第五章 §5.5 5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-高中数学人教A版必修一 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第2课时　简单的三角恒等变换(二)
第五章　 5.5.2　简单的三角恒等变换
1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.(重点)
2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.(重难点)
学习目标
导语
同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生一起来探究辅助角公式的意义吧！
一、三角恒等变换与三角函数
二、辅助角公式在三角函数中的综合应用
三、三角恒等变换在实际问题中的应用
随堂演练
内容索引
三角恒等变换与三角函数
一
问题1　请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：(1)sin x±cos x；(2)sin x± cos x；(3)cos x± sin x.
上述三角函数式，实际上是asin x＋bcos x(ab≠0)的特殊形式，上述一组恒等式中的a，b较为特殊，经过一定的配凑，可以得到一些特殊角的三角函数值，那么对于一般的实系数a，b，是否也能进行合并呢？
问题2　一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x
辅助角公式
知识梳理
注意点：
求下列函数的最小正周期、最大值和最小值：
例1
(2)y＝4sin x＋3cos x.
设4sin x＋3cos x＝Asin(x＋φ)，
则4sin x＋3cos x＝Asin xcos φ＋Acos xsin φ，
于是Acos φ＝4，Asin φ＝3，A2cos2φ＋A2sin2φ＝25，
所以4sin x＋3cos x＝5sin(x＋φ)，
利用辅助角公式时，要确定参数a，b的值，从而确定A的值，进而确定角度φ，得到关于x的三角函数.
反思感悟
若当x＝α时，函数f(x)＝ sin x－cos x取得最小值，则sin α等于
√
跟踪训练1
辅助角公式在三角函数中的综合应用
二
(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程；
例2
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
反思感悟
(1)求f(x)的最小正周期；
跟踪训练2
所以f(x)的最小正周期为2π.
三角恒等变换在实际问题中的应用
三
如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
例3
设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α
反思感悟
三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想.
如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的
三分之二，则应按角x＝________来截.
跟踪训练3
设正方形EFGH的边长为1，则正方形ABCD的边长为BC＝BF＋CF＝CG＋CF＝sin x＋cos x，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)辅助角公式.
(2)辅助角公式在三角函数中的综合应用.
(3)三角恒等变换在实际问题中的应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：易忽视实际问题中的定义域.
随堂演练
√
1
2
3
4
2.y＝sin xcos x＋sin2x可化为
√
1
2
3
4
3.有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上)，则这个内接矩形面积的最大值为
√
1
2
3
4
1
2
3
4
如图，在Rt△OCB中， 设∠COB＝α， 则OB＝2cos α，BC＝2sin α.
∴OA＝DA＝2sin α.
∴AB＝OB－OA＝2cos α－2sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则 S＝AB·BC＝(2cos α－2sin α)·2sin α
1
2
3
4
＝2(sin 2α＋cos 2α)－2
1
2
3
4
所以f(x)max＝7.
7