第五章 §5.2 5.2.1 三角函数的概念-高中数学人教A版必修一 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
5.2.1　三角函数的概念
第五章　 §5.2　三角函数的概念
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.(重点)
2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号.(重难点)
学习目标
导语
匀速圆周运动是我们生活中常见的周期性变化现象.如图所示是一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒.若现在你坐在座舱P中，从初始位置OA出发，如何借助座舱旋转角度的大小变化刻画点P的位置变化呢？今天我们就来学习一下.
一、三角函数的概念
二、已知终边上任意一点求三角函数值的大小
三、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
随堂演练
四、公式一
内容索引
三角函数的概念
一
问题1　我们先研究单位圆⊙O上的点P，以A为起点按逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.根据我们研究函数的经验，我们需要借用什么样的数学工具呢？又该如何设计呢？
提示　我们利用直角坐标系来研究这个问题. 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x，y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
问题3　一般地，给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的吗？
提示　对于交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. 所以点P的横坐标x和纵坐标y都是角α的函数.
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦函数 把点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝_______
余弦函数 把点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝______
任意角的三角函数的定义
知识梳理
纵坐标y
sin α
横坐标x
cos α
定义 正切 函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tan α，即 ＝____________
三角 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x∈ .这三个函数统称为三角函数
tan α(x≠0)
(1)三角函数值是一个实数；
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关.
注意点：
例1
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝
反思感悟
已知点 是角α的终边与单位圆的交点，则cos α等于
√
跟踪训练1
已知终边上任意一点求三角函数值的大小
二
问题4　设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)(不与原点O重合)，点P与原点的距离为r＝ 那么如何来求角α的三角函数值呢？
提示　设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)，
分别过P，P0作x轴的垂线PM，PM0，垂足分别为
M，M0，则
|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，
|OM|＝|x|，
知识梳理
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合.
注意点：
已知角α的终边上一点P的坐标是(5m,12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值.
例2
令x＝5m，y＝12m，
①当m＞0时，r＝13m，
②当m＜0时，r＝－13m，
(1)若点的坐标或角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论.
(2)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解.
反思感悟
已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直
线3x－y＝0上，则角α的余弦值为 .
跟踪训练2
∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，
∴角α的终边在第一象限或第三象限，
当角α的终边在第三象限时，可取角α的终边上的点(－1，－3)，
正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
三
问题5　根据三角函数的定义，大家大胆猜测一下三角函数值在各个象限内的符号是如何确定的？
提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号推导出来的.根据三角函数的定义可知 ，正弦值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负.
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
知识梳理
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
(1)若tan α<0且cos α>0，则角α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
例3
由tan α<0，可得α为第二或第四象限角；
由cos α>0，可得α为第一、第四或x轴非负半轴上的角.
∴取交集可得，α是第四象限角.
(2)(多选)下列各式的值为正的是
A.tan 188°cos 158°
B.sin 305°cos 460°
C.cos 378°sin 1 100°
D.tan 400°tan 470°
√
对于A选项，tan 188°>0，cos 158°<0，可知A选项不正确；
对于B选项，sin 305°<0，cos 460°<0，可知B选项正确；
对于C选项，cos 378°>0，sin 1 100°>0，可知C选项正确；
对于D选项，tan 400°>0，tan 470°<0，可知D选项不正确.
√
反思感悟
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.
角α的终边经过点P(sin 95°，cos 95°)，则角α是第 象限角.
跟踪训练3
四
因为95°是第二象限角，所以sin 95°>0，cos 95°<0，所以点P(sin 95°，cos 95°)在第四象限，所以角α是第四象限角.
公式一
四
终边相同的角的同一三角函数的值 .
知识梳理
相等
即
sin(α＋2kπ)＝ ，
cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，
其中k∈Z.
sin α
cos α
tan α
计算下列各式的值：
例4
(2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°).
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，k∈Z，其中α∈[0,2π).
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
反思感悟
跟踪训练4
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)三角函数的定义及求法.
(2)三角函数值在各象限内的符号.
(3)公式一.
2.方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论.
3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正
切函数的定义域为
随堂演练
√
1
2
3
4
设角α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，
2.已知角α的顶点与坐标原点O重合、始边与x轴的非负半轴重合，终边上的一点P的坐标为(－m，3m) (m<0)，则cos α等于
√
1
2
3
4
又m<0，
√
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
显然x的终边不在坐标轴上，
1
2
3
4
本课结束