绝密★启用前
测评卷03
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B．1 C．15 D．16
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第8项为（ ）
A．95 B．101 C．141 D．201
6．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
D．的图象关于直线对称
7．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图,已知正方体的棱长为,,分别为,的中点.则下列选项中错误的是（ ）
A．直线平面
B．在棱上存在一点,使得平面平面
C．三棱锥在平面上的正投影图的面积为
D．若为棱的中点,则三棱锥的体积为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，为圆的一条直径，点是圆周上的动点，是直径上关于圆心对称的两点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（ ）
A．在米跑项目中，甲的得分比乙的得分低
B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当
C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡
D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
11．已知曲线C上任意一点P到，的距离之比为2，直线l： 与曲线C交于两点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的轨迹是圆
B．曲线C的轨迹方程为
C．
D．
12．已知定义在上的奇函数对任意的有，当时，．函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是周期为4的函数
B．函数在区间上单调递减
C．当时，方程在上有2个不同的实数根
D．若方程在上有4个不同的实数根，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．
14．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.己知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________.
15．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断：
①平面平面；
②平面；
③异面直线与所成角的取值范围是；
④点到平面的距离不变.
其中，正确的是__________.（把所有正确判断的序号都填上）.
16．如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体，组合而成，记正四面体的内切球为球，正四面体的内切球为球，则______；若在该六面体内放置一个球O，则球O的体积的最大值是______．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的值；
(2)求的值.
18．公比为q的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前n项和为，求.
19．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会人数/人
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．
20．已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
21．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
22．已知.
(1)讨论的单调性；
(2)确定方程的实根个数.绝密★启用前
测评卷03
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，，解得，
所以，
集合，
因为，所以，解得．
故选：C．
2．设复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，
，
所以.
故选：A
3．若，则（ ）
A． B．1 C．15 D．16
【答案】C
【详解】因为，
令得，，
令得，，
所以，．
故选：C.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】构造函数，
则在定义域上恒成立，
所以函数在定义域上单调递增，
又因为，所以，所以，
即，即，
所以，
即“”能推出“”，
根据，
可得，即，
所以，所以，即，
所以“”能推出“”，
所以“”是“”的充分必要条件，
故选:C.
5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第8项为（ ）
A．95 B．101 C．141 D．201
【答案】C
【详解】由题意可知，1，5， 11，21，37，61，……，的差的数列为
4，6，10，16，24，……，
则这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，……，是一个等差数列，
设原数列的第7项为，则，解得，设第8项为，则，解得
故选：C
6．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
D．的图象关于直线对称
【答案】C
【详解】由题图知，的最小正周期，则．
所以．
将代入得，则，
即．
因为，所以，将代入得，则，
所以，A选项错误；
当时，，
所以点不是的图象的一个对称中心，B选项错误；
当时，，
所以直线不是的图象的一个对称轴，D选项错误；
易得在上单调递增，且，
即在时取得最大值，所以，
即实数a的取值范围为，C正确．
故选：C
7．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
8．如图,已知正方体的棱长为,,分别为,的中点.则下列选项中错误的是（ ）
A．直线平面
B．在棱上存在一点,使得平面平面
C．三棱锥在平面上的正投影图的面积为
D．若为棱的中点,则三棱锥的体积为
【答案】C
【详解】对于A:如图1,连接,交于点,连接、,显然为的中点,又,分别为,的中点.
所以且,且,
所以且,
所以四边形为平行四边形,所以,
又平面,平面,所以平面,故A正确;
对于B:如图2,取中点,连接,,,
显然,所以,又,所以
所以,
由正方体,可得平面,平面,
,
平面,
平面,平面平面,故B正确.
对于C:如图3,连接,则四边形为三棱锥在平面上的正投影,
因为,故C错误;
对于D: ,故D正确.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，为圆的一条直径，点是圆周上的动点，是直径上关于圆心对称的两点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】由题意可得：.
对于A：可得，故A错误；
对于B：∵，可得，
整理得：，故B正确；
对C：由题意可得：，，
则，
即，故C正确；
对D：∵，但向量不能比较大小，故D错误；
故选：BC.
10．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（ ）
A．在米跑项目中，甲的得分比乙的得分低
B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当
C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡
D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
【答案】BD
【详解】对于A选项，由雷达图可知，米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错；
对于B选项，由图可知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，B对；
对于C选项，甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，C错；
对于D选项，甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小干，D对.
故选：BD.
11．已知曲线C上任意一点P到，的距离之比为2，直线l： 与曲线C交于两点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的轨迹是圆
B．曲线C的轨迹方程为
C．
D．
【答案】AD
【详解】设点P的坐标为，
因为点P到，的距离之比为2，所以，即，
所以，化简得 ，
即选项A正确，B错误；
设，，
由，知，即，
不妨设，，则，
联立，得，
由于直线过点，满足，
故在内，故必有，
所以，，
把代入，化简得，解得，即C错误；
此时有，即，解得或，即，，
所以 ，即D正确，
故选：AD
12．已知定义在上的奇函数对任意的有，当时，．函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是周期为4的函数
B．函数在区间上单调递减
C．当时，方程在上有2个不同的实数根
D．若方程在上有4个不同的实数根，则
【答案】ABC
【详解】对于A，，，则，因此函数是周期为4的函数，A正确；
对于B，当时，，因此函数在区间上单调递减，B正确；
对于C，因为函数是上的奇函数，由得：，即函数的图象关于直线对称，
当时，当时，，则当时，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，因此函数在上的值域为，
当时，，当时，，即方程在上无解，
当时，令，，当时有，即函数在上递增，
当时，，即函数在上有唯一零点，
当时，令，显然函数在上单调递减，
，，因此函数在上有唯一零点，
当时，，即方程在上无解，
所以当时，方程在上有2个不同的实数根，C正确；
对于D，函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数的周期为4，
则，，由选项C知，当时，，
即方程在上有一个根，当时，，
函数在上单调递减，，即方程在上有一个根，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，当，即时，
方程在上有两个根，要方程在上有4个不同的实数根，
必有，即，又，因此当时，
方程在上无解，所以方程在上有4个不同的实数根，，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．
【答案】
【详解】，
由题是方程的两个不等实根，
则由韦达定理，所以
又是的等比中项且与同号，则.
故答案为：.
14．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.己知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________.
【答案】
【详解】解：由题意得，
，
故答案为：
15．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断：
①平面平面；
②平面；
③异面直线与所成角的取值范围是；
④点到平面的距离不变.
其中，正确的是__________.（把所有正确判断的序号都填上）.
【答案】①④
【详解】对于①：如图所示：
连接,由正方体的性质可知，
，平面，
所以平面，又平面，
所以，
同理有：，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，，平面
所以平面，又平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②：由①知平面，又，
由过一点有且仅有一条直线垂直于平面可知，
与平面不垂直；故②错误；
对于③：如图所示：连接，则有为等边三角形，
由正方体的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
在中在线段上运动，所以：
当与线段的端点重合时，
直线与所成的角取得最小值为；
当与线段的中点重合时，
直线与所成的角取得最大值为；
所以直线与所成角的范围为，
即异面直线与所成角的范围为，
故③错误；
对于④：如图所示：连接
因为点在线段上运动，
所以平面与平面是同一个平面，
点与平面都固定不变，
所以点到平面的距离不变，
所以点到平面的距离不变.故④正确；
故答案为：①④.
16．如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体，组合而成，记正四面体的内切球为球，正四面体的内切球为球，则______；若在该六面体内放置一个球O，则球O的体积的最大值是______．
【答案】 ##
【详解】如图，取的中点D，连接，设点M在平面内的射影为N，连接，
由四面体是正四面体，知N为的中心，且N在线段AD上,,
由正四面体的棱长为a，可得，，．
设球的半径为r，由等体积法可，
得，
根据六面体的对称性可知正四面体的内切球和正四面体的内切球与面相切于N点，
可得．
当球O的体积最大时，球O与该六面体的六个面都相切，
此时，由对称性可知球心O即的中心N，连接，,
过点O作于点E，由于,
平面,
故平面,而平面,所以,
又平面,
故平面,
则OE为球O的半径．，
即，得，即此时球O的半径为，
所以球O的体积的最大值为 ．
故答案为：.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若，则.
因为，
所以，
整理得.
解得（舍），.
（2）因为，
所以，
整理得
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以.
18．公比为q的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，解得，
；
（2）由（1）可得，
，
当时，，
.
19．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会人数/人
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．
【答案】(1)
(2)Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000；
【详解】（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为，
所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为．
（2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，
若到会人数位于区间内，
则元，
若到会人数位于区间内，
则元，
若到会人数位于区间内，
则元，
若到会人数超过11000，则元，
即Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000
Y不超过15000元，意味着到会人数不超过10000，
到会人数不超过10000的频率为，
所以Y不超过15000元的概率的估计值为．
20．已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【详解】（1）设，则，
由题意得所以， ，
，即， ，
；
（2）
因为双曲线的右顶点，
所以双曲线的标准方程为，
因为，所以直线的斜率一定存在，并且 （如果 ，则 ，这不可能），
设直线的方程为，联立方程 得：
，
所以，
即，
所以.
因为以为直径的圆经过点，
所以，所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
即，
化简得，即，
解得或，且均满足，
当时，，
因为直线不过定点，故舍去；
当时，，
所以直线恒过定点；
综上，，直线恒过定点.
21．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：等腰梯形中，，，
作交于，如图，则是菱形，，
是等边三角形，则，，，
所以，即，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）点在底面的射影为，由（1），得在上，且，又，
所以，而由（1）知，因此，
建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，，，则，
又，，所以，
设（），，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，取平面的法向量，
，则（负值舍去），
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，直线与平面所成的角正弦值为.
22．已知.
(1)讨论的单调性；
(2)确定方程的实根个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，
所以，
当时，时，，是增函数，
时，，是减函数.
当时，或时，，是增函数，
时，，是减函数.
当时，，在上是增函数.
当时，或时，，是增函数，
时，，是减函数.
综上可得:当时，在上是增函数，在上是减函数；
时，在，上是增函数.在上是减函数；
时，在上是增函数；
时，在，上是增函数，在上是减函数.
（2）方程的实根个数即的实根个数.
即直线与的图象交点个数.
因为，所以时，，是增函数，
时，，是减函数.
因为，则的图象如图所示：
时，取值范围是，
时，取值范围是，
所以当，即时，方程没有实根，
当或，即或时，方程有1个实根；
当，即时，方程有2个实根.
