浙江省衢州市常山县第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）

常山县第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，（ ）
A． B． C．2 D．4
6．已知的外接圆半径为1，，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，已知，，且满足，，若线段CD和线段BE的交点为P，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选趣（本题共有4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
10．已知向量，，则（ ）
A． B．，的夹角为
C．与共线的单位向量 D．在上的投影向量为
11．是定义在R上的函数，，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的为（ ）
A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称
C．的值域为 D．的实数根个数为6
12．《九章算术》中将底面为直角三角形且．侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”。如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积最大为
D．过A点分别作于点E，于点F，则
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数在上单调递增，则的最大值是______．
14．若，，且，则的最小值为______．
15．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
16．已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
（1）若且与垂直，求与的夹角；
（2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，N是AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若，求的值．
20．（本小题满分12分）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救授，雷达站测得角度数据为，，，．
（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
（2）若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？
21．（本小题满分12分）如图，棱柱中，底面ABCD是平行四边形，侧棱底面ABCD，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱上，点Q在棱上，且，，．
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长．
22．（本小题满分12分）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．
（1）判断是否为“型函数？并说明理由；
（2）若存在实数k，使得函数始终是“型函数”，求k的最小值；
（3）若函数，是“型的数”，求实数a的取值范围．
常山县第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学参考答案
1．D 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．B
9．AD 10．BD 11．BC 12．ABD
13．4 14．3 15． 16．
16．构造函数，依题意，的定义域是，是奇函数，
所以，所以是偶函数，由于对，，
都有，所以在上单调递增，则在上单调递减．
，由得，即，
所以或，所以不等式的解集为．
17．（1）解：由得，即，
所以
得
又，所以；
（2）因为，，所以
所以，则，
由得，即，
因为与的夹角为锐角，所以．
18．（1）如图1，取AB中点D，连接DN，，
因为N是AC的中点，所以，，
又因为在直三棱柱中，M是的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以
因为平面，平面，所以平面
（2）如图2，连接，BM，
由直三棱柱的性质可知平面，
因为平面，所以，
因为，，M是的中点，所以，
因为，所以平面，
所以是直线与平面所成的角的平面角，
因为，，
所以不妨设，则，，，
所以，
因为，所以
所以直线与平面，所成的角的大小．
19．（1）解：由题意得，
因为，所以，
令，解得，
令，解得，
所以函数在上的单调递增区间为和．
（2）解：由（1）知．
．
20．（1）在中，因为，，，
所以
，又，
所以由正弦定理可得解得，即，解得，
所以A船距离雷达站C距离为120海里；
（3）在中，根据正弦定理可得，
即，解得
在中，出余弦定理可得，解得，
因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，
所以能在3小时内赶到救援．
21．（1）在棱柱中，面，面ABPQ，
面面，由线面平行的性质定理有，
又，故；
（2）证明：在底面ABCD中，，，．
，∴，∴
又因为侧棱底面ABCD，则⊥底面ABCD
面，∴
又，∴面
过点C作于S，连接AS，则∠CSA是二面角的平面角．
，，
则，故，
∵，∴．
设，则．
∴，∴
故，故．
22．（1）是偶函数，且在递减，递增．
当时，；当时，．
若取，则不存在，使得．
所以不是“型函数”．
（2）首先函数定义城为，则，
解得．
由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增．
所以只需对恒成立即可，
所以，即k的最小值为1．
（3）由题是“型函数”．
当时，在上单调递增，．
而，要使存在且唯一，则有，解得．所以．
当时，在递减，递增，．
而，要使存在且唯一，则有，解得．所以．
综上可知：．