2023年高考数学考前信息测评卷09
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集.设集合,则( )
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【详解】由不等式,
解得,
∴或;
由不等式,
解得或,
∴.
故选:D.
2．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由，得，
∴z在复平面内所对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．已知，则的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【答案】B
【详解】因为，
展开式第项，
当时，，
当时，，
故，
即.
故选：B
4．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数.
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要条件.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
5．相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
【答案】B
【详解】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，
的圆心角所对应的弧长就是圆周长，
的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，
.
当为5000古希腊里，，即时，
古希腊里.
故选：B.
6．已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值．现有下列四个结论：①；②的最小值为；③若函数在上存在零点，则的最小值为；④函数在上一定存在零点．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为函数在处取得最大值，即函数的图象关于直线对称，
因此，即，解得，①正确；
因为函数在处取得最大值，则，即，
有，于是，
又，即，因此或，从而，②错误；
当时，，
当时，，由得，此时，
当时，，
由得，当时，，
当时，，而区间长度，
即当时，函数在上存在零点，，③正确；
当时，，由得，
显然当时，，即函数在上存在零点，
当时，，而区间长度，
函数在上存在零点，综上得函数在上一定存在零点，④正确，
所以结论正确的个数是3.
故选：C
7．定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，由得：，，
在上单调递减，
令，则，且；
当时，，，在上单调递增，
对于A，，即，，A错误；
对于B，，即，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，即，，D正确.
故选：D.
8．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设柱体的底面积为，则柱体的体积，注入水的体积为，
容器倾斜后，上半部分三棱锥的体积，
则可得，整理得.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BCD
【详解】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.
对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；
故选：BCD.
10．已知，，设，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．以，为邻边的平行四边形的面积为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】对A：若，则，可得，
注意到，可得，A错误；
对B：若，且，则，
则，故，B正确；
对C：以，为邻边的平行四边形的面积，
，
∵，则，即，则有：
当时，则，
故；
当时，则，
故；
当时，则，
故；
综上所述：以，为邻边的平行四边形的面积为，C正确；
对D：不妨设，则，
可得，
∵，则，整理得，
点的轨迹为以为圆心，半径的圆
又∵，由圆可知，
故的最大值为，D正确；
故选：BCD.
11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为 B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为 D．
【答案】ABC
【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：
这3个球都是红球的基本事件数为：，
所以事件A发生的概率为：，故A错误，
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：
，
所以事件B发生的概率为：，故B错误，
这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：
，
事件C发生的概率为,故C错误，
因为，
所以由条件概率公式得：，
故D正确，
故选：ABC.
12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（ ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
【答案】BCD
【详解】令，得，故B正确；
令，则，所以为奇函数，故A错误；
任取，且，则.
因为，
所以，所以.
因为，，所以，，
即在上单调递增.
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，
所以.
因为，所以，故C正确；
因为，且，所以.
令，则，
令，则，所以.
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.
【答案】350
【详解】由题意可得，解得，
由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.
故答案为：350
14．函数在处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】，，解得：，
，，
所求切线方程为：，即.
故答案为：.
15．已知为数列的前项和，若，设函数，则___________
【答案】1011
【详解】由于，①，
当时，，所以，
当时，，②，
①②得：，
所以，显然时，也成立，
当时，，
当时，也满足上式，所以；
因为，
所以，
所以；
又，
所以
．
故答案为：.
16．在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．
如图所示．给出下列四个结论：
①平面PEF；
②不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得；
④当四棱锥的体积最大时，．
其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①③
【详解】①因为，平面，平面，
所以平面，故①正确；
②因为是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，则，
因为，，所以，且
当时，,所以，
此时是等腰三角形，故②错误；
③因为，且，，
且平面，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
如图，过点作，连结，
则平面，平面，所以，
若，，平面，平面，
所以平面,平面，
所以，
如图，，延长，交于点，
则和都是等腰直角三角形，
则，点到直线的距离等于，
这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，
设，则，则，
则存在点E，P，使得，故③正确；
④当底面的面积一定时，平面平面平面时，即平面时，四棱锥的体积最大，
设，，
得（舍）或，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误；
故答案为：①③
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)若的面积等于，求；
(2)若，求的面积；
(3)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
由余弦定理得，即，①
，
，②
联立①②解得；
（2），由正弦定理得，③
联立①③解得，
；
（3），
，
即，④
联立①④解得，
.
18．已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，则有：
当时，，解得；
当时，则，
两式相减得，即；
注意到，故，
∴是首项为3，公比为3的等比数列，
故.
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
19．如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以 为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．
(1)求证：；
(2)若把折起到当平面平面时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，设，
由题意可得：，，
∴四边形为菱形，则，
折叠后，，
，平面，
∴平面，
且平面，故.
（2）若平面平面，由，平面平面，平面，
可得平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
∵为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，
由图观察知：二面角是钝角，故二面角的余弦值为．
20．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.
【答案】(1)41.5岁
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.
平均年龄（岁）.
（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30
根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人
再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.
（3）由题意可知：，则有：
，，
，.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
可得的数学期望.
21．已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【详解】（1）设，则，
由题意得所以， ，
，即， ，
；
（2）
因为双曲线的右顶点，
所以双曲线的标准方程为，
因为，所以直线的斜率一定存在，并且 （如果 ，则 ，这不可能），
设直线的方程为，联立方程 得：
，
所以，
即，
所以.
因为以为直径的圆经过点，
所以，所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
即，
化简得，即，
解得或，且均满足，
当时，，
因为直线不过定点，故舍去；
当时，，
所以直线恒过定点；
综上，，直线恒过定点.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，则，
若时，则，，
即切点坐标为，切线斜率，
∴切线方程为，即.
（2）∵，即，
整理得，
故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，
构建，则，
注意到，则，
构建，则在上单调递增，且，
故在内存在唯一的零点，
可得当，则；当，则；
即当，则；当，则；
故在上单调递减，上单调递增，则，
又∵为的零点，则，可得且，
∴，
即在上的最小值为0，
故实数的取值范围.2023年高考数学考前信息测评卷09
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集.设集合,则( )
A． B．或
C．或 D．
2．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
4．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
6．已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值．现有下列四个结论：①；②的最小值为；③若函数在上存在零点，则的最小值为；④函数在上一定存在零点．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
10．已知，，设，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．以，为邻边的平行四边形的面积为
D．若，则的最大值为
11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为 B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为 D．
12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（ ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.
14．函数在处的切线方程为__________．
15．已知为数列的前项和，若，设函数，则___________
16．在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．
如图所示．给出下列四个结论：
①平面PEF；
②不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得；
④当四棱锥的体积最大时，．
其中所有正确结论的序号是_________．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)若的面积等于，求；
(2)若，求的面积；
(3)若，求的面积.
18．已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
19．如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以 为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．
(1)求证：；
(2)若把折起到当平面平面时，求二面角的余弦值．
20．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.
21．已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
