
(0＜α＜2π)
扇形的弧长与面积公式(R是扇形所在圆的半径，n°为扇形的圆心角)
知识梳理
αR
已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
例4
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
①
②
整理得R2－5R＋4＝0，解得R＝1或R＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去.
延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
所以当圆心角为2时扇形面积最大，最大值为1.
扇形的弧长和面积的求解策略
反思感悟
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、要求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l.
(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；
跟踪训练4
(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形的面积S的最大值.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
3.常见误区：弧度与角度易混用.
随堂演练
1.下列说法正确的是
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
√
1
2
3
4
对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.
1
2
3
4
2.－660°等于
√
1
2
3
4
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为
√
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为 ，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为 .
2
1
本课结束