2023年高考数学考前信息测评卷08
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．6
2．若，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．180 D．300
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（ ）
A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃
6．函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆C的半径为，则函数的解析式为
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
10．下列命题，错误的是（ ）
A．若随机变量X服从正态分布，且，则
B．100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布
C．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化
D．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好
11．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
12．定义在上的偶函数满足，且当时，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．向量.若，则___________.
14．《中国居民膳食指南（）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是___________．
15．2022年11月30日，神舟十五号与神舟十四号航天员乘组在太空“胜利会师”，一起在中国人自己的“太空家园”留下了一张足以载入史册的太空合影．为了帮助同学们了解这六名航天员的奋斗历程，某班进行了相关专题讲座，并要求每人写一篇感想，班主任从中选取两篇优秀感想A，B向甲、乙报社投稿，先把A投向甲报社，B投向乙报社，两篇感想被采用的概率均为，若两篇感想至少有一篇被采用，则没被采用的将不再继续投稿；若两篇感想都没有被采用，则把A投向乙报社，B投向甲报社，此时A，B被采用的概率均为．若A，B是否被采用互不影响，则两篇感想至少有一篇被采用的概率为______．
16．在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.
①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是___________.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，．
(1)求b；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．
条件①：；
条件②：边上中线的长为；
条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知等差数列的公差，，其前项和为，且______．
在①，，成等比数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为等腰三角形，，为的中点．
(1)求证：平面．
(2)若底面，且，求点到平面的距离．
20．为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：
月份 2022.12 2023.1 2023.2 2023.3 2023.4
月份编号 1 2 3 4 5
竞拍人数（万人） 1.7 2.1 2.5 2.8 3.4
(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.
(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：
报价区间（万元）
频数 20 60 60 30 20 10
（i）求这200位竞拍人员报价的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及方差估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
附：，若，则，.
21．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧，
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的右支相切，切点为与直线交于点，试探究以线段为直径的圆是否过轴上的定点.
22．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在 上的最大值和最小值；
(3)设 ，证明：对任意的，有．2023年高考数学考前信息测评卷08
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】A
【详解】因为集合，，且，
则有，所以.
故选：A
2．若，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】，则，
所以对应点为，在第三象限.
故选：C
3．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．180 D．300
【答案】B
【详解】的展开式的通项为．
当为常数时，，解得，则；当为常数时，，解得，则，所以的展开式中常数项为．
故选：B．
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，
则，
假设为钝角三角形，
则由余弦定理得，，这三个代数式中有两个为正，一个为负，
可得，
这与题设矛盾，因此不为钝角三角形，
假设为直角三角形，
则由余弦定理得，，这三个代数式中有两个为正，一个为零，
可得，
假设为锐角三角形，
则由余弦定理得，，这三个代数式都为正，
可得，
所以为锐角三角形，
若为锐角三角形，则，，这三个代数式均为正，
所以，
故“”是“为锐角三角形”的充要条件.
故选：C.
5．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（ ）
A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃
【答案】B
【详解】解：由题意可知，
整理得，
，所以，，
解得．
空气温度是．
故选：B．
6．函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆C的半径为，则函数的解析式为
【答案】D
【详解】由函数图象，可得点的横坐标为，
所以函数的最小正周期为，所以A不正确；
又由，且，即，
根据五点作图法且，可得，解得，
因为，可得，
结合三角函数的性质，可得函数在是先减后增的函数，所以B错误；
将函数的图象向左平移个单位后，得到，
可得对称轴的方程为，即，
所以不是函数的对称轴，所以C错误；
当时，可得，即,
若圆的半径为，则满足，即，
解得，所以的解析式为，所以D正确.
故选：D.
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
令，则恒成立，
所以，即在R上单调递增.
又，
所以，当时，恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，所以，
即，，即，即，所以.
令，则，
令，则在恒成立.
所以，，即在R上单调递增.
又，
所以，当时，有成立，
所以，在上单调递减.
又，
因为，所以，，
所以，，
又，
所以，，
所以，，即.
综上可得，.
故选：A.
8．如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】由题意知，，，
又平面，所以平面.
设点在平面内的投影为，
则点在线段上，且，
即，所以，
设点在线段上，且，
则四边形是一个正方形，点的轨迹是其对角线.
将与展开到一个面内，得到如图图形，
因此的最小值是，
由余弦定理，得，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】BC
【详解】已知平面向量，，，
对于A，若，可得，即，解得，所以A选项错误；
对于B，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以B选项正确；
对于C，若，则，
由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，
所以C选项正确；
对于D，若，则，所以；
但当时，，
此时向量与的夹角为，所以D选项错误；
故选：BC.
10．下列命题，错误的是（ ）
A．若随机变量X服从正态分布，且，则
B．100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布
C．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化
D．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好
【答案】BCD
【详解】对于A，因为随机变量X服从正态分布， 因为，则，又因为，所以，故选项A正确；
对于B，根据二项分布的性质可知，100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X不满足二项分布，故选项B错误；
对于C，将随机变量进行平移，均值也随之平移，方差不发生改变，故选项C错误；
对于D，在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越大，则模型的拟合效果越好，故选项D错误，
故选：BCD.
11．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
【答案】ABD
【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：
，解得，∴双曲线，A正确；
对B，，，，
，∴，B正确；
对C， ，
，，周长，C错误；
对D，令 ，则 ， ，在 中，
，∴，设 的周长为l，内切圆半径为r，则 ，
由三角形面积公式知： ，
，D正确；
故选：ABD．
12．定义在上的偶函数满足，且当时，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为定义在R上的偶函数满足，所以关于对称，
又，所以，
则4为函数的周期，根据函数性质画出函数的图象，
因为关于x的不等式的整数解有且仅有9个，
所以满足 解得，
则实数m的取值范围为
由于，，，．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．向量.若，则___________.
【答案】
【详解】由已知可得，
又，
，
解得.
故答案为：.
14．《中国居民膳食指南（）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是___________．
【答案】
【详解】，，
该地中学生体重的中位数位于内，
设中位数为，则，解得：.
故答案为：.
15．2022年11月30日，神舟十五号与神舟十四号航天员乘组在太空“胜利会师”，一起在中国人自己的“太空家园”留下了一张足以载入史册的太空合影．为了帮助同学们了解这六名航天员的奋斗历程，某班进行了相关专题讲座，并要求每人写一篇感想，班主任从中选取两篇优秀感想A，B向甲、乙报社投稿，先把A投向甲报社，B投向乙报社，两篇感想被采用的概率均为，若两篇感想至少有一篇被采用，则没被采用的将不再继续投稿；若两篇感想都没有被采用，则把A投向乙报社，B投向甲报社，此时A，B被采用的概率均为．若A，B是否被采用互不影响，则两篇感想至少有一篇被采用的概率为______．
【答案】
【详解】由题意得，第一次投稿两篇感想都没被采用的概率为，
所以第一次投稿至少有一篇感想被采用的概率，
第一次投稿两篇感想都没被采用，第二次投稿至少有一篇感想被采用的概率
，
故两篇感想至少有一篇被采用的概率．
故答案为：.
16．在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.
①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【详解】对于①，因为，则、、、四点共面，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，①对；
对于②，当、分别为、的中点时，，
又因为，此时，②错；
对于③，因为、，平面即为平面，平面即为平面，
所以，二面角即为二面角，
而二面角为定值，
故二面角为定值，③错；
对于④，因为平面，平面，则，同理可得，
因为，同理可得，，
将和延展至同一平面，如下图所示：
在中，，，
因为，，，所以，，
所以，，故，
所以，，
当时，取最小值，且最小值为，④对.
故答案为：①④.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，．
(1)求b；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．
条件①：；
条件②：边上中线的长为；
条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
在△中，由正弦定理，可得：，
又因为， 所以.
（2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①
选择条件②
设边上的中线为，则，，
在△中，由余弦定理得：
，
因为，，所以，
所以△的面积为.
选择条件③
方法1：
由题设，因为，所以，
因为，所以
因为，所以，所以，
由余弦定理可得：，
整理得，解得（舍），
因为，，所以，
所以△的面积为.
方法2：由题设，因为，所以，
因为，所以
在△中，因为，所以，即，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以△的面积为.
方法3：因为且，
所以或，
因为，所以，
又因为，
所以即，
所以△为等腰三角形，设边上的高为，则，
由勾股定理，
所以△的面积为.
18．已知等差数列的公差，，其前项和为，且______．
在①，，成等比数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选择条件①．
因为，，成等比数列，所以，
，整理得，
又，解得，
所以数列的通项公式为．
若选择条件②．
因为，所以，
，解得，
所以数列的通项公式为，
若选择条件③．
因为，所以，
即，
因为，，所以，
所以，
则数列的通项公式为
（2）解法一：
解法二：
19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为等腰三角形，，为的中点．
(1)求证：平面．
(2)若底面，且，求点到平面的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，取的中点,连接，
为等腰三角形,且，，
又为等边三角形,且为的中点，
，
，又平面平面，
平面，
又分别为的中点，,
又平面平面,
平面.
又，且平面，
平面平面,
平面平面.
（2）连接，
在等腰中,,
在中,由余弦定理,得，
，
在Rt中,，所以.
设点到平面的距离为，
由,得,
，所以.
由（1）可知,平面点到平面的距离等于点到平面的距离.
点到平面的距离为.
20．为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：
月份 2022.12 2023.1 2023.2 2023.3 2023.4
月份编号 1 2 3 4 5
竞拍人数（万人） 1.7 2.1 2.5 2.8 3.4
(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.
(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：
报价区间（万元）
频数 20 60 60 30 20 10
（i）求这200位竞拍人员报价的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及方差估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
附：，若，则，.
【答案】(1)，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人
(2)（i），；（ii）预测竞拍的最低成交价为4.943万元
【详解】（1），
，
，
关于的线性回归方程
2023年5月份对应，所以
所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.
（2）（i）由题意可得：
（ii）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为万元，
根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为
根据假设报价可视为服从正态分布，
令，由于，
，
，所以得，
所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．
21．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧，
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的右支相切，切点为与直线交于点，试探究以线段为直径的圆是否过轴上的定点.
【答案】(1)
(2)过定点，理由见解析
【详解】（1）不妨设点A在第一象限，，则.
因为，则.
由已知，，即，
即.
因为，则，即.
因为为渐近线的倾斜角，则，即.
又，则.
所以双曲线的方程是.
（2）当直线的斜率不存在时，直线与平行，不合要求，
故直线的斜率存在，设其方程为，
联立直线与双曲线的方程，消去，
得，
，
得，则，
设切点，则，
.
设，因为是直线与直线的交点，
所以，
假设轴上存在定点满足条件，则恒成立，
即：
，
故存在，使得，即，
所以轴上存在定点在以为直径的圆上.
22．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在 上的最大值和最小值；
(3)设 ，证明：对任意的，有．
【答案】(1)y=1
(2)最小值1，最大值 .
(3)证明见解析
【详解】（1） ， ，在点处的切线方程为 .
（2） ， 是偶函数，
则 ，单调递增，
， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当时，取最小值1，当 或 时，取最大值.
（3）要证明对任意的，有，
只需证明对任意的，有 ，
，
，在上上单调递减，
，.
