绝密★启用前
测评卷01
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
2．已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．的展开式中的系数是（ ）
A．9 B．-9 C．10 D．-10
4．已知向量和，在上的投影为正数，p：，q：或，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．已知将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
10．从某校男生中随机抽取100人测量他们的身高，发现他们的身高都在之间，将统计得到的原始数据进行分组，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间）（ ）
A．已知该校一共有1500名男生，该校身高在内的男生人数约为450人
B．该校男生身高的分位数约为178.3（结果精确到0.1）
C．将身高不低于的男生称为“高个子”，低于的男生称为“非高个子"．已知在原始数据中，高个子男生的身高的平均数为177，方差为10，所有这100名男生的身高的平均数为168，方差为64，则非高个子男生的身高的方差为10
D．据此估计该校男生的平均身高一定是168.6
11．已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若为虚数单位，则计算___________．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.
15．如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
16．乒乓球被称为我国的“国球”.甲 乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.
附：当时，，.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)设，D为边BC上一点，且，求AD．
参考数据：，．
19．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
21．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
22．已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．绝密★启用前
测评卷01
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【详解】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
2．已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】若复数为纯虚数，则，解得，
则，
故复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
3．的展开式中的系数是（ ）
A．9 B．-9 C．10 D．-10
【答案】B
【详解】由于，
所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，
分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，因此的展开式中的系数是.
故选：B.
4．已知向量和，在上的投影为正数，p：，q：或，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则，
即，得或，
又因为在上的投影是正数，所以，
所以，即成立，但不成立，
所以p是q的充分不必要条件，
故选：A．
5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【答案】C
【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍，
故选：C．
6．已知将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为
又因为，
令 ，又因为,当时,
在上有3个极值点等价于在上有3个极值点，
的图象如图所示：
由余弦函数的性质可得:,
解得:.
故选:C.
7．已知a，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由,两边取对数，可得
>0(因为),
所以a，所以.
因为，所以.
取,即,即,代入得
,得,,满足题意.
此时D成立，C不成立，故排除C;
取,,即,代入得与解得,满足,满足题意.
满足题意.此时C成立，D不成立，故排除D;
当时， ,
由等价于,由,可知成立，所以故A成立，B不成立，故排除B.
故选：A.
8．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
【答案】C
【详解】在正方体中，取棱中点，连接，
因为M，N分别为AC，的中点，则，
因此四边形为平行四边形，则平面，
平面，所以平面，A正确；
因为平面，则，所以，B正确；
显然平面，则是与平面所成的角，又，
有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；
因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
【答案】ABD
【详解】因为，所以，A正确
因为，所以，
所以，即为直角三角形，B正确；
设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量为，C错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，
故选：ABD．
10．从某校男生中随机抽取100人测量他们的身高，发现他们的身高都在之间，将统计得到的原始数据进行分组，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间）（ ）
A．已知该校一共有1500名男生，该校身高在内的男生人数约为450人
B．该校男生身高的分位数约为178.3（结果精确到0.1）
C．将身高不低于的男生称为“高个子”，低于的男生称为“非高个子"．已知在原始数据中，高个子男生的身高的平均数为177，方差为10，所有这100名男生的身高的平均数为168，方差为64，则非高个子男生的身高的方差为10
D．据此估计该校男生的平均身高一定是168.6
【答案】ABC
【详解】由频率分布直方图可知，得．
故估计该校1500名男生中身高在［165，170）内的人数为，故A正确；
前四组的频率之和为，
前五组的频率之和为，所以90%分位数位于区间［175，180）内，
故估计该校男生身高的90%分位数为，故B正确；
由频率分布直方图可知，样本中高个子男生有40人，非高个子男生有60人．
将高个子男生的身高数据记为，，…，，其平均数记为，方差记为；将非高个子男生的身高数据记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把全部样本数据的平均数记为，方差记为．
则，，，．
由已知可得，即，得，
．
所以，解得，故C正确；
根据直方图可知据此估计该校男生的平均身高约为
，故D错误．
故选：ABC.
11．已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【答案】AD
【详解】对于A，若，且轴，则，，
所以，则，所以，则的方程为，故A正确；
对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确；
对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图，
则是直角三角形，所以，故C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故，
则，又，所以，整理得，解得，
所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点 D．
【答案】AB
【详解】由，则函数关于直线对称，且，
由，则函数关于对称，且，
所以，故，则，故函数的周期为8，
当时，则，，
根据周期和对称性知：值域为，
由函数关于直线对称且关于对称，周期为8，
为向左平移1个单位得到，是偶函数，故A正确：
为向左平移3个单位得到，是奇函数，故B正确；
由在上递减，且，；在上递增，且，，
结合图象：看出和的图象有10个交点，即有10个不同的零点，故C错误：
由，，，，，，，，则，
所以，故D错误，
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若为虚数单位，则计算___________．
【答案】
【详解】设，
，
上面两式相减可得，
，
则．
故答案为：．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.
【答案】
【详解】由题可知，
所以
.
故答案为：
15．如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【详解】
过C作面于H，
则三棱锥的体积为，所以，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中， 所以
以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
16．乒乓球被称为我国的“国球”.甲 乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.
附：当时，，.
【答案】 ##0.2109375
【详解】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为，概率为.
②假设比赛局数为随机变量，
由已知，需比赛局数为偶数，则可取.
则，
当时，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局，
则，显然，满足该式.
设，则有，
所以，是以为首项，为公比的等比数列.
设，则.
设的前项和为，则，
，
作差可得，
，
整理可得，.
由题意可得，，.
则.
故答案为：；.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
整理得，则
可得或，
故或.
（2）∵，由（1）可得，
则，
故
所以.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)设，D为边BC上一点，且，求AD．
参考数据：，．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，所以，即，
又，所以；
（2）法一：由题意，得，
结合，，解得，
在中，由正弦定理得，
则，，
从而．
法二：由题意，得，又，所以，
在中，由正弦定理，得，
则，
在中，由正弦定理得，
则，
由，得，
解得．
19．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见详解，能
(2)分布列见详解，
【详解】（1）列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关．
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望为．
20．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，，解得（负数舍去）.
（2）的直线经过，则直线方程为：；
，则椭圆的方程为：.
设联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，则，故，于是.
依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.
故
（3）设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，于是上式变为：.
由韦达定理，，于是，故，命题得证.
21．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取的中点为，连接，.
因为，，则，
而，，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，且平面，
故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，因为，则.
结合（1）中的平面，且平面，
则，故直线两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
故，，.
因为，所以，
又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），
所以点的轨迹是的中位线，
设，则，，
设与平面所成角为，
则，，
当时，取得最小值，
所以与平面所成角的正弦值的最小值为.
22．已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)
【详解】（1）∵
，
∵，∴，
当，，单调递增，当，，单调递减，
当，，单调递增．
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）情况一：若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，
在增区间至多有一个零点，不符题意．
情况二：若，即时，
由于，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，
取，则，，，
，
当时，，由于在区间上单调递增，
故在恒为正，无零点，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，符合题意，
情况三：若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，
仅有一个零点，不符题意.
综上，a的取值范围是．
