课件16张PPT。第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率【学习目标】1.掌握直线倾斜角的定义和取值范围.2.掌握直线斜率的定义，斜率与倾斜角的关系.
3.掌握求直线斜率的坐标公式.1.倾斜角与斜率
(1)倾斜角与斜率的概念：相交90°x 轴正向向上方向正切值(2)倾斜角与斜率的对应关系：斜率k 的取值范围是(－∞，＋∞).90°0°≤α<180°由上表可知直线 l 的倾斜角α的取值范围是____________，练习 1：下列命题：
①任一条直线都有倾斜角；
②直线的倾斜角越大其斜率就越大；
③直线的斜率越大其倾斜角就越大；
④直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率；
⑤任一条直线都有斜率；
⑥直线的斜率为 tanα，则直线的倾斜角为α.正确命题的序号是__________.①④2.过两点的直线的斜率公式
已知直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线的斜率公式：____________.A练习2：已知点A(2,3)，B(－1,4)，则直线AB的斜率是( )【问题探究】1.已知直线上两点A(a1，b1)，B(a2，b2)，运用上述公式计算直线的斜率时，与 A，B 两点坐标的顺序有关吗？答案：与顺序无关.2.当直线平行于 y 轴时或与 y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答案：不适用，因为此时直线上所有点的横坐标都相等，斜率不存在.题型 1 直线的倾斜角与斜率的概念
【例 1】 判断下列命题的正确性：(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
(2)平行于 x 轴的直线倾斜角是 0°或 180°；
(3)直线的斜率的范围是(－∞，＋∞)；(4)两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；
(5)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等. 解：命题(1)错误，如直线x＝1，倾斜角为90°，但是斜率不存在.
命题(2)错误，由倾斜角的取值范围0°≤α＜180°，可知平行于x轴的直线倾斜角为0°.
命题(3)正确，可结合正切函数在[0°，180°)的图象说明.
命题(4)正确，由正切函数在[0°，180°)范围内的单调性可知.
命题(5)错误，当两直线倾斜角为90°时，斜率不存在，也就不能说斜率相等.
综上所述，命题(3)、(4)正确，(1)、(2)、(5)错误.(1)掌握倾斜角α的概念要明确四点：①直线向上的方向.
②x 轴正方向.③所成的最小正角.④α∈[0°，180°)(0°是指与x 轴平行或重合时的倾斜角).
(2)一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用 k 表示，即 k＝tanα.当 0°≤α<90°时，k≥0；
当 90°<α<180°时，k<0；
当α＝90°时，k 不存在.【变式与拓展】)CD)1.若直线 x＝1 的倾斜角为α，则α(
A.等于 0°
B.等于 45°
C.等于 90°
D.不存在
2.若直线 x＝1 的斜率是 k，则 k(
A.等于 0°
B.等于 45°
C.等于 90°
D.不存在 题型 2 求直线的斜率
【例 2】 求过两点 M(2,1)，N(m,2)(m∈R)的直线 MN 的斜
率.
解：当 m＝2 时，直线 MN 与 x 轴垂直，
∴直线 MN 的斜率不存在.【变式与拓展】)B则直线 l 的斜率为( 【例 3】 已知 A(2，－3)，B(－3，－2)两点，直线 l 过定
点 P(1,1)且与线段 AB 相交，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
易错分析：由直线位置的变化趋势，不能正确得出斜率的变化趋势.解：如图 D37，由直线斜率公式，可以得到图 D37[方法·规律·小结]
1.倾斜角与斜率之间的关系.2.求直线斜率的方法.
求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点的坐标，课件18张PPT。3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【学习目标】1.掌握利用斜率判定两条直线的平行关系.
2.掌握利用斜率判定两条直线的垂直关系.1.特殊情况下两条直线的平行与垂直
两条不重合的直线中，有一条直线没有斜率.
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜度都等于 90°，两直线______________.互相平行互相垂直 (2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90°，
另一条直线的倾斜角为 0°，两直线______________. 2.两条直线都有斜率而且不重合时的平行与垂直
(1)如果两条直线互相平行，那么它们的斜率______；反之，
如果两条直线的斜率相等，那么它们互相________，即 l1∥l2
?______________.
(2)如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率___________；
反之如果两条直线的斜率互为负倒数，那么它们互相________，相等k1＝k2互为负倒数垂直k1k2＝－1平行即练习 1：下列命题中正确命题的个数是()B①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为－1；
④若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等；
⑤若两直线的斜率不存在，则这两条直线平行.A.1 个
C.3 个B.2 个
D.4 个练习2：直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为()D【问题探究】1.公式l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是什么？
答案：(1)两条直线的斜率存在，分别为k1，k2；(2)l1与l2不重合.2.公式l1⊥l2?k1k2＝－1成立的前提条件是什么？答案：两条直线都有斜率且斜率都不等于 0.题型 1 两条直线平行的判定【例 1】 已知点 A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系，并证明你的结论.
思维突破：可借助作图，通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算加以验证. 【变式与拓展】
1.试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)和点 B(－5，m)的直线
与过点 C(－4,3)和点 D(0,5)的直线平行. 题型 2 两条直线垂直的判定
【例 2】 已知点 A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(－2,6)，试
判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.因为k1·k2＝－1，所以直线AB⊥PQ. 【变式与拓展】
2.已知三点 A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)，若 AB⊥
BC，求 m 的值. 题型 3 用斜率公式证明三点共线
【例 3】 判断 A(－2,12)，B (1,3)，C(4，－6) 三点的位置
关系，并说明理由.∴kAB＝kBC.
故直线 AB 与 BC 平行.
又∵两条直线有公共点 B，
∴直线 AB 与 BC 重合，即 A，B，C 三点共线. 【变式与拓展】
3.已知P1(1，－2)，P2(x,3)，P3(－3，－1)在同一条直线上，
求 x 的值.解：∵点P1，P2，P3在同一条直线上， 【例 4】 在直角三角形 ABC 中，∠C 是直角，点 A(－1,3)，
B(4,2)，点 C 在坐标轴上，求点 C 的坐标.
易错分析：对点的位置关系没有进行分类讨论.当点的位置
不能确定时，要对其各种可能的位置关系都要讨论到.
解：(1)当点 C 在 x 轴上时，设 C(x,0)，∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0).[方法·规律·小结] 1.两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它
们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，
即l1∥l2?k1＝k2. 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果 k1＝k2，那
么一定有 l1∥l2；反之则不一定. 2.两条直线都有斜率且斜率不为 0，如果它们互相垂直，那
么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，注意：如果k1·k2＝－1, 那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.课件18张PPT。3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【学习目标】1.初步理解直线方程的概念.2.了解直线点斜式方程的推导过程.3.明确点斜式方程推导的两个要素：直线上的一点和直线的斜率.4.掌握直线点斜式方程的形式.5.了解斜截式方程 y＝kx＋b 是点斜式方程的特殊形式.1.直线的点斜式方程和斜截式方程y＝kx＋b注意：斜截式方程是点斜式方程的特殊形式.y－y0＝k(x－x0) 练习1 ：过点(4 ，－2) ，倾斜角为 150° 的直线的方程是___________________.A2.直线 l 的截距纵坐标横坐标 (1)直线在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0 ，b)的
__________.
(2)直线在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点 (a,0) 的
__________.【问题探究】
1.当直线 l 与 x 轴垂直时，能用点斜式表示直线 l 的方程吗？ 答案：不等价，前者表示的直线缺少一个点(x1，y1)，而后
者表示的是整条直线.答案：不能，此时直线的斜率不存在.题型 1 直线的点斜式方程【例 1】 求下列直线的方程：
(1)经过点 A(1,2)，斜率是 4；(2)经过点 A(1,2)，倾斜角为 45°；
(3)经过点 A(1,2)，且与 x 轴平行；
(4)经过点 A(1,2)，且与 x 轴垂直.解：(1)直线方程为 y－2＝4(x－1).
(2)∵倾斜角为 45°，∴斜率为 1.∴直线方程为 y－2＝1×(x－1)，即 y－2＝x－1.
(3)经过点 A(1,2)，且与 x 轴平行，直线方程为 y＝2.
(4)经过点 A(1,2)，且与 x 轴垂直，直线方程为 x＝1.这一前提条件.使用直线的点斜式方程必须注意“斜率存在”【变式与拓展】
1.直线 l 的倾斜角为 45°，且经过点 P(0,1)，则直线 l 的方程为()AA.y＝x＋1
C.y＝x－1 B.y＝－x－1
D.y＝－x＋1题型 2 直线的斜截式方程【例 2】 求下列直线的斜截式方程：【变式与拓展】△AOB 的面积为 1，那么 b＝________.±1题型 3 点斜式方程和斜截式方程的应用【例 3】 已知直线 l 经过点 P(－5，－4)，且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程. 思维突破：由题意知，所围三角形为直角三角形.根据直角
三角形面积公式以及直线方程求出该直线的斜率 k 即可.解：由已知：l 与两坐标轴不垂直.
∵直线 l 经过点 P(－5，－4)，∴可设直线 l 的方程为 y＋4＝k(x＋5)，
即 y＝kx＋5k－4. 已知直线过一点时，常使用点斜式或斜截式方
程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式或斜截式表示，
对斜率不存在的情况要另外讨论，以免出错.【变式与拓展】求该直线的方程. 【例 4】 已知过点 A(－2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2x＋
y－1＝0 平行，求 m 的值.
易错分析：没有找对直线的斜率.对于直线方程，通常要把
它转化成斜截式方程形式，求出斜率.
解：把直线 2x＋y－1＝0 转化为 y＝－2x＋1，知其斜率为[方法·规律·小结]1.直线的点斜式方程. 如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且该
方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线 l 上，我们就把这
个方程称为直线 l 的方程.如果已知直线 l 上一点 P(x0，y0)及斜
率 k，则可求出直线的方程为 y－y0＝k(x－x0).2.直线的斜截式方程. 把点斜式方程中的点取为直线与 y 轴的交点 P(0，b)，代人
点斜式方程即可求得 y＝kx＋b(b∈R).它比点斜式方程少了一个
字母，几何意义体现得更为充分，是求直线方程的常选形式.课件21张PPT。3.2.2 直线的两点式方程【学习目标】1.学会利用两点的坐标求直线的方程.
2.学会利用直线的截距式求直线的方程.
3.了解直线方程的两点式和截距式的联系.直线方程的两点式和截距式 练习 1：两点式直线方程不能表示_____________平行的
直线.
练习 2：截距式中 a 表示在__________的截距，b 表示在
__________的截距，它们均可正可负.与 x 轴或 y 轴x 轴上y 轴上【问题探究】 1.直线的两点式方程能表示平面内过任意两点的直线方程
吗？把直线的两点式方程化为怎样的形式就可以利用它表示平
面内过任意两点的直线方程？ 答案：当直线的斜率不存在或斜率为 0 时，不能使用两点
式方程；若把两点式化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，就可
以利用它表示平面内过任意两点的直线方程. 2.线段的中点坐标公式是怎样的？
题型 1 利用两点式求直线的方程
【例1】 已知三角形的顶点为A(－5,1)，B(2，－2)，C(0,2)，
求 BC 边上的中线 AM 所在直线的方程.
解：∵ BC 的中点 M 的坐标是 M(1,0)，即 x＋6y－1＝0. 【变式与拓展】 1.已知△ABC的顶点为A(1,4)，B(－4,0)，C(3,0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.
解：过点B且将△ABC面积平分的直线必经过AC的中点，设AC中点为D，则D(2,2)，
则直线BD的两点式方程为题型 2 利用截距式求直线的方程【例 2】 根据下列条件，求直线的方程：(1)在 x 轴上的截距为－2，在 y 轴上的截距为 2；
(2)过点(1,4)，在两坐标轴上的截距之和为 10.思维突破：设出截距式方程，根据题意列方程求解. 此题求直线 l 的方程有两种方法：①用直线方程
的点斜式求 k；②用直线方程的截距式求 a，b.而第②种解法较
为简便. 【变式与拓展】
2.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距
与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程.∵点(1,2)在直线 l 上，化简，得a2－5a＋6＝0，
解得a1＝2，a2＝3.解：设直线l 的横截距为a，由题意，可得纵截距为6－a，综上所述，所求直线方程为 2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0.题型 3 中点公式的应用 【例 3】 过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2x－y
－2＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 所截的线段 AB 以点 P 为中点，求此
直线 l 的方程. 思维突破：过点 P 的直线 l 显然不与 y 轴平行，故可设直
线点斜式方程，求待定系数 k；也可设出点 A 坐标，利用中点
坐标关系表示出点 B，再把点A，B 坐标分别代回到l1，l2 方程
中求出未知数. 解：方法一：设直线l 的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别
与直线 l1，l2 的方程联立，得故所求的直线l 为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由两点式，得 l 的方程为 8x－y－24＝0. 【变式与拓展】
3.直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截得
的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.
①＋②，得x0＋6y0＝0，
即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，
又直线 x＋6y＝0 过原点，
所以直线 l 的方程为 x＋6y＝0. 【例 4】 经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对
值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.
易错分析：涉及截距的相关问题考虑不全面.
解：当截距为 0 时，设直线方程为 y＝kx，
由直线过点 A(1,2)，可得 k＝2，即 y＝2x；
当截距不为 0 时，设直线方程为因为直线过点 A(1,2)，
则得 a＝3 或 a＝－1.即直线方程为 x＋y－3＝0 或 x－y＋1＝0.
故满足条件的直线有 3 条，它们分别是：
2x－y＝0，x＋y－3＝0，x－y＋1＝0.[方法·规律·小结]
1.直线的两点式方程.
若直线 l 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2且y1≠y2)，2.直线的截距式方程.当把两点式方程中的两点取为 A(a,0)，B(0，b)代入两点式线在 x，y 轴上的不为 0 的截距.它比两点式方程更充分地体现了
直线方程中的量的几何意义.课件21张PPT。3.2.3 直线的一般式方程【学习目标】1.掌握直线一般式方程的形式.2.掌握直线一般式方程的几何意义.3.掌握直线方程的五种形式之间的关系.1.直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0 直线的一般式方程的形式是：_____________________
___________________.
练习 1：斜率为－3，在 x 轴上截距为 2 的直线的一般式方程是()CA.3x＋y＋6＝0
C.3x＋y－6＝0B.3x－y＋2＝0
D.3x－y－2＝0(A，B 不同时为 0)2.直线的一般式方程的几何意义
(1)当 B≠0 时，则直线的斜率 k＝________，直线在 y 轴上的截距 b＝________.(2)当 B＝0，A≠0 时，则直线在 x 轴上的截距是_______.
练习2：直线 2x＋y＋7＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 a，b 的值是()D【问题探究】1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x，y的二元一次方程表示吗？答案：可以.2.每一个关于 x，y 的二元一次方程都可以表示一条直线吗？答案：可以.题型 1 求直线方程的几种形式点斜式和一般式方程.式方程为 x－2y－14＝0. 【变式与拓展】
1.已知直线 mx＋ny＋12＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是
－3 和 4，求 m，n 的值.
解：方法一：由题意知，直线经过点(－3,0)和点(0,4)，因
此有方法二：将 mx＋ny＋12＝0 化为截距式得故 m，n 的值分别为 4，－3.题型 2 利用一般式方程求斜率【例 2】 已知直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不全为 0).
(1)当 B≠0 时，斜率是多少？当 B＝0 时呢？(2)当系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？
解：(1)当 B≠0 时，方程可化为斜截式：即直线与 x 轴垂直，斜率不存在.(2)若方程表示通过原点的直线，则点(0,0)符合直线方程，则 C＝0.∴当 C＝0 时，方程表示通过原点的直线.已知直线方程的一般式要求斜率和在 y 轴上的截距，可将一般
式方程化为斜截式方程后求解.【变式与拓展】2.设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0，根据下列条件分别确定实数 m 的值.(1)l 在 x 轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.题型 3 直线方程的综合应用【例 3】 求与直线 3x＋4y＋8＝0 平行且过点(3，－2)的直线 l 的方程. 方法三：与直线3x＋4y＋8＝0 平行的直线方程可设为3x ＋
4y＋m＝0，因为直线 l 过点(3，－2)，所以 3×3＋4×(－2) ＋
m＝0，解得 m＝－1.故所求的直线方程为 3x＋4y－1＝0.【变式与拓展】
3.(2014 年广东江门模拟)已知点 A(1,2)，B(2,1)，则线段 AB)的垂直平分线的方程是(
A.x＋y－3＝0
C.x－y＝0
B.x－y＋1＝0
D.x＋y＝0C【例 4】 (1)已知点 A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD 是平行四边形，求点 D 的坐标；(2)已知某四边形是平行四边形，其中三点的坐标分别为A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，求第四个点 D 的坐标.易错分析：对题目意思的理解不全面 解：(1)设点 D 的坐标为(x0，y0)，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，则其对角线互相平分，
即 AC，BD 的中点重合.即点 D 的坐标为(5,6).(2)由于不知道四个点的排列情况，所以答案应该有三个：
①当四边形为 ABCD 时，同上即点 D 的坐标为(5,6)；
②当四边形为 ABDC 时，根据中点公式，有即点 D 的坐标为(1，－2)；③当四边形为 ADBC 时，根据中点公式，有即点 D 的坐标为(－3,4).[方法·规律·小结]1.五种形式的直线方程的对比.2.求与已知直线平行的直线方程的方法. 一般地，直线 Ax＋By＋C＝0 中系数 A，B 确定直线的斜率，
因此，与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋
m＝0，这是经常采用的方法.课件21张PPT。3.3.1 两条直线的交点坐标3.3 直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.了解直线上的点的坐标和直线方程之间的关系.
2.掌握用代数方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握判断两条直线位置关系的方法.4.初步了解经过两条直线交点的直线系方程的形式.1.两条直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则其交点坐标为方程组___________________的解.练习1：直线 3x＋5y－1＝0 与直线 2x＋3y－1＝0 的交点坐标是()CA.(－2,1)
C.(2，－1)B.(－3,2)
D.(2，－2)2.两条直线的位置关系
练习2：如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，)那么系数 a 的值为(B【问题探究】1.当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？该图形有什么特点？ 答案：该方程表示直线，当λ取不同的值时，方程表示不同
的直线.无论λ取何值，直线都经过点(－2,2).该点是直线 l1 ：3x
＋4y－2＝0 与直线 l2：2x＋y＋2＝0 的交点. 2.方程 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0 表示经过直线 l1：3x
＋4y－2＝0 与直线 l2：2x＋y＋2＝0 交点的直线的集合.在这个
集合中，如何确定经过点(4，－2)的直线方程？ 答案：把点(4，－2)代入方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0确定λ的值，再把λ的值代人方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0即可.题型 1 判断两直线的位置关系【例 1】 判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.思维突破：可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关系. 【变式与拓展】
1.求直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交
点坐标.
解：由直线 l1 与 l2 的方程联立方程组，得∴交点坐标为(－1,2). 题型 2 直线恒过定点问题
【例 2】 求证：不论 m 取什么实数，直线(2m－1)x＋
(m＋3)y－(m－11)＝0 都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.所以不论 m 取什么实数，直线都经过一个定点(2，－3). (1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次
幂的系数为 0，从而可求出定点.(2)分别令参数为两个特殊值，
得方程组，求出点的坐标代入原方程，若满足，则此点为定点.【变式与拓展】
2.(2014 年浙江模拟)若对任意的实数 k，直线 y－2＝k(x＋1)恒经过定点 M，则 M 的坐标是()CA.(1,2)
C.(－1,2)B.(1，－2)
D.(－1，－2) 解析：对任意的实数k，直线 y－2＝k(x＋1)恒经过定点M，
令参数 k 的系数等于零，求得 x＝－1，可得 y＝2，故点M 的
坐标为(－1,2).故选 C. 题型 3 求过两直线交点的直线方程
【例 3】 求过两直线 3x＋4y－2＝0 与 2x＋y＋2＝0 的交点
且垂直于直线 x－y＋1＝0 的直线方程.即两直线的交点为(－2,2).设所求直线的方程为 x＋y＋m＝0，
因为此直线过交点(－2,2)，所以(－2)＋2＋m＝0，所以 m＝0，
故所求的直线方程为 x＋y＝0.
用过两直线交点的直线系方程可避免求两条直
线的交点，但解题过程不一定简便；若使用与两直线垂直的直
线系方程，则要先求交点坐标.故所求的直线方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.【变式与拓展】3.已知直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求 m 的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1与l2重合.解：(1)l1与l2相交?1×3－(m－2)m≠0，
∴m2－2m－3≠0?m≠－1，且m≠3.
∴当m≠－1，且m≠3时，l1和l2相交. 【例4】 若直线 x＋a2y＋6＝0 和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0
没有公共点，求 a 的值.
易错分析：容易忽略了当 a＝0 时，直线的斜率不存在和当
两条直线重合的情况.
解：由题意可得两直线平行，当 a＝0 时，直线 x＋6＝0 和
直线－2x＝0 平行，没有公共点.当a＝－1 时，直线 x＋y＋6＝0 和－3x－3y－2＝0 平行，没有公共点；当a＝3 时，直线x＋9y＋6＝0 和x＋9y＋6＝0 重合，有无数个公共点，不满足题意，应舍去.综上所述，a 的值为 0 或－1.[方法·规律·小结]判断两条直线相交的方法.(1)两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件.(2)两直线斜率存在时，斜率不相等是两直线相交的充要条件.(3)两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件.(4)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1B2－A2B1≠0是两直线相交的充要条件.课件15张PPT。3.3.2 两点间的距离【学习目标】1.掌握在平面直角坐标系下两点间的距离公式.
2.初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题.两点间的距离公式DA.0
C.3B.6
D.0 或 6【问题探究】1.若两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在 x 轴或都在 y 轴上，则两点间的距离公式是怎样的？答案：若两点都在 x 轴上，则|AB|＝|x1－x2|；若两点都在 y轴上，则|AB|＝|y1－y2|.2. 若两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)横坐标相同或纵坐标相同，则两点间的距离公式是怎样的？答案：若两点的横坐标相同，则|AB|＝|y1－y2|；若两点的纵坐标相同，则|AB|＝|x1－x2|. 题型 1 两点间距离公式的正用
【例 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1，－1)，
B(－1,3)，C(3,0).求证：△ABC 是直角三角形.【变式与拓展】
1.已知 A(1－t,1)，B(2，t)(t∈R)，则 A，B 两点间距离的最小值是()A题型 2 两点间距离公式的逆用【例 2】 已知点 A(4,12)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13，求点 P 的坐标.(x－4)2＋144＝169，所以(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1，所
以点 P 的坐标为(9,0)或(－1,0).【变式与拓展】得x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.
故所求 x 的值为 9 或－5.题型 3 解析法的应用【例 3】 已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线，
证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2).图 3-3-1证明：如图3-3-1，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.
设点 A(a，b)，B(－c,0)，C(c,0)，由两点间距离公式，得∵|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2).【变式与拓展】 解：如图D38，过点A 作AO⊥BC，垂足为O，以O 为坐
标原点，BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立平
面直角坐标系.图 D38 3.在△ABC中，点D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法证明：△ABC为等腰三角形.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0).
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d).
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，所以－b＝c，即|OB|＝|OC|.
所以△ABC为等腰三角形.【例4】 线段 AB∥x 轴，且|AB|＝5，若点 A 的坐标为(2,1)，求点 B 的坐标.易错分析：忽视了距离是绝对值导致漏解. 解：线段AB∥x 轴，点A 的坐标为(2,1)，设点B 的坐标为
(x,1)，∵|AB|＝5，∴|x－2|＝5，解得 x＝7 或 x＝－3，故 B(7,1)或 B(－3,1)为所求.[方法·规律·小结]1.两点间的距离公式.
注意：(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也
(2)利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究.2.用坐标法解决平面几何问题的基本步骤.第一步，建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步，进行有关的代数运算；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系.课件18张PPT。3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离【学习目标】1.掌握点到直线的距离公式，了解公式的推导过程.2.掌握两条平行直线间的距离公式，体会公式推导过程中所体现的转化与化归的数学思想.1.点到直线的距离
已知点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则点P0到直线l 的距离是_______________.)B练习 1：点(0,4)到直线 y＝2x－1 的距离是(2.两条平行直线间的距离
已知直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则这两条平行直线间的距离公式是_______________.练习 2：两条平行直线 5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0 之间的距离为()C【问题探究】 1.怎样求点P0(x0，y0)到x轴的距离？到y轴的距离呢？
答案：点P0(x0，y0)到x轴的距离为d＝|y0|；到y轴的距离是d＝|x0|.
2.怎样求点P0(x0，y0)到平行于x轴的直线y＝b的距离？到与y轴平行的直线x＝a的距离呢？
答案：d＝|y0－b|；d＝|x0－a|.题型 1 点到直线的距离公式
【例 1】 求点 P(3，－2)到下列直线的距离：(2)∵直线 y＝6 平行于 x 轴，
∴d＝|6－(－2)|＝8.(3)∵直线 x＝4 平行于 y 轴，
∴d＝|4－3|＝1. 求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一
般式.对于与坐标轴平行的直线，其距离公式可直接写成 d＝
|x0－a|或 d＝|y0－b|.【变式与拓展】(C )
A.3
C.3 或－1B.2
D.2 或－1 题型 2 求两条平行直线间的距离
【例2】 求两平行线l1：3x＋4y＝12和l2：3x＋4y＝17间
的距离.
解：方法一：若在直线 l1 上任取一点 A(4,0)，则点A 到直【变式与拓展】是()CA.x－y＋9＝0
B.x－y－7＝0
C.x－y＋9＝0 或 x－y－7＝0
D.x＋y－7＝0 或 x－y＋9＝0题型 3 点到直线的距离公式的应用【例3】过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(4，5)的距离相等，求该直线的方程. 思维突破：(1)利用代数方法求解，即点到直线的距离公式
建立等式求斜率 k.(2)利用几何性质解，即 A，B 两点到直线的
距离相等，有两种情况：①直线与 AB 平行；②直线过 AB 的中
点.解：方法一：设直线的方程为 y－2＝k(x＋1)，
即 kx－y＋k＋2＝0.即 x－2y＋5＝0 或 x－y＋3＝0.方法二：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝1，
∴直线的方程 y－2＝1×(x＋1)，即 x－y＋3＝0.
当直线过 AB 的中点时，∵AB 的中点为(3,4)，
故所求直线的方程为 x－2y＋5＝0 或 x－y＋3＝0.
已知一点求直线的方程，通常会设点斜式方程，
但要注意斜率不存在的情况. 【变式与拓展】
3.(2014 年广东汕头二模)规定函数 y＝f(x)图象上的点到坐
标原点距离的最小值叫做函数 y＝f(x)的“中心距离”，给出以
下四个命题：
③若函数 y＝f(x)(x∈R)与 y＝g(x)(x∈R)的“中心距离”相
等，则函数 h(x)＝f(x)－g(x)至少有一个零点.A.①②B.②③C.①③D.①答案：D 【例4】 两平行直线l1，l2分别过点A(1,0)，B(0,5)，若l1
与 l2 的距离为 5，求这两条直线方程.易错分析：易忽略l1，l2是特殊直线的情况，导致漏解. 直线l1的方程为y＝0或5x－12y－5＝0，
直线l2的方程为y＝5或5x－12y＋60＝0.
故所求两直线方程分别为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.[方法·规律·小结]1.点到几条特殊直线的距离.(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离为d＝|x0－a|.
(2)点P(x0，y0)到直线y＝b的距离为d＝|y0－b|.2.对两平行直线间的距离公式的说明. (1)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线
的距离，也可以看作是两条直线上各取一点，求两点间的最短
距离.(2)使用此公式要注意两点：一是要把直线化成一般式，二是两直线中 x，y 的系数必须相同.课件27张PPT。章末整合提升 专题一 直线的倾斜角与斜率问题
【例1】 设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则 a，b 满足( )
A.a＋b＝1
C.a＋b＝0B.a－b＝1
D.a－b＝0思维突破：∵sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.答案：D 【互动与探究】
1.若直线 l 过点 P(－1,2)，且与以点 A(－2，－3)，B(4，0)
为端点的线段相交，则 l 的斜率的取值范围是__________________________.[5，＋∞)专题二求直线的方程 【例2】 过点 M(0,1)作直线，使它被两直线 l1：x－3y＋10
＝0，l2：2x＋y－8＝0 所截得的线段恰好被点 M 所平分，求此
直线的方程.
解：过点 M 且与 x 轴垂直的直线显然不合题意.故可设所求
的直线方程为 y＝kx＋1，与已知两直线分别交于 A，B 两点.联【互动与探究】2.已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.
(1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.(1)证明：把直线方程整理为 2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0. 即点(－3，－3)适合方程2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0，也就是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.
所以不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0必过定点(－3，－3). (2)解：设经过点(－3，－3)的直线与两坐标轴分别交于点
A(a,0)，B(0，b).即 x＋y＋6＝0.专题三直线的平行与垂直问题 对于斜截式方程，当两直线平行时，还应该注
意截距不相等. 【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解：(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2，因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，直线l2的斜率k2＝4，因为 【互动与探究】
3.已知两条直线l1：x＋my＋8＝0，l2：(m－3)x＋4y＋2m＝
0，问：当 m 为何值时，l1 与 l2 满足下列关系：
(1)相交； (2)平行；(3)重合.解：当m＝0时，l1：x＝－8，l2：3x－4y＝0，
此时l1与l2相交；专题四 距离问题【例 4】 已知点 P(2，－1)，求：(1)过点 P 与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)过点 P 与原点距离最长的直线 l 的方程并求出最大距离；
(3)是否存在过点 P 且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解：(1)过点P 的直线l 与原点距离为2，而点P 坐标为(2，
－1)，可见，过点 P(2，－1)垂直于x 轴的直线满足条件，此时
直线 l 的斜率不存在，其方程为 x＝2.
若斜率存在，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)，
即 kx－y－2k－1＝0.此时 l 的方程为 3x－4y－10＝0.
综上所述，可得直线 l 的方程为 x＝2 或 3x－4y－10＝0. (2)作图可知过点P 与原点O 距离最大的直线是过点P 且与
PO 垂直的直线，由直线方程的点斜式，得 y＋1＝2(x－2)，
即 2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0 是过点P 且与原点O 距离最大的直线，
直线，因此不存在过点 P 且到原点距离为 6 的直线.
方法二：设过点 P 到原点距离为 6 的直线的斜率存在且方
程为 y＋1＝k(x－2)，即 kx－y－2k－1＝0.即 32k2－4k＋35＝0.
因为Δ＝16－4×32×35<0，故方程无解.
所以不存在这样的直线. 【互动与探究】
4.已知直线方程为 Ax＋By＋C＝0，直线在 x 轴上的截距为
a，在 y 轴上的截距为 b，直线的斜率为 k，坐标原点到直线的距离为 p，则有()答案：D5.已知点 A(－1,0)，B(2,4)，△ABC 的面积为 10，则动点 C的轨迹方程是()A.4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋16＝0
B.4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋24＝0
C.4x－3y＋16＝0 或 4x－3y＋24＝0
D.4x－3y＋16＝0 或 4x－3y－24＝0答案：B专题五 对称问题【例 5】 (1)点(－1,2)关于原点的对称点的坐标为_______；
(2)原点关于点(－1,2)的对称点的坐标为________；(3)点(－1,2)关于点(2，－4)的对称点的坐标为__________；
(4)直线 3x－y－4＝0 关于点 P(2，－1)的对称直线的方程为________________.思维突破：(1)设所求对称点(a，b)，
则 a－1＝0，b＋2＝0，∴a＝1，b＝－2.即点(1，－2).∴c＝－2，d＝4.即点(－2,4).
(3)设所求对称点(a，b)，则 a－1＝4，b＋2＝－8，
∴a＝5，b＝－10.即点(5，－10).
(4)方法一：由于直线 l 与 3x－y－4＝0 平行，
故设直线 l 的方程为 3x－y＋b＝0，
∴b＝－10 或 b＝－4(舍去).
∴所求直线 l 的方程为 3x－y－10＝0.方法二：将 x＝0 代入 3x－y－4＝0，得 y＝－4；
将 x＝1 代入 3x－y－4＝0，得 y＝－1；
∴点 A(0，－4)，B(1，－1)都在直线 3x－y－4＝0 上，
又 A，B 关于点P 的对称点分别为A′(4,2)，B′(3，－1)，∴所求直线方程为 y－2＝3(x－4)，即 3x－y－10＝0.
答案：(1)(1，－2) (2)(－2,4) (3)(5，－10)
(4)3x－y－10＝0【互动与探究】6.(1)点 P(－3,4)关于直线 4x－y－1＝0 的对称点的坐标为__________；(2)直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：3x＋4y－1＝0 的对称直线 l2 的方程为__________.解析：(1)设所求的点 Q(a，b)，即对称点的坐标为(5,2).即 2x＋11y＋16＝0.
答案：(1)(5,2) (2)2x＋11y＋16＝07.如果直线 y＝mx＋2 和直线 y＝3x＋n 关于直线 y＝x 对称，那么()A第三章 直线与方程
3．1 直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率
1．已知点A(1，－3)，B(－1,3)，则直线AB的斜率是( )
A. B．－ C．3 D．－3
2．经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的倾斜角是( )
A．45° B．135° C．90° D．60°
3．过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
4．已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是( )
A．0°≤α＜180° B．15°＜α＜180°
C．15°≤α＜195° D．15°≤α＜180°
5．下列说法错误的是( )
A．在平面坐标系中每一条直线都有倾斜角
B．没有斜率的直线是存在的
C．每一条不垂直于x轴的直线的斜率都存在
D．斜率为tanθ的直线的倾斜角一定是θ
6．若直线y＝x的倾斜角为α，则α＝( )
A．0° B．45°
C．90° D．不存在
7．在图K3-1-1中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
图K3-1-1
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
8．已知直线的斜率k＝2，点A(3,5)，B(x,7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，x＝______，y＝______.
9．已知直线l经过点A(－m,6)，B(1,3m)，当实数m为何值时，
(1)直线l的斜率为2；
(2)直线l的倾斜角为135°.
10．已知点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
1．直线l1过点A(2,1)和点B(－1,2)，直线l2过点C(3,2)和点D(2，－1)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A．重合 B．平行
C．垂直 D．无法确定
2．若经过点P(－3，m－2)和Q(m－1,2)的直线l与x轴平行，则m＝( )
A．4 B．0
C．1或3 D．0或4
3．直线l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1，)，N(2，0)，则l1与l2的位置关系为( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
4．若经过点P(1，m－2)和Q(m－1,1)的直线l与x轴垂直，则m＝( )
A．1 B．2 C．－1 D．0
5．已知直线l1经过两点(－1,2)，(－1,4)，直线l2经过两点(0,1)，(x－2,6)，且l1∥l2，则x＝( )
A．2 B．－2 C．4 D．1
6．已知四点A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2，12)，则下面四个结论中：
①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.
正确结论的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．已知直线l1过(m,2)，(3,1)两点，直线l2过(1，m2)，(2,9)两点，且l1⊥l2，则m＝________.
8．已知直线l1过点A(1,0)，B(3，a－1)，直线l2过点M(1,2)，N(a＋2,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
9．已知点A(1,1)，B(2,2)，C(3，－3)，求点D的坐标使得直线CD⊥AB，且BC∥AD.
10．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
3.2 直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则该直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
2．过点(4，－2)，倾斜角为120°的直线方程是( )
A.x＋y＋2－4 ＝0
B.x＋3y＋6＋4 ＝0
C．x＋y－2 －4＝0
D．x＋y＋2 －4＝0
3．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )．
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
4．直线l过点(1，－2)且与直线2x－3y－1＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y＋1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
5．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线恒过定点( )．
A．(0,0) B．(3,1)
C．(1,3) D．(－1，－3)
6．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原来的位置，则直线l的斜率是________．
7．已知直线经过点A(3，－2)，斜率为－，求该直线方程．
8．已知直线l：mx＋ny＋1＝0平行于直线m：4x＋3y＋5＝0，且l在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )
A．4,3 B．－4,3
C．－4，－3 D．4，－3
9．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，求BC边上的高所在的直线的方程．
10．已知直线l在y轴上的截距为－3且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．
3.2.2 直线的两点式方程
1．在x轴上的截距是－2，在y轴的截距是2的直线的方程是( )
A．x－y＝2 B．x－y＝－2
C．x＋y＝2 D．x＋y＝－2
2．直线3x－2y＝4的截距式方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
3．过两点，的直线方程为( )
A．x＝ B．x＝2
C．x＋y＝2 D．y＝0
4．过点A(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A．x＋y＝5
B．x－y＝1
C．x＋y＝5或2x－3y＝0
D．x－y＝1或2x＋3y＝0
5．点P(1，－2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是( )
A．(3，－1) B．(1,2)
C．(5,2) D．(2，－1)
6．若三点A，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
7．过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角．
8．如果直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1006，b)在l上，那么b的值为( )
A．2011 B．2012
C．2013 D．2014
9．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点P(6，－2)，求直线l的方程．
10．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率是2，求m的值；
(2)当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
3．2.3 直线的一般式方程
1．若mx＋ny＋15＝0在x轴和y轴上的截距分别是－3和5，则m，n的值分别是( )
A．5,3 B．－5,3
C．5，－3 D．－5，－3
2．直线3x＋y＋1＝0的倾斜角大小是( )
A．30° B．60° C．120° D．135°
3．(2014年陕西宝鸡一模)已知过点A(－2，m)和点B(0，－4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
4．若直线ax＋by＋c＝0在第一、二、三象限，则( )
A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
5．斜率为－2，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是( )
A．2x＋y＋4＝0 B．2x－y＋2＝0
C．2x＋y－4＝0 D．2x－y－2＝0
6．方程y－ax－＝0表示的直线可能是图中的( )
A B C D
7．直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，求a，b的值．
8．过点(1,3)作直线l，若l经过点(a,0)，(0，b)，且a，b∈N*，则可作出这样的直线l的条数为( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．多于3条
9．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0，根据下列条件求m的值．
(1)直线l的斜率为1；
(2)直线l经过定点P(－1，－1)．
10．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距．
3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标
1．直线2x－3y＋10＝0与2x＋3y－2＝0的交点是( )
A．(－2,1) B．(－2,2)
C．(2，－1) D．(2，－2)
2．已知集合M＝{(x，y)|4x＋y＝6}，P＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则M∩P＝( )
A．(1,2) B．{1}∪{2}
C．{1,2} D．{(1,2)}
3．直线l1：x＋ay＋4＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为( )
A．－1或3 B．－3或1
C．－1 D．－3
4．若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则m的取值范围是( )
A．m＜2
B．m＞
C．m＜－
D．－＜m＜2
5．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝7,2x－y＝1相交于一点，则a的值是( )
A．－2 B．－10
C．10 D．2
6．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0
B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0
D．3x－y－5＝0
7．直线ax＋by＋16＝0与x－2y＝0平行，且过直线4x＋3y－10＝0和2x－y－10＝0的交点，则a＝________，b＝________.
8．已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.
求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点．
9．已知三条直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0，当m为何值时，三条直线不能围成三角形．
3.3.2 两点间的距离
1．两点A(1,4)，B(4,6)之间的距离为( )
A．2 B. C. D．3
2．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
3．点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点R的坐标是(3,4)，则|PQ|的长为( )
A．5 B．10 C．17 D．25
4．已知A，B的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．20 B．12 C．5 D．4
5．已知A(1,5)，B(5，－2)，在x轴上存在一点M，使|MA|＝|MB|，则点M的坐标为( )
A. B.
C. D.
6．点P在直角坐标系第一、三象限的角平分线上，它到原点的距离等于它到点Q(4 ，0)的距离，则点P的坐标是__________．
7．已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．
8．在坐标轴上，与两点A(1,5)，B(2,4)等距离的点的坐标是________________．
9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5.
10．已知点M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点．求PM2＋PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．
3．3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
1．原点到直线3x＋4y－10＝0的距离为( )
A．1 B.
C．2 D.
2．点P(－3,2)到y轴的距离是( )
A．3 B.
C．2 D．1
3．点P在直线3x＋y－5＝0上，且到直线x－y－1＝0的距离等于，则点P的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
4．在以A(2,1)，B(4,2)，C(8,5)为顶点的三角形中，BC边上的高等于( )
A. B. C. D．2
5．倾斜角是45°，并且与原点的距离是5 的直线的方程为( )
A．x－y－10＝0
B．x－y－10＝0或x－y＋10＝0
C．x－y＋5 ＝0
D．x－y＋5 ＝0或x－y－5 ＝0
6．动点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为( )
A. B．2
C. D．2
7．两平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
8．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值为__________．
9．(2014年四川成都模拟)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，求k的值．
10．在△ABC中，已知顶点A(1,1)，B(3,6)且△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程．
)．
第三章 直线与方程
3．1 直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率
1．D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D
8．4 －3
9．解：(1)直线l的斜率为2，
即k＝＝2，解得m＝8.
(2)直线l的倾斜角为135°，
即k＝tan135°＝＝－1，解得m＝.
10．解：设点P(x,0)，因为∠MPN为直角，
所以MP⊥NP，kMP＝，kNP＝，
因为MP⊥NP，所以kMP·kNP＝－1，解得x＝1或x＝6.
所以点P的坐标为(1,0)或(6,0)．
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
1．C 2.A
3．B 解析：＝，＝＝－，·＝－1.
4．B 5.A
6．C 解析：只有①④是正确的．
7．3或－2 解析：若直线l1和直线l2斜率都存在，此时m≠3，故k1·k2＝－1，∴·＝－1，∴m＝－2；若直线l1和直线l2有一条斜率不存在，则另一条直线斜率为0，此时m＝3.
8．解：(1)∵k1＝＝，
∴k2存在，且k2＝，
由于l1∥l2，∴k1＝k2，即＝，解得a＝±，
又当a＝±时，kAM≠kBM，即点A，B，M不共线．
∴a＝±符合题意．
(2)当直线l2斜率不存在时，即a＝－1时显然不符合题意，
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即·＝－1，解得a＝0.
9．解：设D(x，y)，则kCD·kAB＝－1，kBC＝kAD.
∴解得
∴D.
10．解：若∠A为直角，则AC⊥AB，
于是有kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，于是有kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，于是有kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝±2.
∴m＝－7或m＝3或m＝±2.
3．2 直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
1．D
2．A 解析：k＝tan120°，故直线的点斜式方程为y＋2＝－(x－4)，化简得x＋y＋2－4 ＝0.
3．C 4.A 5.B
6．－ 解析：设直线l的方程为y＝kx＋b，由题意，得y＝k(x＋3)＋b＋1与y＝kx＋b相同，∴3k＋1＝0，k＝－.
7．解：经过点A(3，－2)，并且斜率为－的直线方程的点斜式是y＋2＝－(x－3)，即4x＋3y－6＝0.
8．C 解析：直线mx＋ny＋1＝0可化为y＝－x－，4x＋3y＋5＝0可化为y＝－x－，由于l∥m，l在y轴上的截距为，所以即
9．解：kBC＝＝1，因此BC边上的高所在的直线的斜率为－1，直线方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
10．解：由已知得直线l的斜率存在，且不等于零．
设直线l的方程：y＝kx－3.
当y＝0时，x＝.
所以··3＝6，解得k＝±.
故所求直线方程为y＝±x－3.
3．2.2 直线的两点式方程
1．B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.2
7．解：设A，B两点的坐标分别为(a,0)和(0，b)．
∵AB的中点坐标为(－1，－1)，
∴
解得∴kAB＝＝－1为直线l的斜率，直线l的倾斜角为135°.
8．C 解析：由题意，可得直线l的方程为＝，整理，得y＝2x＋1，把x＝1006代入，得b＝2013.
9．解：方法一：设直线方程为y＋2＝k(x－6)，
即y＝kx－6k－2，故直线在y轴上的截距为－6k－2，
令y＝0，直线在x轴上的截距为x＝.
则有－＝1，
解得k＝－或k＝－.
故直线l的方程为y＋2＝－(x－6)或y＋2＝－(x－6)．
方法二：设直线方程为y＝kx＋b，即直线在y轴上的截距为b，因为直线过定点P(6， －2)，故有－2＝b＋6k，
令y＝0，直线在x轴上的截距为x＝－，
则有－－b＝1，解得或
故直线l的方程为y＝－x＋2或y＝－x＋1；
方法三：设直线方程为＋＝1，
因为直线过定点P(6，－2)，故有＋＝1，
解得b＝1或b＝2，
即直线l方程为＋＝1或＋y＝1.
10．解：(1)直线l过点(m,0)，(0,4－m)，
则＝2，即m＝－4.
(2)由m＞0,4－m>0，得0＜m＜4，
则S＝＝.
当m＝2时，S有最大值，
故直线l的方程为x＋y－2＝0.
3．2.3 直线的一般式方程
1．C 2.C 3.B 4.D 5.C
6．B 解析：斜率为a，y轴截距为中都含同一个字母a，且a≠0.将方程变形为y＝ax＋，则a为直线的斜率，为直线在y轴上的截距．因为a≠0，所以a＞0或a＜0.当a＞0时，四个图形都不可能是方程的直线；当a＜0时，图形B是方程的直线．
7．解：由＋＝1，化得y＝－x＋b＝－2x＋b，
又可化得bx＋ay－ab＝bx＋ay－8＝0，则＝2且ab＝8，解得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
8．B 解析：根据题意设直线方程为＋＝1.∴＋＝1.∴b＝＝＋(a≥2，且a∈N*)＝3＋，∴a－1必为3的正约数．当a－1＝1时，b＝6；若a－1＝3时，b＝4.所以这样的直线有2条．
9．解：(1)直线l的斜率为－＝1，整理得
＝0，即＝0，解得m＝.
(2)由题意，得(m2－2m－3)·(－1)＋(2m2＋m－1)·(－1)－2m＋6＝0，即3m2＋m－10＝0，
解得m＝－2或m＝.
10．解：∵直线在x轴上的截距为3，
∴直线过点(3,0)．把x＝3，y＝0代入直线的方程，得
3(a＋2)－2a＝0，解得a＝－6.
∴直线的方程为－4x＋45y＋12＝0.
令x＝0，得y＝－，∴直线在y轴上的截距为－.
3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标
1．B 2.D 3.A
4．D 解析：解方程组得由题意，得＞0且＜0，∴－＜m＜2.
5．B 6.B
7．－2 4 解析：ax＋by＋16＝0与x－2y＝0平行，则b＝－2a ①.又直线过4x＋3y－10＝0与2x－y－10＝0的交点(4，－2)，代入ax＋by＋16＝0得4a－2b＋16＝0 ②.联立①②，得a＝－2，b＝4.
8．证明：把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.
解方程组得
即点(－1，－2)适合方程2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，也就是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.
所以不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0必过定点(－1，－2)．
9．解：当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能构成三角形．三条直线共点时，
由得，
即l2与l3的交点为，
代入l1的方程，得到4×＋7×－4＝0，
解得m＝或m＝2.
至少有两条直线平行时，
①当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝.
②当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝.
③当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝±.
∴m取集合中的元素时，
三条直线不能构成三角形．
3．3.2 两点间的距离
1．B 2.C 3.B
4．C 解析：点A关于x轴的对称点为A′(1，－1)．
∵|PA|＋|PB|的最小值为BA′的长，
∴＝5，
即|PA|＋|PB|的最小值为5.
5．B 解析：设M(x,0)，根据题意，得(x－1)2＋52＝(x－5)2＋[0－(－2)]2，解得x＝.故点M的坐标为.
6．(2 ，2 ) 解析：设P(x，x)，
∵|PO|＝|PQ|，
∴＝.
故x＝2 ，即点P的坐标是(2 ，2 )．
7．解：设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10，得
＝10，
解得x＝11或x＝－5.
所以点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．
8．(－3,0)，(0,3)
9．解：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P(a,2a)，根据两点的距离公式，得|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝.
∴点P的坐标为(2,4)或.
10．解：点P为直线2x－y－1＝0上的点，
∴设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式，得
PM2＋PN2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4，m∈R.
又∵10m2－8m＋4＝102＋≥，
∴当m＝时，PM2＋PN2有最小值为.
∴点P的坐标为.
3．3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
1．C 2.A
3．C 解析：设点P(a,5－3a)，d＝＝.故|4a－6|＝2?4a－6＝±2?a＝2或a＝1.
4．A 5.B 6.D
7．10 解析：由两直线平行知a＝8，由两平行线距离公式得d＝2，∴a＋d＝10.
8．2 解析：式子的最小值的几何意义为直线x＋y＋1＝0上的点到点(－2，－3)的最短距离，由点到直线的距离公式为＝2 .
9．解：因为圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
配方可得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆的圆心为C(－1,1)，半径r＝1，
直线kx＋y＋4＝0可化为y＝－kx－4，恒过定点B(0，－4)，
当直线与BC垂直时，圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大，
由斜率公式，可得BC的斜率为＝－5，
由垂直关系可得：－k×(－5)＝－1，解得k＝－.
10．解：设顶点C的坐标为(x，y)，作CH⊥AB于点H，
∵kAB＝＝，
∴直线AB的方程是y－1＝(x－1)，即5x－2y－3＝0.
∴|CH|＝＝.
∵|AB|＝＝，
∴××＝3.
化简，得|5x－2y－3|＝6，即5x－2y－9＝0或5x－2y＋3＝0，即为所求顶点C的轨迹方程．
第三章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．若直线x＝2015的倾斜角为α，则α( )
A．等于0° B．等于180°
C．等于90° D．不存在
2．点(0,5)到直线y＝2x的距离为( )
A．1 B.
C．2 D．2
3．一直线过点(0,3)，(－3,0)，则此直线的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．－45° D．－135°
4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
5．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
6．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1}，B＝{(x，y)|y＝2x－1}，则A∩B＝( )
A．? B．(2,3)
C．{(2,3)} D．R
7．已知A(－2,2)，B(2，－2)，C(8,4)，D(4,8)，则下面四个结论：
①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC＝BD；④AC⊥BD.
其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B .－1
C．－2或－1 D．－2或1
9．已知点A(－3,8)，B(2,2)，点P是x轴上的点，则当|AP|＋|PB|最小时点P的坐标是( )
A．(1,0) B.
C. D.
10．已知直线mx＋4y－2＝0和2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值是( )
A．24 B．20 C．0 D．－4
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
12．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．
13．经过点(－5,2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________________．
14．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程是__________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)根据下列条件，求直线方程：
经过点A(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直．
16．(12分)已知在Rt△ABC中，∠B为直角，AB＝a，BC＝b.建立适当的坐标系．证明：斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．
17．(14分)求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点．
18．(14分)在直线l：3x－y－1＝0上存在一点P，使得：P到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小．求此时的距离之和．
19．(14分)光线从点Q(2,0)发出，射到直线l：x＋y＝4上的点E，经l反射到y轴上的点F，再经y轴反射又回到点Q，求直线EF的方程．
20．(14分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图3-1所示)．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
(2)当－2＋≤k≤0时，求折痕长的最大值.
图3-1
第三章自主检测
1．C 2.B 3.A 4.A 5.B
6．C 解析：解方程组可得交点(2,3)，A∩B＝{(2,3)}，
7．B 8.D
9．A 解析：作B(2,2)关于x轴的对称点B1(2，－2)，连接AB1交x轴于P，点P即为所求．由直线AB1的方程：＝，得2x＋y－2＝0.令y＝0，则x＝1.则点P的坐标为(1,0)．
10．B
11. 12.x＋2y－3＝0
13．y＝－x或x＋y＋3＝0
14．4x＋3y－6＝0 解析：方法一：解方程组得交点P(0,2)．∵直线l3的斜率为，∴直线l的斜率为－.∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)，即4x＋3y－6＝0.
方法二：设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0.由该直线的斜率为－，求得λ的值11，即可以得到l的方程为4x＋3y－6＝0.
15．x－2y－3＝0
16．证明：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图D66，三个顶点坐标分别为A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)，
图D66
由中点坐标公式，得斜边AC的中点M的坐标为.
∵|MA|＝＝，
|MB|＝＝，
|MC|＝＝，
∴|MA|＝|MB|＝|MC|.
17．证法一：取m＝1，得直线方程y＝－4；
再取m＝，得直线方程x＝9.
从而得两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，有9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，
即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上．
故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，
∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.
则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点．
由方程组解得即过(9，－4)．
∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5通过定点(9，－4)．
证法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，
∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5.
由m为任意实数，知：关于m的一元一次方程m(x＋2y－1)＝x＋y－5的解集为R，
∴解得
∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．
18．解：设点B关于直线3x－y－1＝0的对称点为B′(a，b)，如图D67，
图D67
则＝－，且3·－－1＝0.
解得a＝，b＝，∴B′.
当＋最小时，
＋＝＝＝.
19．解：设Q关于y轴的对称点为Q1，则Q1的坐标为(－2,0)．
设Q关于直线l的对称点为Q2(m，n)，则QQ2中点为G，点G在直线l上．
∴＋＝4， ①
又∵QQ2⊥l，∴＝1. ②
由①②，得Q2(4,2)．
由物理学知识可知，点Q1，Q2在直线EF上，
∴kEF＝kQ1Q2＝.
∴直线EF的方程为y＝(x＋2)，即x－3y＋2＝0.
20．解：(1) ①当k＝0时，此时点A与点D重合， 折痕所在的直线方程y＝.
②当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为G(a,1)，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，
有kOG·k＝－1?·k＝－1?a＝－k，
故点G坐标为G(－k,1)，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M，
折痕所在的直线方程y－＝k，即y＝kx＋＋.
由①②，得折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.
(2)当k＝0时，折痕的长为2；
当－2＋≤k<0时，折痕直线交BC于点M，交y轴于点N，
∵|MN|2＝22＋2＝4＋4k2≤4＋4×(7－4 )＝32－16 ，
∴折痕长度的最大值为＝2(－)．
而2(－)>2 ，故折痕长度的最大值为2(－)．
