上海市华二附中2023届高三下学期5月模拟冲刺（3）数学试题（含答案）

上海市华二附中2023届高三下学期5月模拟冲刺（3）数学试题
2023.05
一 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.已知一组数据的中位数为4，则其方差为__________.
2.已知集合，若，则实数的取值集合为__________.
3.已知向量，则在方向上的投影是__________.
4.已知数列的前项和为，且满足对一切正整数成立.则__________.
5.已知是关于的方程的两根，则__________.
6.如图是甲 乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是__________.
7.已知，若，则__________.
8.若，则__________.
9.现有一倒置圆锥形窗口，深24米，底面直径6米.以的速度向容器中注水，则当水深8米时，水面上升的速度为__________.
10.一艘渔船航行到处看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该船由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则__________.
11.已知复数，其中.则的最小值为__________.
12.已知，双曲线的左 右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则__________.
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分，每题有且只有一个正确选项）
13.已知是不共面的三个向量，则能组成空间的一个基的一组向量是（ ）
A. B.
C. D.
14.下列说法中正确的是（ ）
A.甲 乙两人做游戏；甲 乙两人各写一个数字，若是同奇数或同偶数则甲胜，否则乙胜.两人在该游戏中获胜的概率相等；
B.做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率；
C.某地发行福利彩票，回报率为，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报；
D.实验：某人射击中靶或不中靶，这个试验是古典概型.
15.两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（ ）
A.一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直；
B.一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直；
C.不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直；
D.不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直
16.对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质.设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差.那么（ ）
A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题
C.① ②都是真命题 D.① ②都是假命题
三 解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（14分）某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名.其评估成绩近似的服从正态分布.现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：
（1）求样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加三家公司的面试.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值.请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；
附：若随机变量，则.
18.（14分）在中，分别是角的对边.设，已知
（1）求角的大小；
（2）设，当时，求函数的最小值.
19.（14分）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面
（1）证明：是圆柱下底面的直径；
（2）若为中点，为中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.
20.（18分）设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为
①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；
②求面积的最大值.
21.（18分）设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.
（1）若和是关于的“对称函数”，求；
（2）已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围；
（3）证明：对任意，存在唯一的，使得和是关于的“对称函数”.
参考答案
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】
5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】6 8.【答案】
9.【答案】5 10.【答案】
11.【答案】
【解析】观察复平面得.于是由三角不等式，，
等号成立当且仅当.
12.【答案】
【解析】设，则.
另一方面，在中，由正弦定理得，于是.
代入上述方程组，解得.
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分，每题有且只有一个正确选项）
13.【答案】B 14.【答案】A 15.【答案】C
16.【答案】C
【解析】对命题①，设数列的公比为.因为数列具有性质，
所以对任意，也即.因此数列严格增，
故①是真命题.
对命题②，设等差数列的首项为.对每个使得数列不具有性质的正整数，
存在正整数，使得
则，从而
因为是定值，所以当无限增大时，得到.故②是真命题.
故选.
三 解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.【答案】（1）70，；（2）317
【解析】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：
样本平均数；
样本方差
（2）由（1）可知，，故评估成绩服从正态分布，
所以.
在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有人.
18.【答案】（1）；（2）当时，有最小值-2.
【解析】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即，
则，
，又
（2）
，
，
则的最小值-2，其中，即当时，有最小值-2
19.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接，在直三棱柱中，，
四边形为正方形，
又平面平面，平面平面平面，
平面，又平面
又平面平面.
又平面，
平面，又平面，
为圆柱底面的直径.
（2）由已知平面，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
.
为中点，.
设平面的一个法向量为.
则，又，
，取，得，
设平面的一个法向量为.
则，又，
，取，得.
，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
20.【答案】（1）（2）①见解析，定点；②
【解析】（1）由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
（2）①在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，
又，由题知，
则，且，
则
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点
②不妨设直线过定点为.则的面积，
设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，
则
所以.
令，则
因为，所以（当且仅当即），
所以，即面积的最大值为.
21.【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）由题意，.故
（2）由题意，.
设，则，从而.
另一方面，由于，因此函数在上恰有一个驻点
从而当时，比较和处的函数值得，.
因此，，
故
（3）原命题等价于证明：对任意，关于的方程有唯一解
考虑，则
当时，由知.
而当时，由于，因此函数在区间上唯一极小值点
，故
从而.
令，则.因而函数在区间上有唯一的极小值点.
而，故.
综上，当时，，函数严格增.从而对任意，关于的方程，
也即至多有一解.
另一方面，由知当时，故当且时，
；而当时，.
从而由零点存在定理，关于的方程，也即一定有解.
综上，对任意，关于的方程有唯一解.