绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷07
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，可得，故，
由，
所以.
故选：C
2．若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【详解】，
，
.
故选：A．
3．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．80 C． D．
【答案】B
【详解】当时，，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以，
故选：B
4．已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有， B．存在平面，有，
C．存在直线，有， D．存在直线，有，
【答案】A
【详解】对A，若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，，
即存在平面，有，是使成立的必要不充分条件，故A正确；
对B，若，，则；若，则存在平面，有，，
即存在平面，有，是使成立的充分必要条件，故B错误；
对C，若，，则直线；若，则不存在直线，有，，
即存在直线，有，是使成立的既不充分又不必要条件，故C错误；
对D，若，，则；若，则存在直线，有，，
即存在直线，有，是使成立的充分必要条件，故D错误.
故选：A.
5．一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟 （ ）（）
A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1
【答案】B
【详解】根据题意，，即，解得，
，即，
所以，
所以；
故选：B
6．已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．函数在上有两个极值点
D．方程在上有3个解
【答案】D
【详解】由题.
的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得.
A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；
B选项，时，，因，在上单调递减，则在上单调递减，故B正确.
C选项，时，.令，
因，，则函数在上有两个极值点，故C正确；
D选项，时，.由，可得，则方程在上有2个解，故D错误.
故选：D
7．定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，由得：，，
在上单调递减，
令，则，且；
当时，，，在上单调递增，
对于A，，即，，A错误；
对于B，，即，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，即，，D正确.
故选：D.
8．在正方体中，，为的中点，点在线段（不含端点）上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的取值范围是
B．若，则三棱锥体积的最大值为
C．的最小值为
D．平面
【答案】B
【详解】对于A，如下图所示：
易知为平行四边形，则，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，又点在线段（不含端点）上运动，
可知是等边三角形，当点趋近于两端时，直线与所成的角大于且趋近于，
当点为的中点时，直线与所成的角为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即A正确；
对于B，若，又，所以在同一平面内，点的轨迹是以为焦点的椭圆，
又因为为空间中任意一点，所以点的轨迹是长轴为，短轴为，焦距的椭球表面，
当点在中点的正上方时，点到平面的距离最大为，
由等体积法可知，
所以三棱锥的体积最大值为，即B错误；
对于C，如下图所示：
展开平面，使平面与平面共面，过作，交于点，交于点，
此时三点共线，满足取最小值，
由题可得，所以，即的最小值为，即C正确；
对于D，如下图所示：
易知，平面，平面，所以平面；
同理可得平面，又，且平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，即D正确.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，，点在边上，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．当，
C．当平分时，
D．存在点使得是等腰三角形
【答案】BCD
【详解】由题意，.
对于A，，
所以，故A错误；
对于B，由A可知，，即，
在，由余弦定理，可得，
所以，
即，故B正确；
对于C，因为平分，所以，
即，即，
因为，
所以，，
由B可知，，又，
所以，
在中，由余弦定理可得，，
即，解得
即，故C正确；
对于D，若，则是等腰三角形，
设，则，
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
故存在点，且时，使得是等腰三角形，故D正确.
故选：BCD.
10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间内，将其分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（ ）
A．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%
B．该校学生测试成绩的中位数估计值为80
C．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数
D．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.16
【答案】ACD
【详解】由题图可知，，所以．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为，A正确．
该校学生测试成绩在内的频率为，测试成绩在内的频率为，所以学生测试成绩的中位数在区间内．设中位数为分，则，解得，B错误．
该校学生测试成绩的平均数估计值为
．又知该校学生测试成绩的众数估计值为，故该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数，C正确．
从该校学生中随机抽取1人，此人成绩在内的概率为，故从该校学生中随机抽取2人，这2人的成绩不低于84分的概率估计值为，D正确．
故选：ACD．
11．已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【详解】对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．对任意，，函数有且只有两个极值点
B．存在，，曲线有经过原点的切线
C．对于任意，且，均满足
D．当时，恒成立
【答案】BCD
【详解】对于A选项，当时，，，解得，故当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数只有一个极小值点，故A选项错误；
对于B选项，由A选项知，当时，，，
假设其存在过原点知切线，则可设切点为，斜率为
所以，其切线方程为：
又因为其过坐标原点，则，整理解方程得，
故该曲线存在过原点的切线，B选项正确；
对于C选项，对于，，
故当时，有解，即为，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以当时，函数为凹函数，
所以对于任意，且，均满足，故C选项正确；
对于D选项，当时，，
当，同为奇数时，函数为奇函数，，则，故，即成立；
当，同为偶数时，函数为偶函数，，则，故，即成立；
当为奇数，为偶数时，时，，
当时，，即；
当时，，即；
故为奇数，为偶数时，成立；
当为偶数，为奇数时，时，，
当时，，即；
当时，，即；
故为偶数，为奇数时，成立；
综上，当时，恒成立.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，满足，，，则在上的投影为___________.
【答案】
【详解】因为，所以，
则在上的投影为.
故答案为：
14．如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则___________.
【答案】
【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，
所以，，所以，，
所以，.
故答案为：.
15．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是_______________．
【答案】
【详解】因为，所以这组数据的第65百分位数是．
故答案为：20.7.
16．在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．
如图所示．给出下列四个结论：
①平面PEF；
②不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得；
④当四棱锥的体积最大时，．
其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①③
【详解】①因为，平面，平面，
所以平面，故①正确；
②因为是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，则，
因为，，所以，且
当时，,所以，
此时是等腰三角形，故②错误；
③因为，且，，
且平面，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
如图，过点作，连结，
则平面，平面，所以，
若，，平面，平面，
所以平面,平面，
所以，
如图，，延长，交于点，
则和都是等腰直角三角形，
则，点到直线的距离等于，
这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，
设，则，则，
则存在点E，P，使得，故③正确；
④当底面的面积一定时，平面平面平面时，即平面时，四棱锥的体积最大，
设，，
得（舍）或，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误；
故答案为：①③
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为．
(1)求的值；
(2)若，求边上的高的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴为的平分线，
在与中，根据正弦定理可得：
两式相比可得：
又的面积与面积的比为，
∴，
即，且，
由得，
∴且为锐角，∴．
故答案为：
（2）由（1）知为锐角，且，
因此，
又，所以在中由余弦定理得，
解得：，
∵∴．
故答案为：
18．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ①，
所以当时， ②．
因为，所以由得，即．
所以，即．
由，
得，所以，所以．
所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，
即，
所以．
所以
．
19．党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向，为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程.为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛.甲 乙两个单位进行党史知识竞赛，每个单位选出3人组成甲 乙两支代表队，每队初始分均为3分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分，已知甲队3人每人答对的概率分别为；乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示首轮甲队总分.
(1)求随机变量X的分布列及其数学期望；
(2)求在甲队和乙队总分之和为12分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）由题设，的可能取值为.
，
所以的分布列为
0 3 6 9
.
（2）设“甲队和乙队得分之和为12”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，
则，
所以，
所以在甲队和乙队总分之和为12分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.
20．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为
(1)证明：；
(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）解法一：
如图1，取AB中点O，连接PO，CO.
因为，，所以，，.
又因为是菱形，，所以，.
因为，所以，所以.
又因为平面，平面ABCD，，
所以平面.
因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，
所以.
因为，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，
所以.
解法二：
如图2，取AB中点O，连接PO，CO，
因为，，
所以，，，
又因为是菱形，，
所以，.
因为，所以，所以.
因为平面PAB，平面PAB，，
所以平面PAB.
所以，.
过M作交AP于点N，，所以.
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，所以.
因为，，
所以，
所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以.
（2）解法一：
由（1）知，，，.
如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，，.
因为，设，则，
因为，，，，故存在实数a，b，使得，
所以，解得，
所以.
设平面的法向量为，则，即，
取，得到平面的一个法向量.
设平面与平面夹角是，
又因为是平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值是.
解法二：
由（1）知，，，，
如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，，.
设平面的法向量为，则，即.
取，得到平面的一个法向量.
因为，设，则，
因为，所以，所以
设平面的法向量为，则，即.
取，得到平面的一个法向量.
设平面与平面夹角是，
又因为是平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值是.
解法三：
在平面内，过C作交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，
因为是菱形，所以.
如图4，在平面PAD内，作交EM的延长线于点，设交AP于点Q.
所以，四边形是平行四边形，，.
所以，所以，
所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.
如图5，在平面PAB内，作，交AB于T，
因为平面，所以平面，所以，
因为，，
在平面内，作，交BC于点N，连接QN，过A作交BC于K，
在中，，，所以，
所以，
因为，，，且两直线在平面内，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
在中，，所以.
所以平面与平面夹角的余弦值是.
21．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，
解得
所以椭圆C的方程为；
（2）F（1，0），A（-2，0），
设直线l的方程为，
由得
直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.
设P（，），Q，），
则.
直线AP的方程为，
令，得，即M（4，），
同理，N（4，），
所以，
所以
，
所以以MN为直径的圆恒过点F.
22．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意知：定义域为，；
当时，，，在上单调递增；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由恒成立得：，
令，
令，则，
则当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增，
，即（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）；
令，则恒成立，
在上单调递增，又，，
，使得，即，
等号可以成立，
，
，解得：，即实数的取值范围为.2023年高考数学考前信息测评卷07
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．80 C． D．
4．已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有， B．存在平面，有，
C．存在直线，有， D．存在直线，有，
5．一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟 （ ）（）
A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1
6．已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．函数在上有两个极值点
D．方程在上有3个解
7．定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在正方体中，，为的中点，点在线段（不含端点）上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的取值范围是
B．若，则三棱锥体积的最大值为
C．的最小值为
D．平面
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，，点在边上，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．当，
C．当平分时，
D．存在点使得是等腰三角形
10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间内，将其分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（ ）
A．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%
B．该校学生测试成绩的中位数估计值为80
C．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数
D．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.16
11．已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．对任意，，函数有且只有两个极值点
B．存在，，曲线有经过原点的切线
C．对于任意，且，均满足
D．当时，恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，满足，，，则在上的投影为___________.
14．如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则___________.
15．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是_______________．
16．在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．
如图所示．给出下列四个结论：
①平面PEF；
②不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得；
④当四棱锥的体积最大时，．
其中所有正确结论的序号是_________．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为．
(1)求的值；
(2)若，求边上的高的值．
18．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
19．党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向，为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程.为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛.甲 乙两个单位进行党史知识竞赛，每个单位选出3人组成甲 乙两支代表队，每队初始分均为3分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分，已知甲队3人每人答对的概率分别为；乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示首轮甲队总分.
(1)求随机变量X的分布列及其数学期望；
(2)求在甲队和乙队总分之和为12分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.
20．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为
(1)证明：；
(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
22．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.
