湖北省2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题（六）参考答案
一、单项选择题，二、多项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D A C C D BC ABC BCD ABD
三、填空题
13． 14． 15． 16．5
1．B
【解析】由题意可得，，所以，故选B．
2．C
【解析】由复数的几何意义知，，则，故选C．
3．A
【解析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，，设
，，，，
所以
，
所以的最小值为，故选A．
4．D
【解析】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，
，故选D．
5．A 【解析】原式
，故选A．
6．C
【解析】因为，，令，
则，所以在上递增，所以，所以，
所以，即，因为，可得，所以，
因为，可得，所以，所以，故选C．
7．C
【解析】过作交于，因为，可得，
所以为中点，设，由双曲线定义可得，，
所以，故，
解得，所以，故选C．
8．D
【解析】由题意得，如图，
当直线过且与曲线相切时，最小．
设切点为，则，解得，故，故选D．
9．BC
【解析】设等差数列的公差为，则有，，
即，解得或（舍去），，所以，，
．
因为，故，
，两式相减，得
，所以，故选BC．
10．ABC
【解析】的图象关于直线对称，故关于轴对称，所以
是偶函数，故B正确；在中，令得，
因为，所以，解得，故A正确；则有
，所以是周期为4的周期函数，故C正确；对，，
当时，都有，所以在上单调递增，
所以，，因为，
所以，故D错误．故选ABC．
11．BCD
【解析】第2次能打开门包含第一次能打开门和第一次不能打开门，故事件与不互
斥，故 A错误；，，故B正确；
所以，故C正确；
因为，所以，故D正确．
故选BCD．
12．ABD
【解析】易得该几何体的表面积为，体积为，故A，B正确；取，
中点，，正方形中心，中点，连接
，，，，依题意，平面，
，点是的中点，，等腰
中，，，
同理，所以等腰梯形的高
，由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心在
直线上，连接，，，正方形的外接圆半径，则有
而，，当点在线段的延长线
含点时，视为非负数，若点在线段不含点上，视为负数，即有
，即，解得，所以该
几何体的外接球的球心为，半径为，所以该几何体的外接球的表面积
，故C错误；取中点，连接，由等体积法可求得点到平
面的距离，设与平面所成角为，则，故D
正确．故选ABD．
13．
【解析】由，则展开式中的系数为，，得．
14．
【解析】由题意可得抛物线的方程为抛物线，设，过点
分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义
可得，所以，解得，
，同理，，所以．
15．
【解析】由，得，由得，故，故
，所以其最小正周期为，而区间的区间
长度是该函数的最小正周期的，所以当区间关于函数图象的对称轴对称
时，取得最小值，不妨取区间，则，
，所以的最小值为．
16．5
【解析】由题意得圆的方程为，点的坐标为，过圆心作
于点，于点，则，所以
，又，
则，所以，当且仅当
时，等号成立，所以四边形面积的最大值为．
17．解：（1）因为，且数列是3为公比的等比数列，所以，
（2分）
当时，，（4分）
当时，不满足上式，所以．（5分）
（2）由已知可得，（6分）
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（7分）
所以，（9分）
所以．（10分）
18．解：（1）的可能取值为0，1，2，．
，，，，（4分）
所以的分布列为
0 1 2 3
．（6分）
（2）去掉第5周的数据后可得新数据表如下：
时间周 1 2 3 4 6 7 8 9
每周普及的人数 80 98 129 150 190 258 292 310
则，，
，，（7分）
所以，所以，（11分）
故剩下的数据所求出的线性回归方程为 ．（12分）
19．解：（1）因为，，可得
，又由正弦定理得，即，
由余弦定理，得，∵，∴，即．
（3分）
中，由余弦定理得，则，
当且仅当时取等号，，当且仅当
时，面积取得最大值．（5分）
（2）设，则，（7分）
在中，，由（1）知为
正三角形，故，（9分）
故，（10分）
因为，故，，即 ．（12分）
20．解：（1）如图，过点作交于，连接，设，连接
，，，又，可得，四边形为
正方形，，（2分）
，，，
，，
为的中点，，（4分）
因为，平面，
又平面，平面平面．（5分）
（2）在中，，，又，，
，，又，，平面
，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，
，，，，，
，，（6分）
设平面的一个法向量为，则
，，令，得，（8分）
设平面一个法向量为，则，，
令，得，（10分）
，故平面与平面夹角的余弦值
为．（12分）
21．解：（1）设椭圆的中心关于直线的对称点，则有
（1分）
，，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，，（3分）
又椭圆过点， 可得， 解得，
所以椭圆的方程．（5分）
（2）设，由题意得直线斜率不为零， 设，
由得，即，
所以（6分）
由， 得， 即，
所以，所以，
所以，化简得，
所以或，（9分）
若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，
所以过定点，因为，为垂足，所以在以为直径
的圆上，，的中点为，又，所以
，所以的最大值为，
即的最大值为．（12分）
22．解：（1）因为，由，得，即的定义域为．
因为，
所以，
因为，，，
所以当时，，
当时，，所以当时，
在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得极大值，
解得．（5分）
（2）当时，，，
即，所以．
令，则，（7分）
令，则，所以当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即，，（10分）
所以，所以，又，所以，
所以实数的取值范围是．（12分）秘密★启用前
湖北省2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题（六）
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，
则
A． B．
C． D．
3．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，分别在，上，且
，，点是圆弧上的动点（包括端点），则
的最小值为
A． B． C． D．
4．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下
底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分，现有
一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲
池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的
圆心角为，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
5．
A． B． C． D．
6．设，，，则，，的大小关系正确的是
A． B． C． D．
7．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左
右两支于，两点，且，则
A． B． C． D．
8．若存在，使对于任意，不等式恒成立，
则实数的最小值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，，且，，
等比数列，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．设数列的前项和为，则
10．已知函数对都有，若函数的图象关于
直线对称，且对，，当时，都有，
则下列结论正确的是
A． B．是偶函数
C．是周期为4的周期函数 D．
11．某人有6把钥匙，其中4把能打开门．如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设
事件为“第次能打开门”，则下列结论中正确的是
A．事件与互斥 B．
C． D．
12．我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平
下邪．如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以，，，，，为顶点的
五面体，四边形为正方形，平面，，
，则
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的外接球的表面积为
D．与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________．
14．已知抛物线上横坐标为的点到抛物线焦点的距离为，是抛
物线上的点，为坐标原点，的平分线交抛物线于点，且，
都在轴的上方，则直线的斜率为__________．
15．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．
让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后
在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动
时离开平衡位置的位移（单位：）与
时间（单位：）满足函数关系
，若函数在区间上
的最大值为，最小值为，则的最小
值为__________．
16．已知圆：与直线相切，函数过定点
，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前项和为，，且数列是为公比的等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求和．
18．（12分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，
推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12
月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前
9周每周普及的人数，得到下表：
时间周 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每周普及的人数 80 98 129 150 203 190 258 292 310
并计算得：，，，．
（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以表示4周中每周普及宣传人数不少于
240人的周数，求的分布列和数学期望；
（2）由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用
剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程．
附：线性回归方程中，，．
19．（12分）在中，内角，，的对边长分别为，，，．
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，
，且四边形的面积为，求的大小．
20．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，
，， ，在上
且满足．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线
的对称点落在直线上，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为
垂足，求的最大值．
22．（12分）已知函数．
（1）若，的极大值为3，求实数的值；
（2）若，，求实数的取值范围．
