绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷05
新高考地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．在的二项展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则（ ）
A． B．
C． D．
8．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）
A．18π B．16π C．14π D．12π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A． B．
C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是
10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．、、两两互斥
11．已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆相交所得的弦长为4
B．的最大值为
C．的面积的最大值为2
D．当最大时，的面积为1
12．已知定义在上且不恒为的函数，若对任意的，都有，则（ ）
A．函数是奇函数
B．对，有
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知是等比数列的前项和，，，则______．
14．某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位：）在区间上的男生大约有_________人．
15．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A的半径为____________．
16．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范围．
18．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．全国 “两会”召开的一项重要意义在于将“两会代表”从人民中得来的信息和要求进行收集及整理，传达给中央，“两会代表”代表着广大选民的利益，代表选民在“两会”期间向政府有关部门提出选民的意见和要求．下表是2011年至2020年历年全国政协提案的数量统计．
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
提案数量y（单位：千件） 5.762 6.069 5.641 5.875 5.857 5.769 5.21 5.36 5.488 5.044
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可否用线性回归模型拟合？若能，求y关于x的一元线性回归方程；（运算结果精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）
(2)中央政府回应2020年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众志成城．其中一个关键举措是2021年全国各地全面展开的疫苗接种．为方便市民合理安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上午和下午接种疫苗分别需要等待20分钟和40分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫苗，且上午去接种疫苗的概率分别为，要使两市民需要等待时间的总和的期望值不超过60分钟，求实数p的取值范围．
参考公式：相关系数，．
参考数据：．
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
21．如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．
(1)求证：点F为的中点；
(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．
22．已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围，
(2)证明：当时，．绝密★启用前
2023年高考数学考前信息测评卷05
新高考地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知，
解不等式，
不等式等价于 且，解得.
所以.
，
故．
故选：D
2．设复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，故，
故．
故选：D
3．在的二项展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，二项展开式的通项为：
令因此二项展开式中的系数是：；
故选：B.
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，得或，解得.
由，解得，
当时，一定成立，反之，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，可得，
.
故选：B.
6．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，
∵，
故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵，且，
故，C错误；
故选：A.
7．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，，
则，
其中，且，
所以，，
所以在上单调递减，
故，即，故，
设，，
则，令，
则，令，
则在上恒成立，故在上单调递增，
故在上恒成立，所以在上单调递增，
故在上恒成立，所以在上单调递增，
故，故，即，
因为，所以，故，
故.
故选：A
8．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）
A．18π B．16π C．14π D．12π
【答案】A
【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接，
∵分别为的中点，则，
∴正方体的边长为，
故，可得，
根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，
故该半正多面体外接球的表面积为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A． B．
C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是
【答案】BC
【详解】由已知可得，，.
对于A项，因为，故A项错误；
对于B项，因为，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，， ，
所以在上的投影向量是，故C项正确；
对于D项，，，
所以在上的投影向量是，故D项错误.
故选：BC.
10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．、、两两互斥
【答案】BD
【详解】A选项，，，，
故，A错误；
B选项，，故，B正确；
C选项，因为，故，所以事件B与事件不相互独立，C错误；
D选项，因为，故、、两两互斥，D正确.
故选：BD
11．已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆相交所得的弦长为4
B．的最大值为
C．的面积的最大值为2
D．当最大时，的面积为1
【答案】ABD
【详解】圆C：，即，所以圆C是以为圆心，以2为半径的圆.
对于A，直线MN的方程为，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确；
对于B，，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则，因为直线MN过圆心，所以当时，最大为 ，故C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，最大，不妨设，此时，故D项正确.
故选：ABD.
12．已知定义在上且不恒为的函数，若对任意的，都有，则（ ）
A．函数是奇函数
B．对，有
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【详解】因为对任意的，都有，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
所以函数为奇函数，所以A正确；
由
，所以B错误；
若，令，可得，
则，
可得，
两式相减得：
，所以C错误；
令，可得，解得，
令，则，
所以
，所以D正确．
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知是等比数列的前项和，，，则______．
【答案】##7.75
【详解】设等比数列的公比为，
由，，
可得，，
解方程得，或，
当时，，
当时，，
所以.
故答案为：.
14．某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位：）在区间上的男生大约有_________人．
【答案】
【详解】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：）在区间上的男生的人数为
.
故答案为：.
15．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A的半径为____________．
【答案】
【详解】因为正方体的棱长为，则该正方体的体对角线长为，
设A原子的半径为，B原子的半径为，依题意，，即，
于是8个A原子与1个B原子的体积之和，
令，求导得：，
由得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，取得最小值，
所以8个A原子与1个B原子的体积之和最小时，原子A的半径为.
故答案为：
16．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
【答案】①③④
【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；
对于②，当是的中点时，
易得，
满足，此时是直角，所以②错误；
对于③，连接，如下图所示;
由正方体可知，且平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面；
又平面，所以，即③正确；
对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，
平面，所以点到平面的距离是定值，
所以三棱锥的体积为定值,即④正确.
故答案为：①③④
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范围．
【答案】(1)0
(2)，
【详解】（1）∵
，
由函数的最小正周期为．即，得，
∴，
故；
（2）∵，∴由正弦定理得，
∴．
∵，∴．∵，则.
∵，∴，∴，
∴，
∴.
18．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）记，
，
.
19．全国 “两会”召开的一项重要意义在于将“两会代表”从人民中得来的信息和要求进行收集及整理，传达给中央，“两会代表”代表着广大选民的利益，代表选民在“两会”期间向政府有关部门提出选民的意见和要求．下表是2011年至2020年历年全国政协提案的数量统计．
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
提案数量y（单位：千件） 5.762 6.069 5.641 5.875 5.857 5.769 5.21 5.36 5.488 5.044
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可否用线性回归模型拟合？若能，求y关于x的一元线性回归方程；（运算结果精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）
(2)中央政府回应2020年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众志成城．其中一个关键举措是2021年全国各地全面展开的疫苗接种．为方便市民合理安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上午和下午接种疫苗分别需要等待20分钟和40分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫苗，且上午去接种疫苗的概率分别为，要使两市民需要等待时间的总和的期望值不超过60分钟，求实数p的取值范围．
参考公式：相关系数，．
参考数据：．
【答案】(1)能，
(2)
【详解】（1）由题意可得，
因为，
根据参考数据，所以相关系数，即，
所以线性相关程度很高，可用直线拟合；
由，
所以，
即y关于x的线性回归程为．
（2）设甲、乙两人需要排队的总时间为，则的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
40 60 80
P
因此，
可得，又，
故实数p的取值范围为．
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
【答案】(1)；
(2)过定点，.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，
联立
整理得，
则，即
又，
因为，所以，
所以
所以，
即
整理得，即，此时
则直线的方程为，故直线过定点.
21．如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．
(1)求证：点F为的中点；
(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：方法1：因为平面平面，
平面平面，
平面平面，
所以，
连接，
因为，，
所以四边形是平行四边形.
所以，.
因为是的中点，
所以点为的中点.
方法2：连接.
因为，，
所以四边形是平行四边形.
所以
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面ACE，平面平面，
所以.
所以.
因为是的中点，
所以点为的中点.
（2）方法1：因为，，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
设，则，
由，得，即，
所以，则，
所以点到平面的距离.
方法2：连接，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以.
在平面内，由，
可得，
由勾股定理求出，，，
在中由余弦定理得，
则，
，
，
设点到平面的距离为d，
由，得，
所以点到平面的距离为.
22．已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围，
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，可得，
因为在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，即在上单调递减，
所以，
由在上恒成立，可得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为函数，，令，则，
即时，，则单调递增；
即时，，则单调递减；
所以，即（当且仅当取等号），
因为函数，，
则，令，则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
所以，即（当且仅当取等号），
因为，且（当且仅当取等号） ，（当且仅当取等号），所以（两个等号不同时成立这里反为大于号），
令，即证，
因额为，令，可得，所以，
当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增；
所以，所以，
即当时，．
