绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷03
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若的展开式中的系数为40，则k＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有块筒瓦，以下每一层均比上一层多块筒瓦，如果侧面共有层筒瓦且顶部个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，若的最小正周期为，则图象的对称轴中与y轴距离最近的对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（ ）
①平面平面
②
③
④平面
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°
B．设向量，，若，共线，则
C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量，满足，则的最大值是5
10．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（ ）
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
11．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（ ）
A．向量在上的投影向量为
B．若为直角三角形，则为等轴双曲线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
12．已知函数在区间上有四个零点，分别为，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量、的夹角为，，，则的坐标为___________.
14．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.
15．如图，在正方体中，，若为棱上动点，为线段上的点，且，若与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为______．
16．已知函数的定义域为,其导函数为,若函数为偶函数,函数为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.
①函数关于轴对称;
②函数关于中心对称;
③若,则;
④若当时,,则当时,.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角A的大小；
(2)记的面积为S，若，求的最小值．
18．已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前n项和.
19．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分）作为样本数据，并将数据分成6组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，整理得到如下频率分布直方图．
(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2×2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？
非“太空达人” “太空达人” 总计
男生
女生
总计
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20．已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．
21．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．
22．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷03
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】，，且，，
又，则，的元素个数为3个．
故选：
2．复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D
3．若的展开式中的系数为40，则k＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】因为的展开式的通项公式为，且的系数为40，
所以，即，
解得.
故选：C
4．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】∵直线和直线平行，
∴，解得或，
当，两直线分别为，两直线平行，符合题意；
当，两直线分别为，即为，
两直线重合，不符合题意；
综上所述：.
故“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C.
5．位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有块筒瓦，以下每一层均比上一层多块筒瓦，如果侧面共有层筒瓦且顶部个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】一个侧面中，第一层筒瓦数记为，自上而下，由于下面每一层比上一层多块筒瓦，
每层筒瓦数构成等差数列，其中，.
一个侧面中共有层筒瓦，一个侧面筒瓦总数是，
顶层四个侧面筒瓦数总和为.
故选：C.
6．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，若的最小正周期为，则图象的对称轴中与y轴距离最近的对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，得，
所以，
令，，解得，，
取，得，取，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为．
故选：C
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
当时，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，，
，，
令，则，显然在为减函数，
又，，
当时当时，
当时为增函数，当时为减函数，，
，，又，，
，，
下面证明：，即证明：，即证：，显然成立，，，
，
故选：B
8．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（ ）
①平面平面
②
③
④平面
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【详解】由题知，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，
如图，连接，
所以，，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，分别为中点，
所以，
所以平面，
因为平面
所以平面平面，故①正确，
由题知，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，
因为分别为所在棱的中点，为下底面的中心，
所以，
所以，
因为，
所以成立，不成立；故②正确，③错误；
又由①中得，，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，故④正确，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°
B．设向量，，若，共线，则
C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量，满足，则的最大值是5
【答案】BCD
【详解】A选项，由，以及，可得，
则，即，又，
所以夹角.
对于B，因为，，且，共线，
则解得.所以B正确.
C选项，在方向上的投影向量为
，故C正确，
对于D，因为，所以
所以的最大值是5，所以D正确.
故选：BCD.
10．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（ ）
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
【答案】AC
【详解】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；
对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；
对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；
对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误，
故选：AC.
11．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（ ）
A．向量在上的投影向量为
B．若为直角三角形，则为等轴双曲线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,
Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确；
对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，，
为等轴双曲线，故B正确；
对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，，
，，，，故C错误；
对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，，
，在双曲线上，，，，
的渐近线方程为，即，故D正确.
故选：ABD
12．已知函数在区间上有四个零点，分别为，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由，得，
由题意知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
且交点的横坐标分别为，，，，如图，
设直线与曲线相切时的值为a，
于是斜率k的取值范围为，
根据的图象知， ，
得，
又，，所以由在上单调递增可得，
从而，则 A正确；
由，得，
又， ， 所以，
由在上单调递减可得，
从而，则B错误；
由，得，
又，，所以，
由在上单调递减可得，
从而，则C正确；
因为，，当k接近0时，离比离近， 所以，
当k接近a时，离比离近，所以，
所以与的大小关系是不确定的，则D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量、的夹角为，，，则的坐标为___________.
【答案】或
【详解】设，则，
由题意可得，解得或，
所以，或.
故答案为：或.
14．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.
【答案】350
【详解】由题意可得，解得，
由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.
故答案为：350
15．如图，在正方体中，，若为棱上动点，为线段上的点，且，若与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为______．
【答案】
【详解】
如图，连接
因为平面，
则为与平面所成角的平面角，即，
所以.
因为平面，
所以，又，
所以平面，则
所以，
而，所以，则，
所以.
因为三棱锥的外接球等价于长为宽为高为的长方体的外接球.
所以外接球的直径为长方体的体对角线，即半径，
故三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：
16．已知函数的定义域为,其导函数为,若函数为偶函数,函数为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.
①函数关于轴对称;
②函数关于中心对称;
③若,则;
④若当时,,则当时,.
【答案】①③④
【详解】由于函数为偶函数,则②,则函数关于轴对称,①正确;
进而函数关于点中心对称,
由于函数为偶函数,则,则函数关于轴对称,
进而函数关于中心对称, ②错误;
由题可得函数的周期为，
的周期为，
故，
由中心对称性，
所以，
所以,故,③正确;
当时,，
,④正确.
故答案为：①③④
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角A的大小；
(2)记的面积为S，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，即
由正弦定理可得，，化简可得，
且由余弦定理可得，，所以，
且，所以.
（2）
因为，则可得，
所以
且，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
所以
18．已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)，，
(2)，
【详解】（1）设的公差为d，因为，，
所以，解得，从而，
所以；
设的公比为q，因为，所以，解得，
因为，所以，
所以 .
（2）由上可知：，所以，
所以，
所以，.
19．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分）作为样本数据，并将数据分成6组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，整理得到如下频率分布直方图．
(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2×2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？
非“太空达人” “太空达人” 总计
男生
女生
总计
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)男生竞赛成绩的平均数为72.5，女生竞赛成绩的平均数为69；
(2)列联表见解析，有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关．
【详解】（1）男生竞赛成绩的平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5，
女生竞赛成绩的平均数为：45×0.1+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.15+95×0.1=69．
（2）完善2×2列联表如下：
非“太空达人” “太空达人” 总计
男生 40 60 100
女生 55 45 100
总计 95 105 200
所以的观测值．
所以有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关．
20．已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：椭圆的离心率为，即，
长轴长为4，，，，故椭圆的方程为．
（2）设，，联立，得，
则，
，，
所以
，
，，
原点到的距离，
当时，．
当时，
，当且仅当时等号成立．
综上，所以的面积的取值范围是
21．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）取中点G，连接，，
∵E，G分别是，中点，∴且，
又∵且，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴EF∥平面，
∵平面，平面平面，∴．
（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴，
故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
又，则，解得，
所以，，则，，
设平面法向量为，
所以，即，取，得，
由（1）知直线，则l方向向量为，
设直线l与平面所成角为，
则，则，
所以直线l与平面所成角的余弦值为．
22．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可得，．
当，即时，，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，
由，得或；由，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，
由，得或；由，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，，在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，
的单调递增区间为，，
单调递减区间为；当时，的单调递增区间为．
（2）当时，由，得，
即．
设，，
则．
设，，则．
因为当时，，所以函数在上单调递增．
又因为，所以当时，，即．
令，得，因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
又因为，所以．
因此，当时，恒成立．
故当时，．
