绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷06
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
4．已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（ ）（，）
A． B． C． D．
6．函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于直线对称
B．函数图象关于点对称
C．函数在单调递减
D．函数最小正周期为
7．已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B． C．6 D．
8．在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（ ）
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项中判断正确的是（ ）
A．当时，的最小值是5
B．若关于x的不等式的解集是或，则
C．已知向量，，若，则
D．已知向量，，，则与的夹角为
10．已知A，B为两个随机事件，且，，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
11．已知椭圆分别为椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若为直角三角形，则这样的点有4个
C．直线与直线的斜率乘积为定值
D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
12．函数，则（ ）
A．，使得在上递减
B．，使得直线为曲线的切线
C．，使得既为的极大值也为的极小值
D．，使得在上有两个零点，且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记为等差数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式为______．
14．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
15．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为的中点时，平面；
②存在点，使得；
③直线与所成角的余弦值的最小值为；
④三棱锥的外接球的表面积为.
其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）
16．已知函数，给出下列4个结论，其中结论正确的个数有__________个.
①是偶函数；
②在区间单调递减；
③的周期是；
④的最大值为2
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.
18．已知数列满足．
(1)是否为等比数列？并说明理由；
(2)若，求的通项公式．
19．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地 B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
20．双曲线具有这样的性质：若为双曲线上任意一点，则双曲线在点P处的切线方程为.已知双曲线的离心率为，并且经过.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l经过点，与双曲线右支交于P，Q两点（其中点P在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N.证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN.
21．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.
(1)求证：；
(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷06
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，则.
故选：B.
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】 ， ，
，实部为1，虚部为-1，所以 在第四象限；
故选：D.
3．的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【答案】D
【详解】该二项式的通项公式为，
由，可得．
因为，所以展开式中各项系数的最大值为．
故选：D
4．已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为，
若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，
若，则为偶函数，
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（ ）（，）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，，
当时，，
∴，
∴ 的增长率约为.
故选：C
6．函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于直线对称
B．函数图象关于点对称
C．函数在单调递减
D．函数最小正周期为
【答案】C
【详解】由已知，，，又，∴，
，
，A错；
，B错；
时，，C正确；
的最小正周期是，D错．
故选：C．
7．已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【详解】已知函数，定义域为，
又.
因此函数的图象关于点成中心对称，
又，且点与点也关于点成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数在区间上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是.
故选：A.
8．在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（ ）
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条
【答案】D
【详解】过点作，垂足为，连接，
当，高度一样，即时，一定有，理由如下：
在正方体中，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，且平面，
所以，即.
所以当，高度一样，即时，一定有，
此时满足条件的直线有无数条.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项中判断正确的是（ ）
A．当时，的最小值是5
B．若关于x的不等式的解集是或，则
C．已知向量，，若，则
D．已知向量，，，则与的夹角为
【答案】BD
【详解】A：因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最大值是，错误；
B：因为关于的不等式的解集是或，则，
关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
所以，正确；
C：由，得，即，解得或，错误；
D：已知则，又，
，则，故，
，又向量夹角在[0,π]区间内，
所以向量的夹角为，正确；
故选：BD
10．已知A，B为两个随机事件，且，，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【答案】BCD
【详解】若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；
若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；
若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又，
而，
故，D正确.
故选：BCD
11．已知椭圆分别为椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若为直角三角形，则这样的点有4个
C．直线与直线的斜率乘积为定值
D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
【答案】CD
【详解】设椭圆上任意一点为，则， ，
由余弦定理得
，当且仅当 等号成立，此时在椭圆的上下顶点处，最小，最大，
对于A,当在椭圆的上下顶点时，，故不存在点，使得，故A错误，
对于B, 当在椭圆的上下顶点时，的最小值为，此时为钝角，根据椭圆的对称性可知：当为直角时，此时有4个满足位置的点，当为直角时，满足条件的有2个，同理为直角时，也有2个满足条件的，故当为直角三角形时，有8个满足满足条件的，故B错误，
对于C，,所以,故C正确，
对于D，设不妨设是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为，故当 时， 在椭圆上，此时周长最大为8，当时，此时，此时在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为，故D正确，
故选：CD
12．函数，则（ ）
A．，使得在上递减
B．，使得直线为曲线的切线
C．，使得既为的极大值也为的极小值
D．，使得在上有两个零点，且
【答案】BCD
【详解】A．若，使得在上递减，则，代入得，解得 且，故 不存在，因此不存在，使得在上递减，故A错；
B．当时，，当切点为时，则只需，故B对；
C．注意到，令，
另一方面，时，，
当时，，
当时，
此时时，取极小值，此时为极小值，
由，所以函数的图象关于对称，由对称性可知：为的极大值，此时也为极大值．故C对；
对于D，令，，函数在上有两个零点，，所以，
故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记为等差数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式为______．
【答案】##
【详解】设等差数列的公差为，
根据等差数列的前n项和公式可得，解得；
又，可得；
所以通项公式为.
故答案为：
14．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】
【详解】因为100个数据，，，…，的平均值，
方差，
所以的估计值为，的估计值为．
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由， 得，
所以．
故答案为：.
15．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为的中点时，平面；
②存在点，使得；
③直线与所成角的余弦值的最小值为；
④三棱锥的外接球的表面积为.
其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④
【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，
因为分别为的中点，
故可得//，，
根据已知条件可知：//，
故//，
故四边形为平行四边形，则//，又平面平面，
故//面，故①正确；
对②：因为平面，平面，
故，
又四边形为矩形，
故，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则，设，，
若，则，不满足题意，故②错误；
对③：，，
，
，，，
，，
令，设，，，
则，当时，根据对勾函数的性质得，则，
当时，有最小值，最小值为，故③错误；
对④：由题可得平面，又面为正方形，
∴，
∴AB⊥平面BCF，则AB，BC，CF两两垂直，
∴AF为三棱锥的外接球的直径，
又，
∴三棱锥的外接球表面积为，故④正确.
故答案为：①④.
16．已知函数，给出下列4个结论，其中结论正确的个数有__________个.
①是偶函数；
②在区间单调递减；
③的周期是；
④的最大值为2
【答案】2
【详解】对于①，，即是偶函数，故①正确；
对于②，在为增函数，又在为减函数，则在为减函数，在为减函数，又在为减函数，则在为减函数，即在区间单调递减，故②正确；
对于③，因为，故③错误；
对于④，因为,，则,，又,，则,，即，故④错误.
综上，正确的个数有个.
故答案为：.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，，
又，
所以，所以，所以；
（2）在中，由正弦定理得，
所以.
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即线段的最大值为.
18．已知数列满足．
(1)是否为等比数列？并说明理由；
(2)若，求的通项公式．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由得：，
当时，数列为各项为的常数列，不是等比数列；
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）当时，，
由（1）知：数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即，
当时，，
又满足，.
19．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地 B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
【答案】(1)适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率
(2)（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析
【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令，先建立y关于t的线性回归方程.
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.
（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii），
，
，
因为，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
20．双曲线具有这样的性质：若为双曲线上任意一点，则双曲线在点P处的切线方程为.已知双曲线的离心率为，并且经过.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l经过点，与双曲线右支交于P，Q两点（其中点P在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N.证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，离心率，，解得，，
故双曲线的方程为.
（2）方法一：设，，直线PQ为，代入双曲线方程，
得：，则且，，
∴，∵，
∴，
∴直线AP方程为，令得：，∴，
∵直线PQ为，令得：，即，
设线段MN的中点坐标为，则，，
∵过点P的切线方程为：，
要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，即证点P处的切线经过线段MN的中点T.
∵，
，
所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN.
方法二：设，，则，.由题意可知，点M在直线PA上，
且纵坐标为，设，由可得：，整理得：
，∴，
同理可得，
设线段MN的中点坐标为，
则，，
又∵过点P的切线方程为：，要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，
即证点P处的切线经过线段MN的中点T，∵，
∵，，
∴，
所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN.
21．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.
(1)求证：；
(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设线段的中点为，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
因为平面，
所以平面，平面，
所以；
（2）过点作垂直直线于，则有，
因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，
所以平面ABCD，
连接，因为，，
所以可得，
而，所以四边形是菱形，而，
所以四边形是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的法向量为，
，
同理可得平面的法向量为，
，
因为平面平面PBC，
所以.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，所以.
又，所以切线的斜率为.
所以切线方程为.
令，得；令，得.
所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积.
（2）因为，所以.
当时，，单调递增，所以至多有一个零点.
令，则.
当时，因为，所以.
所以，单调递减，所以至多有一个零点.
当时，令，得且.
当时，时，即时，，，单调递增，又，所以.
因为是连续的函数，且，
所以，所以在上只有一个零点.
当或，即，或时，，，单调递减，
因为.
设，，
所以单调递增，所以，即，
因为，即.
因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.
所以在上又有一个零点，设，
因为，
所以，又，所以，
因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.
综上可知，当时，函数在在三个不同的零点.
故实数的取值范围为.
