【全国百强校】广东省广州市第六中学高中数学人教版必修三几何概型习题课 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 【全国百强校】广东省广州市第六中学高中数学人教版必修三几何概型习题课 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 590.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-08-21 07:32:18 | ||
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文档简介
课件26张PPT。概率与统计几何概型习题课知识梳理 1.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型.?
2.在几何概型中，事件A发生的概率的计算公式?
P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.?基础自测 1.为了测算如右图阴影部分的面积，做一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（ ）?
?A.12 ? B.9 C.8? D.6解析:S阴/S正=200/800，
∴S阴=200/800×36=9.?
答案：?B 2.在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2?与81 cm2之间的概率为（ ）?
?A.5/6 B.1/2 C.1/3 D. 1/6? 解析：M只能在中间6 cm~9 cm之间选取，而这是一个几何概型.?
答案： D?3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S/4的概率是（ ）?
?A. 1/4? B.1/2 ?C.3/4? D.2/3 解析:由△ABC和△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一点E与A之间，即一个几何概型，?
∴P的概率为AE/AB=3/4，故选?C?.?4.在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为_______解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°-45°-75°=30°，30/150=1/5.?
答案：1/5 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假定电台是整点报时） 。分析：假设他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率.因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.?解析:
设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得?
P（A）=（60-50）/60=1/6，?
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布，X为［0,60］上的均匀随机数. 变式探究 1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率. 解析:记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A)= 2/6=1/3 如右图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率.?解析:以O为起点的射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，所以符合几何概型的条件.记事件B为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT=60°，所以?P（B）=60/360=1/6.?点评：关键是弄清过O的射线OA可以在平面内任意作，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的 变式探究 2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，OD，求使得∠AOD和∠BOC都不小于30°的概率. 解析：如右图，设事件A是“作射线OC，OD使∠AOD和∠BOC都不小于30°”，?
=90°-30°-30°=30°， =90°，由几何概型的计算公式，得? 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.?
（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；?
（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等码头空出的概率.?解析：（1）设甲、乙两船到达时间分别为x、y，?
则0≤x<24,0≤y<24且y-x>4或y-x<-4.?
作出区域?设“两船无需等码头空出”为事件A，则P(A)= （2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需要等码头空出，则满足x-y>2或y-x>4，?
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域变式探究 3.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解析:对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如右图，区域Ω是长30m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为?
30×20-26×16=184（m2），?
即P(A)=184/600=23/75≈0.31. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？?分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.? 解析:取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)=取出的种子体积/所有种子的体积=10/1000=0.01.?
答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.? 变式探究 4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为
150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5答案：1/51.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.?
2.使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件的几何图形的几何度量（长度、面积或体积）成比例；几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的概率题目.?
3.用几何概型计算事件的概率时，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量（长度、面积或体积）来求随机事件的概率.? 甲乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有4班公共汽车，它的开车时刻分别为1∶15,1∶30,1∶45,2∶00，如果他们约定：(1)见车就乘；(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一辆车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻
到达车站是等可能的.? 解析：设x,y分别表示甲乙两人到达的时刻，则样本空间Ω为
1≤x≤2,1≤y≤2,满足这些条件的图形为图(甲)中大正方形，
其面积SΩ=(2-1)2=1.? (1)设“甲、乙见车就乘，同乘一辆车”为事件A，则事件A
发生的情形必须满足甲乙两人在同一时间段(1∶00~1∶15或1∶15~1∶30或1∶30~1∶45或1∶45~2∶00)等车，则满足
事件A的图形如图(甲)阴影部分，其面积4×(1/4)2=1/4代入公式得P(A)=0.25.?
(2)设“甲、乙最多等一辆车，同乘一辆车”的事件为B，这又
分三种情况：①见车就乘的情况(已在(1)中求出)；②甲先到达
等一辆车，与乙同乘一辆车(如图(乙))；③乙先到达等一辆车，
与甲同乘一辆车(这类似于②).?在②中，必须满足:如果甲在1∶00~1∶15到达，乙就在1∶15~1∶30到达，如果甲在1∶15~1∶30到达，乙就在1∶30~1∶45到达，如果甲在1∶30~1∶45到达，乙就在1∶45~2∶00到达，如图(乙)阴影部分面积3×1/16.?
综上，代入公式 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.?
（1）设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4}分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率； 2）设点（a,b）是区域 内的随机点，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率. 解析（1）∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2a/b，要使f(x)=ax2-4bx+1在区间［1，+∞）上为增函数，
当且仅当a>0且2b/a≤1,即2b≤a.?
若a=1,则b=-1,?
若a=2,则b=-1,1,?
若a=3,则b=-1,1,?
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.?
∴所求事件的概率为5/15=1/3. （2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在区间［1,+∞）上为增函数，?
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分.?
由
得交点坐标为(16/3, 8/3)
∴所求事件的概率为题型训练 如右图所示，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色.两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为_________解析：事件出现的所有结果如下：?
(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(蓝，红)，(蓝，黄)，(蓝，蓝)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，蓝)，其中，满足条件的有6种结果，
所以，所求概率为：P=6/9=2/3.?2.在区域,
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（ ）?
?A.π/2 ? B.π/8
?C.π/6? D.π/4? 解析：区域为△ABC内部（含边界），则概率为?答案是：D
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型.?
2.在几何概型中，事件A发生的概率的计算公式?
P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.?基础自测 1.为了测算如右图阴影部分的面积，做一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（ ）?
?A.12 ? B.9 C.8? D.6解析:S阴/S正=200/800，
∴S阴=200/800×36=9.?
答案：?B 2.在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2?与81 cm2之间的概率为（ ）?
?A.5/6 B.1/2 C.1/3 D. 1/6? 解析：M只能在中间6 cm~9 cm之间选取，而这是一个几何概型.?
答案： D?3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S/4的概率是（ ）?
?A. 1/4? B.1/2 ?C.3/4? D.2/3 解析:由△ABC和△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一点E与A之间，即一个几何概型，?
∴P的概率为AE/AB=3/4，故选?C?.?4.在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为_______解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°-45°-75°=30°，30/150=1/5.?
答案：1/5 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假定电台是整点报时） 。分析：假设他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率.因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.?解析:
设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得?
P（A）=（60-50）/60=1/6，?
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布，X为［0,60］上的均匀随机数. 变式探究 1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率. 解析:记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A)= 2/6=1/3 如右图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率.?解析:以O为起点的射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，所以符合几何概型的条件.记事件B为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT=60°，所以?P（B）=60/360=1/6.?点评：关键是弄清过O的射线OA可以在平面内任意作，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的 变式探究 2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，OD，求使得∠AOD和∠BOC都不小于30°的概率. 解析：如右图，设事件A是“作射线OC，OD使∠AOD和∠BOC都不小于30°”，?
=90°-30°-30°=30°， =90°，由几何概型的计算公式，得? 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.?
（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；?
（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等码头空出的概率.?解析：（1）设甲、乙两船到达时间分别为x、y，?
则0≤x<24,0≤y<24且y-x>4或y-x<-4.?
作出区域?设“两船无需等码头空出”为事件A，则P(A)= （2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需要等码头空出，则满足x-y>2或y-x>4，?
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域变式探究 3.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解析:对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如右图，区域Ω是长30m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为?
30×20-26×16=184（m2），?
即P(A)=184/600=23/75≈0.31. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？?分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.? 解析:取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)=取出的种子体积/所有种子的体积=10/1000=0.01.?
答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.? 变式探究 4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为
150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5答案：1/51.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.?
2.使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件的几何图形的几何度量（长度、面积或体积）成比例；几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的概率题目.?
3.用几何概型计算事件的概率时，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量（长度、面积或体积）来求随机事件的概率.? 甲乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有4班公共汽车，它的开车时刻分别为1∶15,1∶30,1∶45,2∶00，如果他们约定：(1)见车就乘；(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一辆车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻
到达车站是等可能的.? 解析：设x,y分别表示甲乙两人到达的时刻，则样本空间Ω为
1≤x≤2,1≤y≤2,满足这些条件的图形为图(甲)中大正方形，
其面积SΩ=(2-1)2=1.? (1)设“甲、乙见车就乘，同乘一辆车”为事件A，则事件A
发生的情形必须满足甲乙两人在同一时间段(1∶00~1∶15或1∶15~1∶30或1∶30~1∶45或1∶45~2∶00)等车，则满足
事件A的图形如图(甲)阴影部分，其面积4×(1/4)2=1/4代入公式得P(A)=0.25.?
(2)设“甲、乙最多等一辆车，同乘一辆车”的事件为B，这又
分三种情况：①见车就乘的情况(已在(1)中求出)；②甲先到达
等一辆车，与乙同乘一辆车(如图(乙))；③乙先到达等一辆车，
与甲同乘一辆车(这类似于②).?在②中，必须满足:如果甲在1∶00~1∶15到达，乙就在1∶15~1∶30到达，如果甲在1∶15~1∶30到达，乙就在1∶30~1∶45到达，如果甲在1∶30~1∶45到达，乙就在1∶45~2∶00到达，如图(乙)阴影部分面积3×1/16.?
综上，代入公式 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.?
（1）设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4}分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率； 2）设点（a,b）是区域 内的随机点，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率. 解析（1）∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2a/b，要使f(x)=ax2-4bx+1在区间［1，+∞）上为增函数，
当且仅当a>0且2b/a≤1,即2b≤a.?
若a=1,则b=-1,?
若a=2,则b=-1,1,?
若a=3,则b=-1,1,?
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.?
∴所求事件的概率为5/15=1/3. （2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在区间［1,+∞）上为增函数，?
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分.?
由
得交点坐标为(16/3, 8/3)
∴所求事件的概率为题型训练 如右图所示，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色.两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为_________解析：事件出现的所有结果如下：?
(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(蓝，红)，(蓝，黄)，(蓝，蓝)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，蓝)，其中，满足条件的有6种结果，
所以，所求概率为：P=6/9=2/3.?2.在区域,
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（ ）?
?A.π/2 ? B.π/8
?C.π/6? D.π/4? 解析：区域为△ABC内部（含边界），则概率为?答案是：D