课件17张PPT。第四章圆与方程 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程【学习目标】1.初步理解圆的标准方程的定义.2.掌握用坐标法求圆的标准方程的过程.3.掌握圆的标准方程的形式，能通过圆的标准方程确定圆心的位置和半径的大小.4.会用待定系数法求圆的标准方程.1.圆的标准方程
已知圆心是C(a，b)，半径是r，则圆的标准方程是______________________.D(x－a)2＋(y－b)2＝r2 2.平面内的点与圆的位置关系
设点 P 到圆心的距离是 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置
有如下表所示的对应关系.练习2：点P(1,3)与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )A.点在圆外
C.点在圆上B.点在圆内
D.不确定d>rd＝rd
答案：待定系数法.一般步骤为：①根据题意，设所求的圆
的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②根据已知条件，建立关于
a，b，r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，
整理后即为所求.题型 1 求圆的标准方程【例 1】 根据下列条件求圆的标准方程：
(1)圆心在 A(－4，－3)，半径长为 ；
(2)圆心在 A(－2,6)，且过点(6,0)；(3)已知两点 A(4,9)，B(6,3)，以 AB 为直径.思维突破：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径.解：(1)(x＋4)2＋(y＋3)2＝5.
(2)因为r2＝(－2－6)2＋(6－0)2＝100，
所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝100.
(3)圆心为AB的中点(5,6)，所以圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.【变式与拓展】
1. 圆心在 y 轴上，半径为 1 ，且过点(1,2) 的圆的方程为_______________.x2＋(y－2)2＝1题型 2 点与圆的位置关系 【例2】 已知两点 P(－5,6)和 Q(5，－4)，求以 P，Q 为直
径端点的圆的标准方程，并判断点 A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在
圆上，在圆内，还是在圆外. 判断点与圆的位置关系，一般用点到圆心的距离
d 与圆的半径 r 作比较，也可用圆的标准方程来判定.【变式与拓展】2.写出以点 A(2，－3)为圆心，5 为半径的圆的标准方程，并判断点 M(5，－7)，N(2，－1)与该圆的位置关系. 题型 3 待定系数法求圆的标准方程
【例 3】 求下列条件所决定的圆的方程：
(1)已知圆 C 过两点 A(5,1)，B(1,3)，圆心在 x 轴上；
(2)经过三点 A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2).
解：(1)设所求圆的圆心为 C(a,0)，则圆的方程为(x－a)2＋
y2＝r2.∴所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝10.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，其方法和步骤如下：①根据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②根据已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组；
③解方程组，求出 a，b，r 的值，即可得圆的方程. 【变式与拓展】
3.求过两点 A(1,4)与 B(3,2)，且圆心在直线 y＝0 上的圆的
标准方程.表示什么曲线？ 易错分析：没有考虑变量x，y 的取值范围.当式子中含有偶
次方根时，要注意根式的取值大于或等于零的隐含条件.
解：不等价.前者表示圆 x2＋y2＝4，后者表示圆x2＋y2＝4的上半部分.[方法·规律·小结] 已知△ABC 的三个顶点坐标，求△ABC 外接圆的方法.
方法一：待定系数法，即先设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2(r>0)，再代入三个顶点坐标，得到关于 a，b，r 的方
程组，求解方程组即可. 方法二：利用三角形外接圆的圆心是三条边的垂直平分线
的交点性质，可先求出两条边的中垂线的交点坐标，即得到圆
心坐标，再求出半径即可.课件19张PPT。4.1.2 圆的一般方程【学习目标】1.会判断一个二元二次方程是不是圆的一般方程.
2.正确理解圆的一般方程及其特点.
3.会用待定系数法求圆的一般方程.4.能进行圆的一般方程与标准方程的互化.圆的一般方程D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F>0练习：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为__________，半径为________.(2，－3) 【问题探究】
方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆吗？
提示：不表示圆.方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示
圆，而表示点(1，－2).题型 1 将圆的一般方程化为标准方程【例 1】 将圆的一般方程 x2＋y2－4x＝0 化为标准方程，并写出圆心坐标和半径.思维突破：把圆的一般方程化为标准方程时常采用配方法.
解：x2＋y2－4x＝0配方后为(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心为(2,0)，半径 r＝2.【变式与拓展】1.将圆的方程x2＋y2＋2ay－1＝0化为标准方程并写出圆心坐标和半径.题型 2 求圆的方程【例 2】 已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程. 思维突破：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，
如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径. ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：线段 AB 的中垂线方程为 2x＋y＋4＝0.
它与直线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)即为圆心，
由两点间距离公式，得 r2＝10，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定
参数”是解题的基本方法. 【变式与拓展】
2.求过点 A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程.题型 3 求与圆有关的动点轨迹方程 【例 3】 等腰三角形的顶点是 A(4,2) ，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.解：设另一端点 C 的坐标为(x，y).依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，
整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
又因为 A，B，C 为三角形的三个顶点， 所以 A，B，C 三点不共线.即点 B，C 不能重合且B，C 不
能为圆 A 的直径的两个端点.
因为点 B，C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5).
又因为点 B，C 不能为圆 A 的直径的两个端点， 故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10[除去点(3,5)和
(5，－1)].和(5，－1)两点.图 4-1-1(1)求曲线的轨迹方程的注意事项.①根据题目的条件，选用适当的求轨迹的方法；②要看准是求轨迹还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表达的曲线(图形)；③验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点.(2)求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. ③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上另一动点Q(x1，y1)
的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代
入已知圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程. 【变式与拓展】
3.已知定点 A(4,0)，点 P 是圆 x2＋y2＝4 上一动点，点 Q 是
AP 的中点，求点 Q 的轨迹方程.
解：设点Q 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x′，y′)，则又点P在圆x2＋y2＝4上，∴(x′)2＋(y′)2＝4.
将x′＝2x－4，y′＝2y代入得
(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.【例4】 当m为何值时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆. 易错分析：对二元二次方程表示圆的条件理解不全面.A＝B
是Ax2＋By2＋F＝0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要综上所述，m＝－3 即为所求.解：∵方程表示一个圆，故2m2＋m－1＝m2－m＋2，
即m2＋2m－3＝0.故m＝1或m＝－3.
当m＝1时，原方程可化为2x2＋2y2＝－3，不合题意；[方法·规律·小结] 1.如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般
形式.圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三
个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍是待定系数
法.2.特殊条件的圆的方程的求解方法.课件23张PPT。4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【学习目标】1.掌握直线与圆的三种位置关系的特点.
2.会用代数方法判断直线和圆的位置关系.
3.会用几何方法判断直线和圆的位置关系.1.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断210<＝>>＝<练习1 ：直线 x －y ＋1 ＝0 与圆 x2 ＋y2 ＝2 的位置关系是__________.相交 2.圆的切线方程
求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关
系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线.
D【问题探究】1.过圆内一点(非圆心)作圆的弦，何时最长？何时最短？
提示：弦过圆心时成为直径是最长的弦，垂直于该点与圆心连线的弦是最短的弦.2.过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程是什么？
答案：x0x＋y0y＝r2.题型 1 直线与圆位置关系的判定【例1】 当 k 为何值时，直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2＋y2＝1：(1)相交？(2)相切？(3)相离？思维突破：判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法，使用时以几何法为主.【变式与拓展】
1.求实数b的取值范围，使直线y＝x＋b和圆x2＋y2＝2：
(1)相交；(2)相切；(3)相离.
得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝－4(b2－4).
①当Δ>0，即－2②当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切.
③当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离.题型 2 求圆的切线方程【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程. 思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：
①设切线斜率，用判别式法；②设切线斜率，用圆心到直线的
距离等于半径法；③设切点坐标，用切线公式法.解：方法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y＋7＝k(x－1)，即 y＝k(x－1)－7.将方程代入圆方程，得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，
整理，得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.【变式与拓展】2.求由下列条件所决定的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(2)经过点 Q(3,0)；
(3)斜率为－1.(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b.
代入圆的方程，整理，得2x2－2bx＋b2－4＝0.
∵直线与圆相切，∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0. 题型 3 弦长问题
【例3】 求直线l：2x－y－1＝0被圆C：x2＋y2－2y－1＝
0 截得的弦长.【变式与拓展】
3.(2013年山东)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________.【例4】 求过点A(3，－3)且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的直线 l 的方程.易错分析：位置考虑不全面.直线的点斜式方程只有在斜率存在时才能用，对斜率不存在的情形要单独考虑.解：当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l 方程为 y＋3＝k(x－3)?kx－y－3(k＋1)＝0，所以直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0.
当直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，
故直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0 或 x＝3.[方法·规律·小结]
1.求直线被圆截得的弦长的方法为：
(1)应用圆中直角三角形：半径 r，圆心到直线的距离 d，弦2.求切线方程.主要有以下几种题型： (1)已知切线的斜率，求圆的切线方程.这种切线，一般都有
两条.设切线方程为 y＝kx＋b，然后利用圆心到切线的距离等于
半径求出 b. (2)已知切点，求圆的切线方程.过圆上一点作圆的切线有且
只有一条.常用的方法：求出圆心与切点连线的斜率，然后根据
垂直关系求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线的方程.课件24张PPT。4.2.2 圆与圆的位置关系【学习目标】1.了解圆与圆之间的五种位置关系.
2.会判断圆与圆的位置关系.圆与圆位置关系的判定(1)几何方法：设两圆半径分别为 r1，r2，圆心距离为 d，则两圆的位置关系如下表所示：d>r1＋r2 r1＋r2(续表)|r2－r1|0方程组有两组不同的实数解?两圆________；
有________实数解?两圆相切；无实数解?两圆外离或内含.相交一组练习1：设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16的位置关系不可能是()Dx－2y＋6＝0A.相切
C.内含和内切B.相交
D.外切和外离 练习2：两圆x2＋y2＋4x－4y＝0，x2＋y2＋2x－12＝0相
于 P，Q 两点，则直线 PQ 的方程是____________.【问题探究】 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋
E2y＋F2＝0.若两圆相交，则经过两圆交点的弦所在的直线方程
是什么？答案：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.题型 1 判断圆与圆的位置关系【例 1】 判断下列两个圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(2)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. 解：(1)把圆C1和C2的方程化成标准方程，得C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64，
所以两圆的圆心分别为C1(2,3)，C2(－6，－3)，半径分别为r1＝2，r2＝8.故|C1C2|＝r1＋r2，所以两圆外切. (2)把圆C1和C2的方程化成标准方程，得C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，
所以两圆的圆心分别为C1(－1,1)，C2(2,3)，半径分别为r1＝2，r2＝4.又因为r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|C1C2|所以两圆相交. 【变式与拓展】
1.已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，
试判断两圆的位置关系. 题型 2 两圆相交弦问题
【例2】 求圆x2＋y2－4＝0与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0
的公共弦的长.
思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为
简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解.
解：方法一：由题意，列出方程组把 y＝x＋2 代入 x2＋y2－4＝0， 涉及圆的弦长问题，通常考虑由半径r、圆心到
直线的距离 d、弦长的一半构成的直角三角形求解，即公共弦
长为 【变式与拓展】
2.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋
2y－40＝0 相交于 A，B 两点，求公共弦 AB 的长.
解：方法一：由两圆的方程相减得到的方程即为公共弦 AB
所在的直线方程，即为 4x＋3y＝10.∴两圆交点的坐标分别是 A(－2,6)，B(4，－2). 题型 3 圆系方程的应用
【例3】 求经过两圆x2＋y2＋4x－3＝0和x2＋y2－4y－3
＝0 的交点，并且圆心在直线 2x－y－4＝0 上的圆的方程.
思维突破：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设
出，其中待定系数可依据圆心在已知直线上求得. 求经过两圆交点的圆可考虑圆系方程，但要注
意λ≠－1.另外由于圆系中不包括圆x2＋y2－4y－3＝0，故应检
验圆x2＋y2－4y－3＝0是否也满足题中条件，即圆心是否在直
线 2x－y－4＝0 上. 【变式与拓展】
3.求圆心在直线 x＋y＝0 上，且过两圆 x2＋y2－2x＋10y－
24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 的交点的圆的方程. 【例4】 集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}和B＝{(x，y)|(x－3)2
＋(y－4)2＝r2}，其中 r＞0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则
r 的值是________. 易错分析：两圆有且只有一个公共点时，忘掉分内切和外
切两种情形处理而漏解.在解决有关两个圆只有一个公共点和
没有公共点的相关问题时，要注意分内切、外切和内含、外离
解决，否则有可能会漏解.答案：3 或 7[方法·规律·小结] 1.判断两个圆的位置关系常用两圆圆心距d与两圆半径的和、差比较大小.d＝R＋r时，两圆外切；d＝|R－r|时，两圆内切；0R＋r时，两圆外离； |R－r|若两圆相切，则方程②就是它们的公切线方程. 2.过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). ①
方程①是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
当λ＝－1时，①式变为一条直线：
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. ②课件21张PPT。4.2.3 直线与圆的方程的应用【学习目标】1.正确理解直线与圆的概念，并能解决简单的实际问题.
2.能由直线与圆的位置关系解决简单的实际问题. 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立适当的______________，用坐标和方程表示问题中
的__________，将平面几何问题转化为___________；
(2)通过代数运算，解决____________；
(3)把代数运算结果____________________.
练习：(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示圆心为________，半径为______的圆.平面直角坐标系几何元素代数问题代数问题翻译成几何结论(a，b)|r| 【问题探究】
用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？
答案：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代
数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面
直角坐标系.题型 1 直线与圆方程的实际应用 【例 1】 某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正东
300 km 处，以 40 km/h 的速度向西偏北 30°方向移动，据测定，
距台风中心 250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推
算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到分钟). 思维突破：注意到受台风影响的范围是一个圆，受台风影
响的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定，故只
要建立适当的坐标系，求出风向及圆形区域的圆的方程，然后
利用弦长公式即可解决.
解：如图 D39，以该市所在位置 A 为原点，正东方向为 x
轴的正方向建立平面直角坐标系，开始时台风中心在 B(300，0)
处，台风中心沿倾斜角为 150°方向直线移动，其轨迹方程为 图 D39
该市受台风影响时，台风中心在圆 x2＋y2＝2502 内，设射
线与圆交于 C，D，则|CA|＝|AD|＝250，所以台风中心到达 C
点时，开始影响该市，中心移至 D 点时，影响结束，作 AH⊥【变式与拓展】 1.已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路
中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7 m，高为 2.5 m 的货车能不能驶
入这个隧道？假设货车的最大宽度为 a m，那么要正常驶入该
隧道，货车的最大高度为多少米？图 D41题型 2 直线与圆的方程在平面几何中的应用 【例 2】 如图 4-2-1，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作一圆
C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于 E，F，且 EF
与 CD 相交于 H.求证：EF 平分 CD.图 4-2-1 证明：以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角图 4-2-2∴圆 O：x2＋y2＝r2，两方程作差得直线 EF 的方程为∴EF 平分 CD.【变式与拓展】 2.如图 4-2-3，Rt△ABC 的斜边长为定值 2m，以斜边的中
点 O 为圆心作半径为 n 的圆，BC 的延长线交圆于 P，Q 两点，
求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2 为定值.图 4-2-3 证明：如图 D42，以 O 为坐标原点，以直线 BC 为 x 轴，
建立平面直角坐标系,于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).图 D42设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上.
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值). 题型 3 最值问题
【例3】 若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求z＝2x＋y的
最大值和最小值.
解：(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以(1，－2)为圆心，半径为2
的圆.由 z＝2x＋y，得 y＝－2x＋z，
当直线和圆相切时，z 取得最大值和最小值.当直线与圆相【变式与拓展】个公共点，求 b 的取值范围. 易错分析：没考虑到变量的取值范围.利用数形结合解决最
值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，
看成是某个几何量的大小，把问题转化为求此几何量的最值问图D40[方法·规律·小结] 1.采用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆
的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜
率、截距、距离等来求解. 2.利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题
转化为代数中“数”的问题.适当建系时，通常取定直线为坐标
轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设
坐标，很多实际问题也可采用这种方法转化.课件16张PPT。4.3.1 空间直角坐标系4.3 空间直角坐标系【学习目标】1.了解空间直角坐标系的建立过程和相关概念.
2.会用空间直角坐标系表示空间中的点的坐标. 1.空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，O 叫做_________ ，x ，y ，z 统称为
________.由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；所确立的空间坐
标系是_______________，即伸开右手，拇指指向 x 轴正方向，
食指指向 y 轴正方向，中指指向 z 轴正方向.坐标原点坐标轴右手直角坐标系2.空间点的对称(－x，－y，－z)(x，－y，－z)在空间直角坐标系中，已知点 P(x，y，z)，则(1)关于原点的对称点是________________.
(2)关于 x 轴的对称点是________________.
(3)关于 y 轴的对称点是________________.(－x，y，－z)(4)关于 z 轴的对称点是__________________.
(5)关于 xOy 坐标平面的对称点是__________________.
(6)关于 yOz 坐标平面的对称点是__________________.
(7)关于 zOx 坐标平面的对称点是__________________.
记忆方法：“关于谁对称则谁不变，其余相反”.(－x，－y，z)(x，y，－z)(－x，y，z)(x，－y，z)练习1：已知点 A(3，－1,4)，则点 A 关于原点的对称点坐标为()CCA.(－3，－1，－4)
C.(－3,1，－4)B.(－4,1，－3)
D.(4，－1,3)练习2：点 P(3，－2，－1)关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标为()A.(－3，－2,1)
C.(－3，－2，－1)B.(－3,2，－1)
D.(－3,2,1)练习3：已知点 A(－3，－1,4)，则 A 关于 x 轴的对称点的坐标为()AA.(－3,1，－4)
C.(3，－1，－4)B.(3，－1，－4)
D.(－3，－1,4)【问题探究】设 z 为任意实数，则相应的所有点 P(－1,3，z)的集合是什么图形？ 答案：因为 z 为任意实数，所以点 P 对应的所有点的横、
纵坐标相等，竖坐标任意，因此这些点都在过点(－1,3,0)且与
坐标平面 xOy 面垂直的直线上.题型 1 建立空间直角坐标系并写出相应点的坐标 【例 1】 已知正四棱锥 P - ABCD 的底面边长为 4，侧棱长
为 10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
思维突破：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的性质，建立适当的空间直角坐标系.解：∵正四棱锥 P -ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10， 以正四棱锥的底面中心为原点，以垂直于 AB，BC 所在的
直线分别为 x 轴，y 轴，建立如图 D43 所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为图 D43 确定空间定点M的坐标的步骤：①过点M分别作垂直于x轴，y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P，Q和R.②确定点P，Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标x，y和z.③得出点M的坐标(x，y，z). 【变式与拓展】
1.如图4-3-1，在长方体ABCD - A1B1C1D1中建立空间直角坐标
系，已知|AB|＝3，|BC|＝5，|AA1|＝4，写出下列各点的坐标：
B__________，
C__________，
A1__________，
B1__________，图 4-3-1C1__________，
D1__________.(3,0,0)(3,5,0)(0,0,4)(3,0,4)(3,5,4)(0,5,4)题型 2 空间中的点的对称问题【例2】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－4,3,5)，求点 P关于各坐标轴及坐标平面的对称点.解：点 P 关于原点的对称点是(4，－3，－5)；
点 P 关于 x 轴的对称点是(－4，－3，－5)；
点 P 关于 y 轴的对称点是(4,3，－5)；
点 P 关于 z 轴的对称点是(4，－3,5)；点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点是(－4,3，－5)；
点 P 关于 yOz 坐标平面的对称点是(4,3,5)；
点 P 关于 zOx 坐标平面的对称点是(－4，－3,5). 记忆方法：“关于谁对称则谁不变，其余相
反”.如：关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变
为原来的相反数；关于xOy 坐标平面对称的点，横、纵坐标不
变，竖坐标变为原来的相反数.【变式与拓展】)B2.点 M(－3,4,2)关于平面 yOz 对称的点的坐标是(
A.(－3，－4,2)
B.(3,4,2)
C.(3,4，－2)
D.(－3，－4，－2) 3.分别求点 M(2，－3,1)关于 xOy 平面、y 轴和原点的对称
点.
解：点 M 关于 xOy 平面的对称点是(2，－3，－1)，关于 y
轴的对称点是(－2，－3，－1)，关于原点的对称点是(－2,3，－1).【例 3】 点(1，u，v)的集合(其中 u，v∈R)是()A.一个点
C.一个平面B.一条直线
D.都不对 易错分析：没有注意到变量与常数的区别.在空间直角坐标
系中判断点的集合所表示的图形，要根据点的横、纵、竖坐标
的意义.
解析：条件中 u，v∈R，纵、竖坐标都是变量，故集合表
示过点(1,0,0)且与 x 轴垂直的平面.
答案：C[方法·规律·小结]
卦限. 三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限.
在坐标平面 xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个象限的，称
为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在下方的卦限称为Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ
卦限.各卦限的符号为：课件13张PPT。4.3.2 空间两点间的距离公式【学习目标】1.掌握空间中两点间的距离公式.2.会用空间中两点间的距离公式解决有关问题.1.空间两点的距离公式
空间两点的距离公式：设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝_____________________________.练习 1：已知在空间直角坐标系中，点 A(2,2,2)，B(－2，－2，－2)，则线段 AB 的长|AB|＝()A2.中点坐标公式
设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点M的坐标是_________________________.练习 2：已知点 A(－1,4,2)，B(3,2,0)，则线段 AB 的中点坐标是__________.(1,3,1)【问题探究】在空间直角坐标系中，到两定点距离相等的点的轨迹是直线吗？答案：不是.是两点间连线的中垂面.题型 1 两点间的距离公式【例 1】 已知两点 P(1,1,1)与 Q(4,3,1).
(1)求 P，Q 之间的距离；(2)求 y 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|.【变式与拓展】
1.已知点 A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()CA.等腰三角形
C.直角三角形B.等边三角形
D.等腰直角三角形∴△ABC 为直角三角形.∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，2.求到两定点 A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件.解：设点 P(x，y，z)为满足条件的任一点，∴6x－4y－13＝0 为所求点所满足的条件.∵|PA |＝|PB|，题型 2 空间两点间距离公式的应用【例 2】 在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定一点 M，使点 M 到点 N(6,5,1)的距离最小.解：由已知，可设点 M(x,1－x,0)，【变式与拓展】
3.已知点 A(2，m，m)，B(1－m,1－m，m)，求|AB|的最小值.【例 4】 给定空间直角坐标系，在 x 轴上找一点 P，使它∴(x－4)2＝25，解得 x＝9 或 x＝－1.
∴点 P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0).解：设点 P 的坐标是(x,0,0)，[方法·规律·小结]几种特殊的距离问题.若空间中 P 的坐标为(x，y，z)： (1)点 P(x，y，z)到坐标平面 xOy 的距离为|z|；点 P(x，y，z)
到坐标平面 xOz 的距离为|y|；点 P(x，y，z)到坐标平面 yOz 的
距离为|x|.课件28张PPT。章末整合提升专题一直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有三种：相离，相交和相切.
判定直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
的位置关系的方法：
(1)几何法：圆心到直线 l 的距离为 d，
反之，可根据直线与圆的位置关系得到直线或圆的方程及
相关性质. (2)定点 P(x0，y0)在圆外：需采用求轨迹方程的方法求切线
方程，注意不要遗漏斜率不存在的切线方程. 思维突破：直线与圆有公共点可以是相切或相交，通过数
形结合可求出直线的截距的取值范围.答案：D 【例 2】 已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交
点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，则圆 C 的方程为_______.
思维突破：∵令 y＝0，得 x＝－1，
∴直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点为(－1,0).
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝2【互动与探究】)A线方程的是(
A.x＝0
C.x＝y B.y＝0
D.x＝－y2.已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：解析：由题意，设所求的直线方程为 x＋y＋m＝0，设圆心－1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a＝3，故圆心坐标
为(3,0)，又圆心(3,0)在所求直线上，所以有 3＋0＋m＝0，即m
＝－3，故所求直线方程为 x＋y－3＝0.直的直线的方程为____________.x＋y－3＝0专题二 弦长问题计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及圆半径构成直角三角形计算. 【例3】 已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－
3＝0 相交于 P，Q 两点，若 OP⊥OQ，求 m 的值. 求解本题时，应避免去求 P，Q 两点的坐标的
具体数值.除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，因为
在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被忽略.【互动与探究】A专题三与圆有关的轨迹问题 【例 4】 已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8，0)
的距离的一半，求：
(1)动点 M 的轨迹方程；
(2)若点 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹.
解：(1)设动点 M(x，y)为轨迹上的任意一点，则点 M 的轨由两点距离公式， 平方后再整理，得 x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点 M 的
轨迹方程.(2)设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标为(x1，y1).
由于 A(2,0)，且 N 为线段 AM 的中点，由(1)知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心，以 2 为半径的圆.【互动与探究】4.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；
(2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l的方程.专题四坐标法在生活中的应用 坐标法贯穿解析几何的始终，通过平面直角坐标系，研究
直线和圆的有关问题；通过建立空间直角坐标系，刻画点在空
间的位置，研究两点间的距离等问题.总之通过建立坐标系，把
点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问
题，优化思维的过程. 【例 5】 已知一个圆形的公园，其半径为 2 km，有两个村
庄 A 和 B，其中村庄 A 在公园的正东方向 4 km 处，村庄 B 在对于公园的中心位置).现在要修一条连接村庄 A 和村庄 B 的公
路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：
分别从 A，B 沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方
案二：分别从 A，B 沿与公园相切的方向修路，至切点处，再
环绕公园修路，直至连接两个切点.试问两种方案哪种更好？图 4-1 解：如图4-1，以公园中心O为坐标原点，以连接公园中心与村庄A的直线为x轴建立平面直角坐标系；由已知，圆的方程为x2＋y2＝4，A(4,0)，B(－2，2)，由A向圆作切线，切点为D，由B向圆作切线，切点为E，两切线相交于C；易知E(0,2)，BC所在的直线方程为y＝2.【互动与探究】5.街头有一片绿地，绿地如图 4-2(单位：m)，其中 ABC 为圆弧，求此绿地面积(精确到 0.1 m2).图 4-2图 D44 解：如图D44，建立平面直角坐标系，各点坐标分别为A(0,7)，B(3,8)，C(7,6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程求得为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y>0).
第四章 圆与方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝16
2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为( )
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2
3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．
4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．
5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．
6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
7．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．
8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．|a|＜1
B．a＜
C．|a|＜
D．|a|＜
9．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．
10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为 2 ，求a的值．
=
4.1.2 圆的一般方程
1．圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．
2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k>1 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
4．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( )
A．3x＋2y＋1＝0
B．3x＋2y＝0
C．3x－2y＝0
D．3x－2y＋1＝0
5．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．
6．点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是( )
A．－1B．0C．－1D．－7．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.
8．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( )
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
9．已知点A在直线2x－3y＋5＝0上移动，点P为连接M(4，－3)和点A的线段的中点，求P的轨迹方程．
10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．
4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．直线y＝x＋3与圆x2＋y2＝4的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
2．下列说法中正确的是( )
A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B．与半径垂直的直线与圆相切
C．过半径外端的直线与圆相切
D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
3．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为( )
A. B. C. D．2
4．(2013年陕西)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
5．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y＝5 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y＝5 D．2x＋y＋5＝0
6．(2013年浙江)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
7．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．
8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2 C. D．3
9．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．
10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 时，求直线l的方程．
4.2.2 圆与圆的位置关系
1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为( )
A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y＝0 D．2x＋y＝0
3．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m＋c的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．0
6．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 ，求实数a的值．
8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.
9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，
求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长．
10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称
D．关于直线x＋y＝0对称
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝x
D．y＝－x
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为( )
A．1 B．0
C．2 D．2 －3
6．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是( )
A．a＝－3 B．a＝3
C．a＝2 D．a＝－2
7．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
8．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为____________．
9．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值为( )
A. B. C. D.
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)．
(1)若点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
(3)若实数m，n满足m2＋n2－4m－14n＋45＝0，求k＝的最大值和最小值．
4.3 空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系
1．点P(－1,0,1)位于( )
A．y轴上 B．z轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4)
D．(2,1，－4)
3．点P(－4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是( )
A．(4,1,0)
B．(0,1,3)
C．(0,3,0)
D．都不对
4．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q，则Q的坐标为( )
A．(0，，0)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．第一象限内
6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是( )
A．z轴上的两个点
B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线
C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面
D．以上答案都有可能
7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( )
A．(3，－1,5)
B．(3,7,4)
C．(0，－8,1)
D．(7,3,1)
8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.
9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．
10．如图K4-3-1，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．
图K4-3-1
4．3.2 空间两点间的距离公式
1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为( )
A. B．6
C. D．2
2．坐标原点到下列各点的距离最大的是( )
A．(1,1,1) B．(2,2,2)
C．(2，－3,5) D．(3,3,4)
3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为( )
A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)
C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)
4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝( )
A．10 B.
C．2 D．40
5．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝( )
A. B.
C. D.
6．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．
7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝，求点A的坐标．
8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．
9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．
10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．
第四章 圆与方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
1．C 2.D
3．(－2,2) |m| 4.±5 5.(x＋2)2＋(y－1)2＝2
6．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
7．解：方法一：设圆心P(a，b)，
则
解得
圆的半径r＝＝＝5.
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.
方法二：线段AB的中点P′，
即P′.直线AB的斜率k＝＝－.
∴弦AB的垂直平分线的方程为y－＝7，
即7x－y－10＝0.
解方程组得即圆心P(1，－3)．
圆的半径r＝＝5.
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.
8．D
9.＋5
10．解：∵弦AB的长为2 ，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴＝1，∴a＝0.
4．1.2 圆的一般方程
1．(3,0) 2.4
3．B 4.A
5．2 π
6．A
7．解：(1)2＋y2＝，圆心，半径r＝.
(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|.
(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝.
8．C 解析：圆的标准方程是：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r＝13.过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．
9．解：设点P的坐标为(x，y)，A的坐标为(x0，y0)．
∵点A在直线2x－3y＋5＝0上，∴有2x0－3y0＋5＝0.
又∵P为MA的中点，∴有
∴
代入直线的方程，得2(2x－4)－3(2y＋3)＋5＝0，
化简，得2x－3y－6＝0即为所求．
10．解：(1)由圆的一般方程，得
[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
解得－(2)圆心为，
即(t＋3,4t2－1)，
半径r＝
＝.
(3)r＝＝，
所以当t＝时，rmax＝，
故圆的标准方程为2＋2＝.
4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．D 2.D 3.D
4．B 解析：点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，有>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离为d＝<1＝r，所以直线与圆O相交．
5．C 解析：因为点(2,1)在圆x2＋y2＝5上，所以切线方程为2x＋y＝5.
6．4 解析：圆(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，弦长等于2＝4 .
7．解：设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为AB，其中点为C，则△OCB为直角三角形．
因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，
所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3.
由点到直线的距离公式得＝3.解得k＝±.
8．C
9．(1)证明：由(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，
得mx＋2x＋2my＋y＝7m＋8，
即m(x＋2y－7)＋(2x＋y－8)＝0.
由解得
∴无论m为何值，直线l恒过定点(3,2)．
(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，
∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，
∴最短的弦的斜率为1，
故最短弦的方程为x－y－1＝0.∴m＝－1.
10．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.
解得a＝－.故当a＝－时，直线l与圆C相切．
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得解得a＝－7或a＝－1.
∴直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
4．2.2 圆与圆的位置关系
1．B 2.D 3.A
4．C 解析：圆化为标准方程，得(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心O1(2，－1)，r1＝2，O2(－2,2)，r2＝3.∵|O1O2|＝5＝r1＋r2，∴两圆外切．∴公切线有3条．
5．D 6.A
7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y＝.利用圆心(0,0)到直线的距离d＝，得＝＝1，解得a＝1或a＝－1(舍)．
8．5－2
9．解：(1)将两圆方程C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0相减，得2x＋y－5＝0.
∴公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.
(2)圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 ，圆心到直线2x＋y－5＝0的距离为2 ，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 .
10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系，
解方程组得
故对任意实数a，该圆恒过定点(4，－2)．
(2)解：圆的方程可化为
(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2.
①若两圆外切，则2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍)；
②若两圆内切，则|－2|＝，
解得a＝1－，或a＝1＋(舍)．
综上所述，a＝1±.
4．2.3 直线与圆的方程的应用
1．D 解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故关于直线x＋y＝0对称．
2．B 解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝＝，m＝2.
3．C
4．C 解析：由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则>1，即a2＋b2<1，
∴P在圆内．
5．C 6.A
7．A 解析：过原点的直线也满足条件．
8．x＋y－4＝0
9．D 解析：方法一：∵实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，
∵记P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝3上的点，
是直线OP的斜率，记为k.∴直线OP：y＝kx，代入圆的方程，消去y，得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.直线OP与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k2)≥0，
∴－≤k≤.
方法二：同方法一，直线OP与圆有公共点的条件是≤，∴－≤k≤.
10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0.
解得a＝4，∴P(4,5)．
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)∵圆心坐标C为(2,7)，半径为2 ，
∴|QC|＝＝4 .
∴|MQ|max＝4 ＋2 ＝6 ，
|MQ|min＝4 －2 ＝2 .
(3)设点(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，方程m2＋n2－4m－14n＋45＝0，
即(m－2)2＋(n－7)2＝8表示圆．
易知直线l与圆方程相切时，k有最值，
∴＝2 .∴k＝2±.
∴k＝的最大值为2＋，最小值为2－.
4．3 空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系
1．C 解析：点P的y轴坐标为0，则点P在平面xOz上．
2．B 解析：点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)．
3．B 4.B 5.B 6.C 7.B
8．7 8 3 9.5
10．解：由图知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，
故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH∥底面ABCD，
从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b.
由H为DP的中点，得H(0,0，b)．
E在底面ABCD上的投影为AD的中点，
∴E(a,0，b)．同理G(0，a，b)．
F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，
故F与E的横坐标相同，都是a，点F与G的纵坐标也同为a，
又F的竖坐标为b，故F(a，a，b)．
4．3.2 空间两点间的距离公式
1．B 2.C 3.A 4.A 5.C
6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球
7．解：由题意设A(0，y,0)，则＝，得y＝0或y＝2，
故点A的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．
8．直角 解析：因为|AB|2＝9，|BC|2＝9＋36＝45，|AC|2＝36，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形．
9. 解析：|AB|
＝
＝，
故当x＝时，|AB|取得最小值．
10．解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得
＝.
显然，此式对任意y∈R恒成立．
∴y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，
∴只要满足|MA|＝|AB|，就可以使得△MAB是等边三角形．
∵|MA|＝，
|AB|＝＝，
∴＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
第四章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
3．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知圆的方程(x＋2)2＋(y－2)＝4，则点P(3,3)( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2 C. D．3
7．一辆卡车车身宽为2.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形单向隧道，则这辆卡车限高为( )
A．3.3 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m
8．一辆卡车宽2.7 m，要经过一个半径为4.5 m的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.0 m
C．3.6 m D．4.5 m
9．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝
B．－1C．－1≤b≤1
D．非A，B，C结论
10．圆(x－1)2＋(y－3)2＝1关于2x＋y＋5＝0对称的圆方程是( )
A．(x＋7)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋7)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋6)2＋(y＋1)2＝1
D．(x＋6)2＋(y＋2)2＝1
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．经过原点，圆心在x轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是__________________．
12．圆C1：x2＋y2＝4和C2：x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是____________．
13．已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为______________．
14．过点P(2,3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是______________________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5交点的圆的方程．
16．(12分)已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程．
17．(14分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0
(m∈R)．
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程．
18．(14分)已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y＝±x(x≥0)都相切，设动直线l与圆C相切，并交两条射线于点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
19．(14分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．
20．(14分)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．
(1)求直线l1的方程．
(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围．
(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
第四章自主检测
1．B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A
11．(x－5)2＋y2＝25 12.内切 13.x＋y－2＝0
14．x＝2或5x－12y＋26＝0
15．解：设所求圆的方程为(x2＋y2－x＋y－2)＋m(x2＋y2－5)＝0.
整理，得(1＋m)x2＋(1＋m)y2－x＋y－2－5m＝0.
圆心坐标为，
代入3x＋4y－1＝0，得m＝－.
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
16．解：设所求圆的圆心是C(a，b)，则过点M，C的直线与x＋y＝0垂直，
由①②可得，a＝0，b＝－4 或a＝4，b＝0，
相应半径为6和2.
∴圆的方程为x2＋(y＋4 )2＝36或(x－4)2＋y2＝4.
17．(1)证明：将直线l的方程整理为
(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
由得∴直线l过定点A(3,1)．
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴点A在圆C的内部．∴直线l与圆相交．
(2)解：圆心C(1,2)，当截得的弦长为最小时，l⊥AC，
由kAC＝－，得直线l的方程为y－1＝2(x－3)，
即2x－y－5＝0.
18．解：设直线l的方程为y＝kx＋b.A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由得A(k≠0)．
由得B，
∴
由①②，得k＝，b＝. ③
∵圆C与y＝±x都相切
∴圆C的半径r＝.
∵直线AB：kx－y＋b＝0与圆C相切，
∴＝，即2k2＋4kb＋b2－2＝0. ④
将③代入④，得(y2－x2)＋4x(y2－x2)－2(y2－x2)＝0.
∵y2≠x2，∴y2－x2＋4x－2＝0，即(x－2)2－y2＝2(y≠0)．
当l⊥x轴时，线段AB的中点M(2±，0)也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内．
19．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，
依题意，得b≠0且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1 ，且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，
代入，得E＝－b－1.
∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：
将(0,1)代入圆C 的方程，
得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0＝右边＝0.
∴圆C 必过定点(0,1)．
同理可证圆C 必过定点(－2,1)．
20．解：(1)圆C的方程化为标准方程：(x－3)2＋(y－2)2＝9，
则其圆心C(3,2)，半径r＝3.
若设直线l1的斜率为k，则k＝－＝－＝－2.
∴直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0.
(2)∵圆的半径r＝3，
∴要使直线l2与圆C相交，则须有≤3.
∴|b＋5|≤3 .
于是b的取值范围是－3 －5＜b＜3 －5.
(3)设直线l2被圆C截得的弦的中点为M(x0，y0)，则直线l2与CM垂直，于是有＝1，
整理可得x0－y0－1＝0.
又∵点M(x0，y0)在直线l2上，∴x0＋y0＋b＝0.
∴由解得代入直线l1的方程，得1－b－－13＝0，于是b＝－∈(－3 －5，3 －5)，故存在满足条件的常数b.
综合能力检测
1．C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.C 8.D 9.A 10.C
11．①③④
12．8 解析：由圆的对称性知，圆心C必在直线x－y＋4＝0上．∴－－0＋4＝0，∴m＝8.
13．－18或8 14.14π
15．解：设圆心Q为(a，－2a)，
根据题意，得圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝|PQ|，即＝.
解得a＝1.∴圆心Q(1，－2)，半径r＝.
∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
16．证明：(1)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1∥CC1且AA1＝CC1，得平行四边形AA1C1C，连接AC，所以AC∥A1C1.
又AC在平面A1C1B外，A1C1在平面A1C1B内，
所以AC∥平面A1C1B.
(2)连接B1D1 ，则B1D1⊥ A1C1，由DD1⊥平面A1B1C1D1，知DD1⊥ A1C1，
又因为B1D1∩DD1＝D1，
所以A1C1⊥平面B1D1D, 从而A1C1⊥B1D，
同理，得A1B⊥B1D，又因为A1B∩A1C1＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1B.
17．解：设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)，
∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，
∴直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.
圆心O1到直线AB的距离d＝ ，由d2＋22＝6，得＝2，∴r2－14＝±8，即r2＝6或22.
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.
18．(1)解：侧视图同正视图，如图D68.
图D68 图D69
(2)解：该安全标识墩的体积为：
V＝VP -EFGH＋VABCD -EFGH
＝×402×60＋402×20
＝32 000＋32 000＝64 000(cm3)．
(3)证明：如图D69，连接EG，HF及BD，EG与HF相交于点O，连接PO.
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF.
又∵EG⊥HF，EG∩PO＝O，
∴HF⊥平面PEG.
又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.
19．(1)证明：在平行四边形ACDE中，
∵AE＝2，AC＝4，∠E＝60°，点B为DE中点，
∴∠ABE＝60°，∠CBD＝30°，从而∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
又AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，
而AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.
∵BC?平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.
(2)解：设AA1＝h，则四棱锥A1-AEBC的体积
V1＝SAEBC·AA1＝×·h＝h.
∵A1B1⊥B1B，A1B1⊥B1C1，B1B∩B1C1＝B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∴四棱锥A1-B1BCC1的体积为
V2＝··A1B1＝×2 h×2＝h.
∴V1∶V2＝(h)∶＝3∶4.
20．解：圆C的方程可化为(x－a)2＋(y－3a)2＝4a，
∴圆心为C(a,3a)，半径为r＝2 ，
(1)若a＝2时，则C(2,6)，r＝2 ，
∵弦AB过圆心时最长，∴|AB|max＝4 .
(2)若m＝2，则圆心C(a,3a)到直线x－y＋2＝0的距离
d＝＝|a－1|，r＝2 ，
|AB|＝2 ＝2 ＝2 ，
∴当a＝2时，|AB|max＝2 .
(3)圆心C(a,3a)到直线x－y＋m＝0的距离d＝，
∵直线l是圆心C的切线，
∴d＝r，＝2 ，|m－2a|＝2 .
∴m＝2a±2 .
∵直线l是圆心C下方的切线，
∴m＝2a－2＝(－1)2－1.
∵a∈(0,4]，
∴当a＝时，mmin＝－1；当a＝4时，mmax＝8－4 .
故实数m的取值范围是[－1,8－4 ]．
