课件21张PPT。第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征【学习目标】1．能根据几何体的结构特征对空间几何体进行分类．
2．会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征．3．能通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．4．培养学生空间想象能力和抽象概括能力．1．空间几何体 (1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因
素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：分为多面体和旋转体．2．多面体的分类平行四边形平行ABCD -A′B′C′D′平行其余各面公共边公共顶点多边形三角形S -ABCD公共顶点多边形三角形面公共边(续表) 注意：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是
否平行，其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的
几何体才是棱台．锥底面ABCD -A′B′C′D′平行于棱底面截面练习 1：在棱柱中，下列说法正确的是()DA．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
练习 2：一个棱锥至少有________个面，它既叫做______面体，又叫做________棱锥.4四三【问题探究】 1．用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这
个几何体可能是_______________________________．
提示：注意观察，前三种多面体都可以截出三角形面，其实在旋转体中，圆锥也可以．棱锥、棱柱、棱台、圆锥2．上、下两个平面平行，其余各侧面都是梯形的多面体是不是棱台？答案：不一定．如图 D1.图 D1 点评：判定棱台的步骤：先看上下两个平面是否平行，再
看各条侧棱延长后是否交于一点，只具备其中一条的不是棱台．
今后可以证明：如果两底面的对应边平行且成比例，那么这个
几何体是棱台． 题型 1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【例 1】 给出下列四种说法：
①棱柱的棱都相互平行且相等；
②在棱锥中用一个平面截去一个小棱锥，剩下的部分就是
一个棱台；
③面数最少的多面体一定是三棱锥；
④五面体是三棱柱或三棱台．其中正确的个数是()A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个答案： D 棱柱、棱锥和棱台是立体几何后继学习中最主
要的解题背景，只有熟练地掌握它们的结构特征才能准确迅速
地解题，把握的关键有两个方面：【变式与拓展】1．如图 1-1-1，长方体 ABCD -A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的
几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果
不是，说明理由．图 1-1-1 解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个
平行面作底面，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符
合棱柱定义．(2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 BMB1-CNC1，下方部分是四棱柱 ABMA1-DCND1.题型 2空间想象能力的训练 【例 2】 图 1-1-2 是一多面体的展开图，每个面内都给了
字母，请根据要求回答问题：
图 1-1-2(1)如果 A 在多面体的底面，那么哪一面会在上面________；
(2)如果面 F 在前面，从左边看是面 B，那么哪一个面会在上面________；(3)如果从左面看是面 C，面 D 在后面，那么哪一个面会在上面________．答案： (1)F (2)E (3)A 【变式与拓展】
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、
下面、左面、右面”表示，图 1-1-3 是一个正方体的表面展开
图，若图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是()图 1-1-3A．力B．获C．有D．定 解析：利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，
把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体(如图
D3)，然后看“努”相对面．故选 C.图 D3答案：C题型 3有关分割问题 【例 3】 如图 1-1-4，将一个直三棱柱 ABC -A′B′C′分
割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
图 1-1-4 解：如图 1-1-5 所示的直三棱柱 ABC -A′B′C′，连接
A′B，B′C，CA′.则截面 A′CB 与面 A′CB′，将直三棱柱
分割成三个三棱锥即 A′-ABC，A′-BCB′，C -A′B′C′.图 1-1-5 【变式与拓展】
3．四棱锥 P-ABCD 的侧棱长和底面边长都等于 a，有两个
正四面体的棱长也都等于 a.当这两个正四面体各有一个面与正
四棱锥的侧面 PAD 、侧面 PBC 完全重合时，得到一个新的多面)体，该多面体是(
A．五面体
C．九面体
B．七面体
D．十一面体C【例 4】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是否为棱柱？易错分析：对棱柱的概念理解不透彻．
解：不一定是棱柱，如图 D2.图 D2[方法·规律·小结]棱柱的两个本质特征．(1)有两个面(底面)相互平行．(2)其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行． 因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，
棱柱必须满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行．但是要注意“有两个
面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱
柱．课件21张PPT。1．1.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的
结构特征【学习目标】1．能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类．
2．会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
3．能通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的几何结构特征．4．培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．1．旋转体的概念我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．2．旋转体的分类矩形的一边旋转轴旋转体垂直于轴圆面平行于轴直于轴不垂的轴的字母表示它圆柱 OO′(续表)一条直角边圆锥旋转轴垂直于轴圆面斜曲面轴的字母圆锥 SO表示它的圆台截面轴底面侧面母线的轴的字母表示它圆台 O′O(续表)直径半圆的圆心半圆的半径半圆的直径球心字母球O练习 1：给出下列命题，其中正确命题的个数是() ①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一
个矩形；③连接圆柱上下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；
④圆柱的任意两条母线互相平行．A．1 个
C．3 个B．2 个
D．4 个C练习 2：下列命题中正确的是()CA．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线练习 3：A，B 为球面上相异两点，则通过 A，B 两点可作球的大圆有()D A．一个
B．无穷多个
C．零个
D．一个或无穷多个
解析：“无穷多个”是指“A，B，球心在一条直线上”的
情况．3．构成简单组合体的两种基本形式一种是由简单几何体拼接而成；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．【问题探究】
1．棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？
答案：不一定．2．通过圆台侧面上一点，有______ 条母线．一题型 1圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 【例 1】 将下列几何体按结构特征分类填空：
①集装箱；②一桶方便面；③排球；④羽毛球；⑤魔方；
⑥金字塔；⑦三棱镜；⑧滤纸卷成的漏斗；⑨烧杯；⑩一个四
棱锥形的建筑物被飓风刮走了一个顶，剩下的上底面与地面平
行．
(1)棱柱结构特征的有____________；
(2)棱锥结构特征的有____________；(3)圆柱结构特征的有____________；
(4)圆锥结构特征的有____________；
(5)棱台结构特征的有____________；
(6)圆台结构特征的有____________；
(7)球结构特征的有______________；
(8)简单组合体有________________．答案：(1)①⑤⑦(2)⑥(3)⑨(4)⑧(5)⑩(6)②(7)③(8)④【变式与拓展】1．在下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台2．下列说法正确的是()C A．圆台的侧面展开图是一个等腰梯形
B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体
C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的
棱锥
D．通过圆锥侧面上一点，有无数条母线C题型 2旋转体的构成)【例 2】 如图 1-1-6 是由哪个平面图形旋转得到的(
图 1-1-6
答案：A【变式与拓展】
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()DA．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆锥
D．一个圆柱、两个圆锥题型 3有关截面问题 【例 3】 一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，
则在图 1-1-7 中，可能是截面的是__________．
图 1-1-7
思维突破：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面
上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中
一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，
得(1)，只要是过球心就不可能截出(4)．
答案：(1)(2)(3) 【变式与拓展】
4．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与
棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()B 【例 4】 如图 1-1-8，甲、乙、丙、丁是不是棱锥、棱台、
圆柱、圆锥等几何体？甲乙丙丁图 1-1-8 易错分析：致错的原因是根据相应的概念的某一个结论去
判断几何体，判断的依据不充分，应该按照空间几何体的定义
去判断，或按照与定义等价的条件去判断． 解：图甲中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，
只是一个多面体；图乙不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交
于同一点；图丙不是圆柱，因为上、下两面不平行(或不是由一
个矩形旋转而成)；图丁不是由一个直角三角形旋转而成，故不
是圆锥．[方法·规律·小结]1．圆柱、圆锥及圆台的母线．(1)圆柱母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高． (2)圆锥母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等．
(3)圆台的任意两条母线都相等，且任意两条母线(它们延长
后会相交)确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形． 2．球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做
球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．球心
和截面圆心的连线垂直于截面．3．判断旋转体形状的关键． 判断旋转体形状的关键是看平面图形绕哪条直线旋转所
得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体可能不同．课件22张PPT。1.2 空间几何体的三视图和直观图1．2.1中心投影与平行投影及空间几何体
的三视图【学习目标】1．了解中心投影和平行投影的特征．2．掌握简单几何体柱、锥、台、球的三视图及画法．
3．对于简单组合体会画其三视图，并能识别和描述三视图所表示的立体图形．1．投影(1)投影的定义：留下物体影子 由于光的照射，在__________物体后面的屏幕上可以留下
这个物体的__________ ，这种现象叫做投影．其中，我们把
____________叫做投影线，把______________的屏幕叫做投影
面．(2)投影的分类：一点向外 ①中心投影：光由____________散射形成的投影．
②平行投影：在一束__________照射下形成的投影．
注意：在平行投影中，当投影线正对着投影面时，叫做正
投影，否则叫做斜投影．不透明影子光线平行光线练习 1：下列说法正确的是()BA．矩形的中心投影一定是矩形
B．两条相交直线的平行投影不可能平行
C．梯形的中心投影一定是梯形
D．平行四边形的中心投影一定是梯形2．中心投影与平行投影的区别交于一点互相平行 注意：在中心投影中，当光源距离物体越近时，投影形成
的影子越大．)A练习 2：哪个实例不是中心投影(
A．工程图纸
B．小孔成像
C．相片
D．人的视觉3．三视图前面向后面左面向右面上面向下面(1)三视图：高度长度宽度 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
(2)长度特征：一个几何体的侧视图和正视图________ 一
样，即“高平齐”，俯视图与正视图________一样，即“长对
正”，侧视图与俯视图________一样，即“宽相等”．练习 3：如图 1-2-1，水平放置的圆柱形物体的三视图是()
图 1-2-1A【问题探究】1．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关吗？什么物体的三视图与物体的摆放位置无关？答案：有些物体的三视图都与物体的摆放位置有关．有些物体的三视图都与物体的摆放位置无关，如球． 2．正视图、侧视图、俯视图分别反映了物体的什么特征？
答案：正视图反映了物体的高度和长度；侧视图反映了物
体的高度和宽度；俯视图反映了物体的长度和宽度．题型 1简单几何体的三视图 【例 1】 作出图 1-2-2 中几何体的三视图．
图 1-2-2
思维突破：在画几何体的三视图时，能看见的轮廓线或棱
用实线表示，不能看见的轮廓线或棱用虚线表示．还要注意三
视图一般要求正视图在左，侧视图在右，俯视图在下．解：如图 D4.图 D4【变式与拓展】
1．如图 1-2-3(1)放置的一个机器零件，若其正视图如图1-2-3(2)，则其俯视图是(D)
图 1-2-3题型 2简单组合体的三视图【例 2】 画出图 1-2-4 中组合体的三视图．
图 1-2-4
解：如图 D5.
图 D5 在画组合体的三视图时，要注意相邻两个几何
体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中不要
忘记将它们画出来，还要注意是虚线还是实线．【变式与拓展】2．画出如图 1-2-5 中几何体的三视图．图 1-2-5解：如图 D7.图 D7题型 3由三视图还原几何体 【例 3】 如图 1-2-6 是一些立体图形的三视图，请说出立
体图形的名称．
图 1-2-6
解：分别为圆台、三棱锥． 由三视图还原几何体时，要根据“长对正、高
平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部
分的形象，特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的
位置．【变式与拓展】
3．(2013 年四川)一个几何体的三视图如图 1-2-7 所示，则该几何体的直观图可以是(D )
图 1-2-7ABCD【例 4】 如图 1-2-8，根据几何体，在相应的视图中补上缺少的线条．图 1-2-8 易错分析：(1)对于简单几何体的组合体，首先要分清它是
由哪些简单几何体组成的，然后再画出它的三视图．
(2)看得见的轮廓线要用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．解：如图 D6.图 D6[方法·规律·小结]1．对几何体的三视图的考查多以选择题的形式出现，着重考查以下几个方面：(1)由实物图画三视图．
(2)由三视图还原实物图．(3)结合几何体的三视图进行有关简单计算，难度中等(见1.3.3)．2．画出的三视图要检查是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征． 3．将三视图还原成空间几何体，应充分抓住正视图的结构
特征及俯视图与侧视图的结构特点进行逆向思维，并联想基本
的几何体的图形结构．课件28张PPT。1．2.2空间几何体的直观图【学习目标】1．掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
2．将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则．3．采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点．4．提高空间想象力与直观感受，体会对比在学习中的作用，感受几何作图在生产活动中的应用．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤135°水平面45°x′轴一半y′轴保持长度不变练习 1：关于“斜二测”直观图的画法，下列说法不正确的是()C A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴，
长度不变
B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴，长度变为原来的1
2 C．画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时，∠x′O′y′
必须是 45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能
不同2．空间图形直观图的画法 空间图形与平面图形相比多了一个 z 轴，其直观图中对应
于 z 轴 的 是 z′ 轴 ， 平 面 x′O′y′ 表 示 水 平 平 面 ， 平 面
y′O′z′和 x′O′z′表示直立平面．平行于 z 轴的线段，在
直观图中平行性和长度都不变．)练习 2：如图 1-2-9，该直观图表示的平面图形为(
图 1-2-9A．钝角三角形
C．直角三角形B．锐角三角形
D．正三角形C练习 3：下面的说法正确的是()DA．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D．平行四边形的直观图仍然是平行四边形【问题探究】空间组合体的三视图与直观图有什么联系？ 答案：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构特征，根
据三视图我们就可以得到一个精确的空间几何体；直观图是对
空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实物
的形象．题型 1用斜二测画法画平面图形的直观图 【例 1】用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图．
解：(1)如图 D8(1)，在已知五边形 ABCDE 中，取中心 O
为原点，对称轴 FA 为 y 轴，过点O与y 轴垂直的是 x 轴，分别
过点 B，E 作 GB∥y 轴，HE∥y 轴，与 x 轴分别交于点 G，H，
画对应的轴 O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°； (3)连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，
所得五边形 A′B′C′D′E′就是正五边形 ABCDE 的直观
图，如图 D8(3)．图 D8 画水平放置的平面图形的直观图，首先建立平面
直角坐标系，然后再取点，最后连线成图．【变式与拓展】1．用斜二测画法作出宽为 3 cm、长为 4 cm 的矩形的直观图．答案：略．题型 2用斜二测画法画空间图形的直观图 【例 2】 已知一个四棱台的上底面是边长为 2 cm 正方形，
下底面是边长为 6 cm 正方形，高为 4 cm，用斜二测画法画出
此四棱台的直观图．
解：图略．步骤如下：
(1)画轴．以底面正方形 ABCD 的中心为坐标原点，画 x 轴、
y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；
(2)画下底面．以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 EF，使得
EF＝6 cm，在 y 轴上取线段 GH，使得 GH＝3 cm，再过点 G，H 分别作ABEF，CDEF，且使得 AB 的中点为 G，CD 的中点为 H，这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD 的直观图； (3)画上底面．在 z 轴上截取线段 OO1＝4 cm，过点 O1 作
O1x′∥Ox ，O1y′∥Oy ，使∠x′O1y′＝45° ，建立坐标系
x′O1y′，在 x′O1y′中重复(2)的步骤画出上底面的直观图
A1B1C1D1；(4)连接 AA1，BB1，CC1，DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图．在画空间几何体的直观图时，要建立空间直角坐标系．【变式与拓展】2．画棱长为 4 cm 的正方体的直观图．
解：直观图如图 D9，具体步骤略．图 D9题型 3给出直观图来研究原图形
图 1-2-10 解：如图 1-2-11，建立直角坐标系xOy，在 x 轴上截取 OD
＝O1D1＝1，OC＝O1C1＝2.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA
＝2D1A1＝2.在过点 A 与 x 轴平行的线上截取 AB＝A1B1＝2.连接
BC，即得到了原图形．
图 1-2-11
由作法可知：原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度
分别为 AB＝2，CD＝3，直角腰长度为 AD＝2，所以面积为 S＝2＋3
2×2＝5. 【变式与拓展】
3．图 1-2-12 为水平放置的△OAB 的直观图，由图判断原
三 角 形 中 AB ， OB ， OD ， BD 由 小 到 大 的 顺 序 为__________________．
图 1-2-12OD
45°，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()D题型 4根据三视图，画直观图 【例 4】 根据给出的空间几何体的三视图，如图 1-2-13.
用斜二测画法画出它的直观图．
图 1-2-13 思维突破：由几何体的三视图可知：这个几何体是一个上
底小而下底大的圆台，我们可以先画出上、下底面圆，再画母
线．
解：(1)画轴．如图 1-2-14，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交
于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.图 1-2-14图 1-2-15 (2)画圆台的两底面．画出底面⊙O 假设交 x 轴于 A，B 两
点，在 z 轴上截取 O′，使 OO′等于三视图中相应高度．过点
O′作 Ox 的平行线 O′x′，Oy 的平行线 O′y′.利用 O′x′与
O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交 x′轴于 A′，B′两点． (3)成图．连接 A′A，B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分改
为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图(如图 1-2-15)．做这种类型的题目，关键是要能够看懂给定的三视图所表示的空间几何体的形状，然后才能正确地完成．【变式与拓展】5．根据三视图(如图 1-2-16)，画出物体的直观图．图 1-2-16解：(1)画轴．建立空间直角坐标系，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.如图 D10；图 D10 (2)画圆柱的两底面和圆台上底面．画出底面圆 O，在 z 轴
上取点 O′，使 OO′等于三视图中相应高度．过点O′作Ox
的平行线O′x′，Oy 的平行线O′y′，利用O′x′与 O′y′
画出底面圆 O′( 与画圆 O 一样) ．再在 z 轴上取点 O″，使
O′O″ 等于三视图中相应高度 ． 过点O″ 作Ox 的 平 行 线
O″x″，Oy 的平行线 O″y″，利用 O″x″与 O″y″画出底
面圆 O″；(3)成图．连接AA′，A′A″，B″B′，B′B，整理得到三视图所表示的立体图形的直观图，如图 D10.【例 5】 对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的() 易错分析：①忘记平行于 y 轴的线段，长度为原来长度的
一半；②忘记y 轴与x 轴的夹角由直角变为45°，此时三角形的中的高，h 是平面图形中的高．答案：C[方法·规律·小结]1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，关键是确定多边形顶点的位置．2．将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则． 3．由三视图想象几何体画直观图时也要根据“长对正、高
平齐、宽相等”的基本特征，想象三视图中每部分对应的实物
图部分的形象．课件22张PPT。1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积【学习目标】 1．能根据柱、锥、台的结构特征，并结合它们的展开图，
推导其表面积的计算公式，从度量的角度认识几何体．
2．能用类比的方法处理问题，并认识到事物之间可以相互转化．表面积公式各个面展开图πr22πrl2πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)πr′2πr2πl(r′＋r)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
注意：
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是______________．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形，它们的表面积等于______________________________．侧面积与底面面积之和各面面积之和练习 1：棱长为 1 cm 的小正方体组成如图 1-3-1 的几何体，36那么这个几何体的表面积是________ cm2.
图 1-3-1练习 2：侧棱长均为 5 cm、底面边长均为 6 cm 的三棱锥的表面积为____________ cm2.图 D11 练习 3：已知正四棱台的上底面的边长为 4 cm，下底面的
边 长 为 8 cm ， 侧 棱 长 为 8 cm ， 则 此 四 棱 台 的 表 面 积 为__________．图 D12练习 4：若圆台的上、下底面半径分别是 1 和 3，它的侧面积是两底面积和的 2 倍，则圆台的母线长为()CA．2B．2.5C．5D．10解析：设母线长为 l，由π(1＋3)l＝2π(12＋32)得 l＝5.【问题探究】简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？
答案：表面积变大了．题型 1最基本几何体的运算 【例 1】 如图 1-3-2，已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB
⊥AD，DC∥AB，且边 AB，AD，DC 的长分别为 7 cm，4 cm，
4 cm，分别以 AB，AD，DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几
何体的表面积．
图 1-3-2解：作 CE⊥AB 于点 E，(1)以 AB 所在直线为旋转轴(此时旋转得到一圆锥和一圆柱的组合体)：S1＝8π×4＋π×4×5＋π×42＝68π.
(2)以 AD 所在直线为旋转轴：S2＝π×42＋π×72＋π×(4＋7)×5＝120π.
(3)以 DC 所在直线为旋转轴：
S3＝5π×4＋2π×4×7＋π×42＝92π. 关键是能想象出旋转后得到的是什么组合体，
然后再利用空间多面体表面积的求法解答．【变式与拓展】 1．已知△ABC 三边 AB，AC，BC 长分别为 3 cm，4 cm，
5 cm，分别以三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积．解：以 AB 所在直线为旋转轴：S＝4π(4＋5)＝36π，
以 AC 所在直线为旋转轴：S＝3π(5＋3)＝24π，题型 2由三视图求几何体表面积【例 2】 (2013 年重庆)某几何体的三视图如图 1-3-3，则该几何体的表面积为()图 1-3-3A．180B．200C．220D．240答案：D利用三视图求几何体表面积的关键，是正确理解和认识三视图中所给量与几何体中量之间的对应关系．【变式与拓展】
2．(2013 年陕西)某几何体的三视图如图 1-3-4, 则其表面积为________．3π 图 1-3-4
解析：综合三视图可知，立体图是一个半径 r＝1 的半个球
题型 3几何体表面积的最值问题 【例 3】 如图 1-3-5，圆台上、下底面半径分别为 5 cm，
10 cm，母线长为 20 cm，从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳，围
绕圆台侧面转至下底面的点 B，求 B，M 间细绳的最短长度．
图 1-3-5 解：如图 1-3-6，沿 BA 所在母线将其展开，易知最短长度
即为线段 B′，M 的长度．
图 1-3-6
设圆锥顶点为 ，△SBC 是其轴截面，则．
求旋转体或多面体侧面上两点间的最短距
离的思路：将其转化为平面图形，在平面图形上求出的两点间
线段的长度就是两点间的最短距离． 【变式与拓展】
3．圆锥底面半径为 r，母线长是底面半径的 3 倍，在底面
圆周上有一点 A，求一个动点 P 自点 A 出发在侧面上绕一周到
A 点的最短路程．
图 D13 【例 4】 用一张长为 8 cm，宽为 4 cm 的矩形硬纸卷成圆
柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积和底面积．
易错分析：将矩形硬纸卷成圆柱有两种不同卷法，很容易
丢解．
[方法·规律·小结]1．求台体的侧面积、底面积时，将台体补成锥体，会大大简化运算过程． 2．求旋转体的表面积，要弄清侧面展开图的形状及侧面展
开图中各线段与原旋转体的关系是掌握它们的侧面积公式及解
有关问题的关键．课件17张PPT。1．3.2柱体、锥体、台体的体积【学习目标】1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．体积公式V＝Sh(其中 S 表示底面积，h 表示高，S′表示上底面积)练习 1：长方体相交于一点的三个面的面积分别为 6 cm2，8 cm2，12 cm2，则长方体体积为()AA．24 cm3
C．40 cm3B．6 cm3
D．48 cm3练习 2：轴截面(过圆锥顶点和底面中心的截面)是直角三角形的圆锥的底面半径为 4，则该圆锥的体积为________．练习 3：已知棱台的上下底面面积分别为 4,16，高为 3，则该棱台的体积为__________．28【问题探究】简单组合体分割成几个几何体，其体积变吗？
答案：其体积不变．题型 1有关等体积的计算 【例 1】 在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条
棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何
体的体积是__________．
思维突破：剩下的几何体的体积，等于正方体的体积减去
8 个三棱锥的体积．
答案：5
6【变式与拓展】
1．如图 1-3-7，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 4，点 P，)Q 在棱 CC1 上，PQ＝1，则三棱锥 P-QBD 的体积是(
图 1-3-7A.8
3B.4
3C．8D．与点 P 位置有关A题型 2由三视图求几何体体积【例 2】 已知某个几何体的三视图如图 1-3-8，根据图中)标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(
图 1-3-8答案：C根据三视图“长对正，高平齐，宽相等”的规则，可以得出三棱锥的长宽高，再利用体积公式计算．【变式与拓展】
2. (2013 年广东)某四棱台的三视图如图 1-3-9，则该四棱台的体积是()图 1-3-9A．4B.14
3C.16
3D．6
答案：B题型 3有关面积和体积的计算 【例 3】 若圆锥的表面积是 15π，侧面展开图的圆心角是
60°，求圆锥的体积．
解题关键是先算出圆锥的底面半径和圆锥的
高，再利用体积公式计算． 【变式与拓展】
3．(2013 年山东)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方
形，其正视图如图 1-3-10 ，该四棱锥的侧面积和体积分别是()B图 1-3-10 【例 4】 已知某几何体的俯视图是如图 1-3-11 中的矩形，
正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一
个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积 V；
(2)求该几何体的侧面积 S.图 1-3-11 易错分析：解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把
它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，
再结合体积公式解题． 解：由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面
是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边
长为 8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6，
高为 h2 的等腰三角形如图 D14.图 D14[方法·规律·小结] 1．比较柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系．
2．计算柱体、锥体，台体的体积，关键是根据条件找出相
应的底面积，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，
将空间问题转化为平面问题．课件19张PPT。1．3.3球的体积和表面积【学习目标】1．了解球的表面积和体积公式．2．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题．
3．培养学生的空间思维能力和空间想象能力．1．球的体积公式：____________.练习 1：球的体积变为原来的 8 倍，则球的半径变为原来的(D )
C．3 倍B．1 倍
D．2 倍A. 倍2．球的表面积公式：__________.
________．12πS＝4πR2【问题探究】1．用一个平面去截球，截面一定是圆？
答案：是的．2．长方体的外接球的球心一定在长方体的对角线上对吗？
答案：对．题型 1球的体积 【例 1】 (1)球的半径增大为原来的 2 倍，则体积增大为原
来的______倍；
(2) 三个球的半径之比为 1 ∶2 ∶3 ，那么三个球的体积比
__________；
(3)把半径分别为 3,4,5 的三个铁球，熔成一个大球，则大
球半径是______． 思维突破：(1)(2)可直接运用球的体积公式求解，(3)在运用
公式前，则需明白熔化前后球的体积不会发生改变．答案：(1)8 (2)1∶8∶27(3)6【变式与拓展】1．正方体的内切球和外接球的半径之比为()D题型 2球的表面积 【例 2】 已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离
为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
解：如图 D15，设截面圆心为 O′，连接 O′A，设球半径
为 R，
图 D15 要求球的表面积，只需求出球的半径，再利
用表面积公式 S＝4πR2 求解．【变式与拓展】
2．(2013 年上海春季)若两个球的表面积之比为 1∶4，则)这两个球的体积之比为(
A．1∶2
C．1∶8
B．1∶4
D．1∶16C题型 3球与多面体及旋转体的组合体的计算问题 【例 3】 已知在长方体中，有一个公共顶点的三个面面积
分别为 2,3,6，则长方体的体积为____________；对角线的长为
____________；外接球的体积为____________．
外接球的体积(其直径就是长方体的对角线)都与长方体的基本
元素“长宽高”有关，故围绕已知条件寻找这三个元素即可解
题． 长方体的外接球的直径恰好为长方体的一条
体对角线．【变式与拓展】
3．若半径为 R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为()B 【例 4】 用互相平行的且距离为 27 的两个平面截球，两
个平面的半径分别为 r1＝15，r2＝24，试求球的表面积．
易错分析：没有考虑两个截面圆在球心同侧和异侧两种情形以致解答不全．(1)此题易因没有分类讨论而错解．(2)化空间为平面，转化为求解直角三角形的问题． 解：应分两个平行截面位于球心的同侧、异侧讨论．
设球的半径为 R，球心O到两个平行截面的距离分别为OO1
＝d1，OO2＝d2(d1>d2)．
(1) 当两平行截面位于球心同侧时，如图 D16(1)所示，
d1－d2＝27. ③
联立①②③，解得 d1＝20，d2＝－7，不合题意．
即这种情况不存在．(2)当两平行截面位于球心异侧时，如图 D16(2)，
图 D16d1＋d2＝27. ③
联立①②③解得 d1＝20，d2＝7，R＝25，
∴S 球＝4πR2＝2500π.
综上所述，球的表面积为 2500π.[方法·规律·小结]1．几何体的外接球和内切球的计算问题，重点是找出球心的位置，然后利用平面知识计算．2．计算球的表面积和体积关键是计算出球的半径，然后套用公式即可．课件11张PPT。章末整合提升专题一三视图的应用 已知几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，需
先由三视图还原出直观图，再根据直观图求几何体的体积或表
面积．【例 1】 一个几何体的三视图如图 1-1(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.图 1-1 思维突破：由三视图还原几何体时，根据三视图“长对正、
高平齐、宽相等”的规则，可以得出简单几何体的长宽高，再
利用体积公式计算． 解析：由三视图可得，该几何体由两个直四棱柱组成，下
面四棱柱的底面长为 2，宽为 1，高为 1，上面直四棱柱是底面
边长为 1 的正方形，高为 2，故该几何体的体积 V＝2×1×1＋
1×1×2＝4.答案：4先把三视图还原成几何体，再根据几何体的度量计算．【互动与探究】
1．(2013 年广东)某三棱锥的三视图如图 1-2 所示，则该三棱锥的体积是()B图 1-22．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图 1-3，则相应的侧视图可以为()A图 1-3专题二 几何体的表面积和体积的相关计算计算球的表面积和体积关键是计算球的半径，再用表面积公式和体积公式计算． 【例 2】 如图 1-4，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱．当
圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是
________．图 1-4 思维突破：如图 1-4，球心与圆柱的上底面的圆心的连线，
垂直于上底面，并且等于母线长的一半．涉及空间几何体中最
值问题常用到函数思想． 则 4πR2－2πR2＝2πR2.
答案：2πR2
本题综合考查了圆柱的侧面积公式、球的表
面积公式．运用了函数与方程的思想，考查了学生分析问题、
解决问题的能力．【互动与探究】
3．(2012 年上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．第一章 空间几何体
1．1 空间几何体的结构
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．棱台不一定具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
2．如图K1-1-1，在下列几何体中是棱柱的有( )
图K1-1-1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图K1-1-2，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，EF∥B1C1，用平面BCFE把这个长方体分成了(1)、(2)两部分后，这两部分几何体的形状是( )
A．(1)是棱柱，(2)是棱台
B．(1)是棱台，(2)是棱柱
C．(1)(2)都是棱柱
D．(1)(2)都是棱台
图K1-1-2 图K1-1-3
4．过棱长都为1的三棱柱底面一边的截面是( )
A．三角形
B．三角形或梯形
C．不是梯形的四边形
D．梯形
5．如图K1-1-3，一个直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B. C. D.
6．一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如图K1-1-4是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是_______．
图K1-1-4
7．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．长方体ABCD - A1B1C1D1的棱AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则长方体的对角线长为________．
9．在图K1-1-6所示的4个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体(如图K1-1-5)的展开图？其序号是________(把你认为正确的序号都填上)．
图K1-1-5
图K1-1-6
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
1．有下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
2．下列说法中正确的是( )
A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径
3．(2013年江西一模)如图K1-1-7，已知正方体ABCD -A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1，O2将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图形是( )
图K1-1-7
A B C D
4．一个球内有一内接长方体，其长、宽、高分别为 5,4,3，则球的半径为( )
A．5 B．2
C. D.
5．已知圆台的上、下底面半径为2,4，则过其高的中点平行于底面的截面面积为( )
A．4π B．9π C．24π D．12π
6．已知球的半径为R，在球面上任取两点A，B，过A，B作球的截面，其中截面半径为R的圆面有________个．
7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面的哪几种：________________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
8．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱的底面半径之比为________．
9．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm.求圆台的母线长．
10．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1．2.1 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图
1. (2013年四川)一个几何体的三视图如图K1-2-1，则该几何体可以是( )
图K1-2-1
A．棱柱 B．棱台
C．圆柱 D．圆台
2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是( )
A．两条平行直线 B．一点和一条直线
C．两条相交直线 D．两个点
3．下列几种关于投影的说法不正确的是( )
A．平行投影的投影线是互相平行的
B．中心投影的投影线是互相垂直的
C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上
D．平行的直线在中心投影下不平行
4．(2013年湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B．1 C. D.
5．某几何体的三视图如图K1-2-2，那么这个几何体是( )
图K1-2-2
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台
6．图K1-2-3是某几何体的三视图，则这个几何体是( )
图K1-2-3
A．圆柱 B．空心圆柱 C．圆 D．圆锥
7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图K1-2-4，则该几何体的俯视图为( )
图K1-2-4
8．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图K1-2-5，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是__________．
图K1-2-5
9．如图K1-2-6所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是( )
图K1-2-6
10．根据图K1-2-7所示的三视图想象物体原形，并画出该物体的实物草图．
图K1-2-7
1.2.2 空间几何体的直观图
1．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )
A．水平放置的角的直观图不一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．90°的角在直观图中是45°
D．若两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
2．如图K1-2-8所示的直观图的平面图形ABCD是( )
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
图K1-2-8 图K1-2-9
3．如图K1-2-9中的直观图，其平面图形的面积为( )
A．3 B．6 C．3 D.
4．如图K1-2-10，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )
图K1-2-10
A．6 cm B．8 cm C．(2＋4 ) cm D．(2＋2 ) cm
5．按下列选项建立坐标系，得到边长为1的正三角形ABC的直观图不会是全等三角形的一组是( )
6．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为( )
A. B. C. D.
7．如图K1-2-11，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是________米．
图K1-2-11
8．如图K1-2-12，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．
图K1-2-12
9．如图K1-2-13是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC＝2a，求直观图中AB和AC的长度．
图K1-2-13
10．某几何体的三视图如图K1-2-14.
(1)画出该几何体的直观图；
(2)判别该几何体是否为棱台．
图K1-2-14
1.3 空间几何体的表面积与体积
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积
1．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是( )
A．4 π B．2 π
C．2 π D．4 π
2．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2
3．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
4．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( )
A．52π B．36π C．45π D．37π
5．若一圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积之比是( )
A. B.
C. D.
6．(2012年广东)某几何体的三视图如图K1-3-1，它的体积为( )
A．12π B．45π C．57π D．81π
图K1-3-1 图K1-3-2
7．若一个圆锥的正视图(如图K1-3-2)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．
8．如图K1-3-3，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积为__________．
图K1-3-3
9．已知圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值为多少？
10．圆锥的半径为r，母线长为4r，M为底面圆周上任意一点，从M拉一根绳子，环绕圆锥的侧面一周再回到M，求最短绳长．
1．3.2 柱体、锥体、台体的体积
1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1∶V2＝( )
A．1∶3 B．1∶1 C．2∶1 D．3∶1
2．圆锥母线长为2，底面半径为1，则圆锥的体积为( )
A.π B．2π C.π D.π
3．矩形两邻边的长为a，b，当它分别绕边a，b旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为( )
A. B. C.3 D.3
4．若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A．6 cm B．6 cm C． cm D．cm
5．如图K1-3-4是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
图K1-3-4
A.π B.π C.π D.π
6．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸造成一个正方体的铜块，则铸成铜块的棱长为________．
7．将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为________．
8．将半径为6的圆形铁皮，剪去面积为原来的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为________．
9．(2012年山东)如图K1-3-5，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积．
图K1-3-5
10．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些，说明理由．
1．3.3 球的体积和表面积
1．一个球的表面积扩大为原来的4倍，那么该球的体积扩大为原来的________倍．
2．半径为1的球和边长为的正方体，它们的表面积的大小关系是( )
A．S球>S正方体 B．S球＝S正方体
C．S球3．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么球的体积为( )
A. B.
C. D.
4．若半径为1的球面上两点A，B间的球面距离为，则弦长AB等于( )
A. B．1
C. D.
5．球的一个截面面积为49π cm2，球心到截面距离为24 cm，则球的表面积是________．
6．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
7．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于( )
A．2 B.
C. D.
8．圆柱形容器的内壁底半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图K1-3-6)，求球的半径．
图K1-3-6
10．如图K1-3-7(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
图K1-3-7
课时作业部分
第一章 空间几何体
1．1 空间几何体的结构
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B
7．D 解析：在长方体ABCD -A′B′C′D′中，取四棱锥A′-ABCD，它的四个侧面都是直角三角形．故选D.
8．5 解析：AC1＝＝＝5 .
9．①②
1．1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
1.D 2.C 3.D
4．D 解析：球的直径为长方体的体对角线长．
5．B 6.一或无数多 7.①②③⑤
8．2∶1 解析：可从底面入手，即圆内接一正三角形，正三角形内切一圆，易得答案．
9．解：如图D45是几何体的轴截面，
由题意知：AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.
由＝，
得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)．
∴AA′＝SA－SA′＝6(cm)．
∴圆台的母线长为6 cm.
图D45 图D46
10．解：如图D46，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，
则OC＝x，∴＝，
解得x＝，
∴正方体的棱长为 cm.
1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2.1 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图
1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C
8．6 9.A
10．解：根据三视图想象物体原形如图D47.
图D47
1．2.2 空间几何体的直观图
1．D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.D
7.
8．解：如图D48，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.
图D48
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知：四边形OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3(cm)．
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8(cm)，
面积为1×2 ＝2 (cm2)．
9．解：由题意，可得AO＝a，∠AOC＝45°.
过点A作AD⊥BC，交x轴于点D，
则AD＝OD＝AO·sin45°＝a.
在Rt△ABD中，AB＝＝a.
在Rt△ACD中，AC＝＝a.
10．解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线即成．
(1)画法：如图D49，先画轴，依次画x′，y′，z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.在z′轴上取O′O″＝8 cm，再画x″，y″轴．
图D49
在坐标系x′O′y′中作直观图ABCD，使得AD＝20 cm，AB＝8 cm；在坐标系x″O″y″中作直观图A′B′C′D′，使得A′D′＝12 cm，A′B′＝4 cm.连接AA′，BB′，CC′，DD′，即得到所求直观图．
(2)如图D50，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h，h′.
图D50
根据相似比，分别有＝，＝，
解得h＝20，h′＝16.
由h≠h′可知：各侧棱延长不交于一点．
所以，该几何体不是棱台．
1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积
1．C
2．B 解析：用27个全等的小正方体的表面积减去边长为a的正方体的表面积．
3．A 4.A 5.A
6．C 解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．根据三视图中的数量关系，可得V＝V圆锥＋V圆柱＝×π×32×＋π×32×5＝57π.故选C.
7．3π 8.2π(1＋)
9．解：(1)设圆柱的底面半径为r，则
＝，所以r＝.
所以S圆柱侧＝2π··x＝.
(2)由(1)知
S圆柱侧＝＝[－(x－3)2＋9]，
则当x＝3 cm时，圆柱的侧面积最大，且最大为6π cm2.
10．解：沿着M所在母线展开，则最短时如图D51，MM′即为所求．
图D51
则OM＝OM′＝4r，弧MM′的长为2πr.
则∠MOM′＝·360°＝90°.
则MM′＝4 r.
1．3.2 柱体、锥体、台体的体积
1．D 2.D 3.A 4.B 5.D 6.4 cm
7.或 解析：2πr＝6，r＝，h＝4，V＝πr2h＝；或2πr＝4，r＝，h＝6，V＝πr2h＝.
8.
9．解：方法一：因为点E在线段AA1上，所以＝×1×1＝.又因为点F在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，所以＝＝××h＝××1＝.
方法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点E在点A处，点F在点C处，则＝＝×S△ADC×DD1＝××1×1×1＝.
10．解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积
V1＝S·h＝×π×2×4＝π(m3)．
如果按方案二，仓库的高度变成8 m，则仓库的体积
V2＝S·h＝×π×2×8＝π(m3)．
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m
棱锥的母线长为l＝＝4 ，
则仓库的表面积S1＝π×8×4 ＝32 π(m2)．
如果按方案二，仓库的高度变成8 m，
棱锥的母线长为l＝＝10，
则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3)∵V2>V1，S2∴方案二比方案一更加经济．
1．3.3 球的体积和表面积
1．8 2.A 3.B 4.D
5．2500π cm2 解析：球半径为25 cm.
6．16π 解析：设球的半径为R，则由题意及截面性质可知，球心到截面的距离为，截面的半径为，由圆的面积公式可知π2＝3π，R＝2，S球表面积＝4πR2＝16π.
7．D 解析：正方体的对角线就是其外接球的直径，设正方体的棱长为x，则正方体的对角线长为x，由题设有π×3＝，解得x＝.
8．A
9．解：设球的半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×·πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4.
10．解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面．
S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.
故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π，V半球＝π×23×＝π.
所以，旋转体的体积为
V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3
第一章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列命题正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
3．给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图1-1是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是( )
图1-1
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
6．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是( )
A. B．1 C．2 D．3
7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3 C．2 D．5
8．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图1-2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
图1-2
A．南 B．北 C．西 D．下
9．图1-3是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
图1-3
A．32π B．16π C．12π D．8π
10．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，如图1-4.若将△ABC绕BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
图1-4
A.π B.π C.π D.π
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的体积为__________．
12．圆台的高是12 cm，上、下两个底面半径分别为4 cm和9 cm，则圆台的侧面积是__________．
13．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．
14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A到C的最短距离．
16．(12分)如图1-5，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85 m，底面的边长是
1.5 m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m2)?
图1-5
17．(14分)如图1-6是一个奖杯的三视图．求这个奖杯的体积(精确到0.01 cm3)．
图1-6
18．(14分)如图1-7，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？
图1-7
19．(14分)如图1-8，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大．
图1-8
20．(14分)如图1-9，在正四棱台内，以小底为底面，大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．
图1-9
检测部分
第一章自主检测
1．D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B
7．B 解析：如图D60，设球的半径是r，则π·BD2＝5π，π·AC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，设OA＝x.∴x2＋8＝r2，(x＋1)2＋5＝r2.解得r＝3.
图D60
8．B 9.C
10．D 解析：旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积，·π·()2×－·π·()2×1＝π.
11．2 12.169π cm2 13.96 14.1∶8
15．解：如图D61，由圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形，知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为5π cm，则AD为2.5π cm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为＝ (cm)．
图D61
16．解：SE＝.
所需铁板面积为
S＝4×≈3.4(m2)．
17．解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体．
V正四棱台＝×5×(152＋15×11＋112)≈851.667(cm3)，
V长方体＝18×8×8＝1152(cm3)，
V球＝π×33≈113.097(cm3)，
所以，这个奖杯的体积为
V＝V正四棱台＋V长方体＋V球≈2116.76(cm3)．
18．解：当侧面AA1B1B水平放置时，纵截面中水液面积占1－＝，所以水液体积与三棱柱体积比为.
当底面ABC水平放置时，液面高度为8×＝6.
19．解：(1)设内接圆柱底面半径为r.其轴截面如图D62.
S圆柱侧＝2πr·x. ①
∵＝，
∴r＝(H－x)． ②
②代入①，得
S圆柱侧＝2πx·(H－x)＝(－x2＋Hx)(0(2)S圆柱侧＝(－x2＋Hx)＝，
∴x＝时，S圆柱侧最大＝.
图D62 图D63
20．解：如图D63，过高OO1和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高EO1.
设OO1＝h，所以
S锥侧＝·4b·EO1＝2bEO1，
S台侧＝(4a＋4b)·EE1＝2(a＋b)·EE1.
所以2bEO1＝2(a＋b)EE1. ①
由于OO1E1E是直角梯形，其中OE＝，O1E1＝.
由勾股定理，有
EE＝h2＋2，EO＝h2＋2. ②
①式两边平方，把②代入，得
b2＝(a＋b)2.
解得h2＝，所以h＝ .
显然，由于a>0，b>0，所以此题当且仅当a<b时才有解．
