第五章 §5.7 第1课时 三角函数的应用(一)-高中数学人教A版必修一 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
第1课时　三角函数的应用(一)
第五章　§5.7　三角函数的应用
1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.
2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.(重点)
学习目标
导语
现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略)，当线圈处于如图所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；
导语
当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值－A；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时，线圈中的感应电流y又一次为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化.
导语
再例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题.
一、简谐运动
二、三角函数“拟合”模型的应用
三、三角函数在物理中的应用
随堂演练
内容索引
简谐运动
一
问题1　现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪些例子？
提示　弹簧振子的运动、钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、琴弦的振动、日出日落、潮涨潮落、一天温度的变化、一天人员流动的变化等等.很显然，三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好地“拟合”这种周期性的变化.
问题2　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画.
根据已知数据作出散点图，如图所示.
1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
知识梳理
ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.
注意点：
如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题.
(1)写出这个简谐运动的振幅、周期与频率；
例1
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？
如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动.
(3)写出这个简谐运动的函数解析式.
若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则先利用诱导公式变形，再根据概念求值.
反思感悟
弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz
√
跟踪训练1
三角函数“拟合”模型的应用
二
下表所示的是某地2002～2022年的月平均气温(华氏度)：
例2
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系.
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示.
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
∴②不适合，同理④不适合，∴③最适合.
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
反思感悟
平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
跟踪训练2
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ); ②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
又∵函数图象过点(3,2.4)，
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全.
三角函数在物理中的应用
三
如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin 确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s.且最高点与最低点间的距离为10 cm.
例3
(1)求小球相对于平衡位置的高度h和时间t之间的函数关系；
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，所以周期为2，
(2)小球在t0 s内(包含t0)经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围.
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，
反思感悟
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ) 在一个
周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
跟踪训练3
由题图可知A＝300，
(2)如果t在任意一段 的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故ω的最小正整数值为943.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.
随堂演练
√
1
2
3
4
1
2
3
4
2.如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3 m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2 m时，下列描述正确的是(参考数据：7π≈21.991)
A.点A在轮子的左下位置，距离地面约0.15 m
B.点A在轮子的右下位置，距离地面约0.15 m
C.点A在轮子的左下位置，距离地面约0.26 m
D.点A在轮子的右下位置，距离地面约0.04 m
√
1
2
3
4
1
2
3
4
车轮的周长为2π×0.3＝0.6π，
3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<
θ<π)与时间t(s)满足函数关系式 则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是
√
1
2
3
4
1
2
3
4
4.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_____ s往返一次.
1.2
本课结束