2023年高考数学考前信息测评卷10
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由,解得，
又因为，所以，
又由，可得，解得，
所以，
所以，
故选:C.
2．已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】由，得，
，
，
.
故选：B.
3．已知的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含项的系数为（ ）
A．－36 B．－18 C．18 D．36
【答案】B
【详解】令，则，解得，
的展开式中含项为
，
所以展开式中含项的系数为.
故选：B
4．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，：，：，所以，充分性成立；
当时，，即，可得或，必要性不成立
故选：A．
5．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：中，因为，
所以，
则，
即，
又，
则，
即，则，
所以，
当时，面积取得最大值为，
故选：A
6．已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为，
所以，得，又，所以，
则.
将函数图象上的点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，
得，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，得，
即函数在上的值域为.
故选：C.
7．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据指数函数为单调递增函数可得，，
即；
再由指数函数为单调递减函数可知，，
结合指数函数值域可得；
根据对数函数在上为单调递增可知，，
即；
所以.
故选：A
8．三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，
由，由面，可知P点在面上，
又，面，所以为直角三角形，
故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆，
设点，则 —①，
因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，
设点，由，得—②，
联立①②得：，
设过点和点的直线斜率为，则，
由直线与圆相切，可得，
则，所以，所以．
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（ ）
A．线段长的最大值为6 B．当直线与圆相切时，
C．以线段为直径的圆不可能过原点 D．的最大值为20
【答案】ABD
【详解】根据题意可知的圆心，半径，如下图所示：
易知，当且仅当三点共线（且点在中间）时，等号成立，即A正确；
当直线与圆相切时，由勾股定理可得，所以B正确；
若以线段为直径的圆过原点，由直径所对圆周角为直角可得，
易知当在轴上时，满足题意；
所以以线段为直径的圆可能过原点，即C错误；
设点，易知，
则
所以，即的最大值为20，即D正确；
故选：ABD
10．下列说法正确的是（ ）
A．若事件互斥，，则
B．若事件相互独立，，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】对于A：，正确；
对于B：，正确；
对于C：，，
所以，解得正确；
对于D：由C得，D错误，
故选：ABC.
11．过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A．可能为锐角三角形
B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C．若，则的面积为
D．最小值为
【答案】CD
【详解】对于A：因为抛物线C：的焦点为F，所以，
设，，AB方程为，
由，得，所以，，
故，所以∠AOB为钝角，故A错误；
对于B：因为对于，当时，，
所以在抛物线外，显然过与抛物线C相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误；
对于C：当时，设，则，
，即，不妨设，
此时，故AB方程为，
联立抛物线C：，解得，
所以，故C正确；
对于D：由选项A知，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：CD．
12．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数
C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数
【答案】ABC
【详解】设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的减函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，
因为函数是奇函数，所以，
由，可得，
因为函数是R上的减函数，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则不等式的解集是________．
【答案】
【详解】因为，令，
则，
则函数为偶函数，
又，
当时，，，所以，所以在上单调递增，
又，
由可得，即，即，
所以，解得，即不等式的解集是.
故答案为：
14．某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
施肥量x/kg 20 40 50 60 80
产量y/kg 600 800 1200 1000 1400
已知y与x满足线性回归方程，则当施肥量为80kg时，残差为______.
【答案】10
【详解】由题意得，，由回归直线过样本点的中心，所以，解得，所以，
则当时，，故残差为.
故答案为：10.
15．已知O是坐标原点，F是双曲线的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为______．
【答案】
【详解】根据双曲线的对称性，不妨假设在第二象限，作出如下图形，
设双曲线的右焦点为，连接.
因为是等边三角形，所以，．
又，所以．
在中，由余弦定理知
，
则.
根据双曲线的定义有，则．
故答案为：.
16．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．
给出下列四个结论：
①的最小值为；
②四面体的体积为；
③有且仅有一条直线与垂直；
④存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
【答案】①②④
【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为；
对于②，，而，所以四面体的体积为；
对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误；
对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可.
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，
设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形.
故答案为：①②④
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．中，内角、、的对边分别为、、，．
(1)若，．求证：；
(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，，，
由余弦定理可得，．
.
（2）解：由可得．
为边的中点，则，
，
所以，
，即，
当且仅当时，等号成立，故长的最小值为.
18．在各项均为正数的数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
，则或，
又，，
数列为等比数列，公比为2，，．
（2）证明：由（1）得，，，
则
，
的前项和为，
则，
又当时，
当时，为增数列，，即，
．
19．如图（1），在中，，将沿折起，使得点到达点处，如图（2）.
(1)若，求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵平行四边形中，，可得
又
又平面
（2）方法一：
如图，过点做，且，连接，
由题意可知，
平面，∴
又平面平面平面
取中点，连接，由，得
平面，且
过点作垂直于，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题可得，
设平面的法向量为，平面的法向量为
，令，则，故平面的一个法向量为
同理，令，则，故平面的一个法向量为.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：由，建立如图所示的空间直角坐标系
设（其中）
解得
设平面的法向量为，平面的法向量为
，令，则，故平面的一个法向量为；
同理，令，则，故平面的一个法向量为.
又因为两个平面的夹角范围为：
所以平面与平面夹角的余弦值为
故平面与平面夹角的余弦值为.
方法三：
如图所示，过点作交于，过点作交于，异面直线DF、BE的夹角即为两个平面的夹角.
中，由
可得
同理，在中，，可得
而
即
解得
又因为两个平面的夹角范围为：
所以平面与平面夹角的余弦值为
所以平面与平面夹角的余弦值为
20．下面两个图分别是2016年-2020年中国家庭平均每百户汽车拥有量和居民人均可支配年收入柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均可支配全年总收入的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y（单位：辆）与人均可支配收入x（单位：万元）的散点图.
2.82 32.56 0.46 5.27
附：线性回归模型中，，.
(1)由其散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合每百户拥有汽车量关于人均可支配收入的关系，请建立关于的回归方程；
(2)如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增长，当每百户汽车拥有量达到50辆时，求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度.
（附：，，，，，，，.）
【答案】(1)；
(2)每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为.
【详解】（1）依题意，，，
所以y关于x的回归方程为.
（2）当时，，则，而2020年人均年可支配收入为3.2189万元，
则，，
于是2026年每百户汽车拥有量可以达到50辆，
从2020年起，设每百户汽车拥有量平均每年的增长速度为，
则，，，由，得，
所以每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为.
21．已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【详解】（1）因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，
所以有；
（2）由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，
，
则有，
设，则有，
显然的坐标为，
所以由
，
把代入上式，得
，或
当时，直线方程为，过定点，
当时，直线方程为，过定点，
不符合题意，
因此直线过定点.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【详解】（1）当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.2023年高考数学考前信息测评卷10
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．已知的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含项的系数为（ ）
A．－36 B．－18 C．18 D．36
4．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（ ）
A．线段长的最大值为6 B．当直线与圆相切时，
C．以线段为直径的圆不可能过原点 D．的最大值为20
10．下列说法正确的是（ ）
A．若事件互斥，，则
B．若事件相互独立，，则
C．若，则
D．若，则
11．过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A．可能为锐角三角形
B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C．若，则的面积为
D．最小值为
12．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数
C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则不等式的解集是________．
14．某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
施肥量x/kg 20 40 50 60 80
产量y/kg 600 800 1200 1000 1400
已知y与x满足线性回归方程，则当施肥量为80kg时，残差为______.
15．已知O是坐标原点，F是双曲线的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为______．
16．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．
给出下列四个结论：
①的最小值为；
②四面体的体积为；
③有且仅有一条直线与垂直；
④存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．中，内角、、的对边分别为、、，．
(1)若，．求证：；
(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．
18．在各项均为正数的数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，证明：．
19．如图（1），在中，，将沿折起，使得点到达点处，如图（2）.
(1)若，求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
20．下面两个图分别是2016年-2020年中国家庭平均每百户汽车拥有量和居民人均可支配年收入柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均可支配全年总收入的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y（单位：辆）与人均可支配收入x（单位：万元）的散点图.
2.82 32.56 0.46 5.27
附：线性回归模型中，，.
(1)由其散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合每百户拥有汽车量关于人均可支配收入的关系，请建立关于的回归方程；
(2)如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增长，当每百户汽车拥有量达到50辆时，求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度.
（附：，，，，，，，.）
21．已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
