课件43张PPT。第1章 机 械 振 动
第1节 简 谐 运 动1.匀变速直线运动：_______保持不变的直线运动。
2.牛顿第二定律表达式：_____。
3.胡克定律表达式：_____，其中x表示弹簧的_______。
4.当运动物体的加速度与速度方向_____时，物体做加速直线
运动；当运动物体的加速度与速度方向_____时，物体做减速
直线运动。
5.把周期性运动每重复一次所需要的时间叫_____；单位时间
内运动重复的次数叫做_____。加速度F=maF=kx形变量相同相反周期频率一、机械振动
1.定义:物体在平衡位置附近所做的_________,简称振动。
2.平衡位置:振动物体所受回复力为___的位置。往复运动零3.回复力：
(1)方向:总是指向_________。
(2)作用效果: 总是要把振动物体拉回到_________。
(3)来源:回复力是根据力的_________命名的力。 可能是由
某一个力或某一个力的分力来提供，也可能是几个力的合力
来提供。
4.产生振动的条件：物体离开平衡位置时总要受到_______作
用。 平衡位置平衡位置作用效果回复力二、弹簧振子的振动
1.弹簧振子:由一根_____弹簧和一个质量为m的物体构成，且
运动过程中不计_______和任何介质阻力，是一种理想模型。 轻质摩擦力2.两种弹簧振子的比较：弹簧弹力弹簧弹力与重力的合力劲度系数劲度系数平衡位置平衡位置相反相反三、简谐运动
1.定义:物体所受回复力的大小与位移大小成_____,并且总是
指向_________的运动。
2.特征：
(1)受力特征：回复力满足______，其中k为比例系数，负号表
示力与位移的方向_____，x为物体偏离_________的位移。
(2)运动特征：加速度满足 ,即做简谐运动的物体加速
度的大小与位移的大小成_____，方向与位移方向_____。正比平衡位置F=-kx相反平衡位置正比相反【思考辨析】
1.判断正误：
(1)机械振动是匀变速直线运动。( )
(2)做机械振动的物体在平衡位置附近做的往复运动。( )
(3)机械振动的回复力不变。( )
(4)弹簧振子的回复力是弹簧的弹力。( )提示：(1)×。机械振动的加速度是变化的。
(2)√。根据机械振动的定义可知(2)对。
(3)×。在平衡位置处回复力为零, 加速度为零, 速度最大。 从平衡位置到最大位移的过程中, 由F=-kx可知, 物体所受的回复力是变化的。
(4)×。水平方向的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力，竖直方向的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力与所受重力的合力。2.问题思考：
(1)回复力与向心力有什么异同?
提示：相同点：都是根据力的作用效果命名；不同点：做圆周运动的物体的向心力是由物体所受到的在径向的合力提供的; 回复力是由物体所受到的在振动方向上的合力提供。
(2)如何理解弹簧振子？
提示：弹簧振子是一种理想化模型，在构造上表现为把一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个质点，在运动时没有任何摩擦和阻力。一、简谐运动的位移、速度和加速度
1.对三个概念的理解：
(1)位移:以平衡位置为坐标原点, 以振动所在的直线为坐标轴, 规定正方向, 则某一时刻振子的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)速度:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上, 速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。(3)加速度:做简谐运动的物体的加速度 由于弹簧振子的形变量x不断变化，所以简谐运动是变加速运动。振子在通过平衡位置处时,加速度的大小为零，方向改变。2.位移、速度、加速度的变化规律：
(1)变化规律: 当物体做简谐运动时, 它偏离平衡位置的位移x、 回复力F、 加速度a、 速度v、 动能Ek、 势能Ep及振动能量E遵循一定的变化规律, 可列表如下:(2)两个转折点：
①平衡位置是位移方向、 回复力方向和加速度方向变化的转折点。
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
(3)一个守恒: 简谐运动过程中动能和势能之间相互转化, 但系统的机械能守恒。【学而后思】
(1)简谐运动的位移与一般运动中的位移表示方法是否相同？
提示：不相同。简谐运动的位移总是以平衡位置为起点，方向指向物体所在的位置，大小等于由平衡位置到物体所在位置的距离。这与一般运动中的位移不同, 一般运动中的位移都是由初位置指向末位置。(2)简谐运动中振动物体通过同一个位置时，速度与位移的方向一定相同吗？
提示：简谐运动的位移是以平衡位置为坐标原点的,速度的方向指的是运动的方向，若振动物体通过同一个位置, 其位移的方向是一定的, 而其速度方向却有两种可能(两个“端点”除外):指向或背离平衡位置, 且振子在两“端点”速度的方向改变，故速度与位移的方向不一定相同。【典例1】(2013·宜春高二检测)一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子速度方向改变时，其位移方向也发生改变
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D．振子的加速度变大，其速度一定减小【解题探究】(1)弹簧振子的位移是以_________为起点，方向
由___________________________。
(2)靠近或远离平衡位置时，加速度和速度如何变化？
提示：靠近平衡位置时，加速度减小，速度增大；远离平衡位置时，加速度增大，速度减小。平衡位置平衡位置指向振子所在的位置【标准解答】选D。如图所示，设弹簧振子在 A、 B 之间振动, O是它的平衡位置, 并设向右为正。 在振子由O向A运动过程中, 振子的位移、 速度为负值, 加速度为正值,若振子由A向O运动过程中，速度为正值，位移为负值，故A、B错； 振子每次通过平衡位置时，加速度都为零，速度的大小相同，方向可能相同也可能相反，C错；靠近平衡位置时，加速度减小，速度增大，远离平衡位置时，加速度增大，速度减小，D对。【变式训练】(2013·上海高考)做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )
A.位移 B.速度
C.加速度 D.回复力
【解析】选B。做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，位移x相同，回复力相同，加速度相同，可能不同的物理量是速度，选项B正确。【变式备选】弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A.振子所受的弹力逐渐增大
B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小【解析】选D。振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位
置的有向线段，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小；而弹力
与位移成正比，故弹力也减小；由牛顿第二定律 可知，
加速度也减小；物体向着平衡位置运动时，弹力及加速度与速
度方向一致，故物体的速度逐渐增大。正确答案选D。二、对简谐运动对称性的理解
简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复运动。因此它具有往复性的特点(也可认为做简谐运动的物体每隔一定时间将重复原先的运动，具有周期性的特点)。它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对称性的特点。如图所示,物体在A与B之间运动,O点为平衡位置,任取关于O点对称的C、D两点,则有:1.点对称：
(1)大小相等：所有物理量在关于平衡位置对称的两点上大小相等，所有物理量在往复经过同一点时，大小相等。
(2)方向关系：在关于平衡位置对称的两点上，回复力和加速度的方向一定相反，在同一点上回复力和加速度的方向一定相同；速度的方向可能相同，也可能相反。2.段(过程)对称：
在对称过程中所有和过程有关的物理量大小一定相等。
(1)往复对称：例如OB过程与BO过程、DB过程与BD过程、CB过程与BC过程或CD过程与DC过程等。
(2)关于平衡位置对称：AC过程与BD过程、AD过程与BC过程或CB过程与DA过程等。【学而后思】
如上图，由时间的对称性可知，哪段内的时间是相等的？
提示：tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tCO=tOC,tDB=tBD=tAC=tCA。【典例2】如图所示，竖直轻弹簧两端
分别与物块A、B相连，物块A、B所受
重力均为mg，物块B放在固定于水平面
上的压力传感器上，物块A在初始位置
处于平衡状态。现对物块A施以大小为
F=mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，压力传感器的读数是多少？【解题探究】(1)撤去力F后，物块将做怎样的运动？
提示：撤去力F后，弹簧的弹力和重力的合力提供回复力，物
体在竖直方向上做简谐运动。
(2)简谐运动的平衡位置为_________；由对称性可知，物块A
在最高点和最低点时所受的回复力大小_____，方向_____。初始位置相同相反【标准解答】设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x0，对A列平衡方程：mg=kx0 ①
施加力F后弹簧再压缩x，A的平衡方程为
F+mg=k(x0+x) ②
又由于F=mg ③
由①②③得kx=mg
撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力
F回=k(x0+x)-mg=kx当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知
F回=kx，而kx=mg，可见物块A所受弹簧弹力恰好为零，以物块B为研究对象，受力分析知压力传感器对物块B的支持力为N=mBg=mg，故压力传感器的读数是mg。
答案：mg【互动探究】【典例2】中，在物块A振动过程中，关于平衡位置对称的两点，物块A的动能、重力势能、弹簧的弹性势能分别相等吗？【解析】简谐运动的过程中，关于平衡位置对称的两点，速度大小相等，即动能相等；对称的两点中，显然，物块A振动到平衡位置上方的点时的重力势能大于振动到下方点时的重力势能，而物块A振动到平衡位置上方的点时弹簧的弹性势能小于振动到下方点时的弹性势能。实际上，由于关于平衡位置对称的两点的动能相等，物块A和弹簧组成的系统机械能守恒，所以关于平衡位置对称的两点的势能(重力势能和弹性势能之和)相等,而单独的重力势能或弹性势能并不相等。
答案：见解析【总结提升】分析简谐运动物理量时应注意的问题
(1)简谐运动的对称性主要体现在六个物理量上，即位移、速度、加速度、回复力、动能、势能，这六个量中前四个量是矢量，不仅要注意它们的大小，还要注意它们的方向。
(2)竖直弹簧振子的势能应是振动物体重力势能和弹性势能的总和。【典例】如图所示，在质量为M的无下底的
木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M>m)
的D、B两物体。木箱放在水平地面上，
平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐
运动。当D运动到最高点时，木箱对地面的
压力为( )
A.Mg B.(M－m)g
C.(M＋m)g D.(M＋2m)g【标准解答】选A。当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起
可看成弹簧振子，它们将做简谐运动，其平衡位置就是当弹力
与D的重力相平衡时的位置。初始运动时D的速度为零，故剪断
D、B间连线的瞬间，D所受到的弹力还没来得及变化，弹簧在
没有剪断D、B间的连线时的伸长量为 在振动过程
中，在平衡位置时的伸长量为 故振子在振动过程中，离开平衡位置的最大位移是 D物体在运动过程
中，能上升到的最大高度是其位移为A的高度，由于D在振动过
程中，平衡位置在弹簧自由长度以下 处，刚好弹簧的自由
长度处就是物体D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，
D对弹簧无作用力，故木箱对地面的压力为木箱的重力Mg。关于简谐运动理解的三个误区
误区1：误认为做机械振动的物体一定做简谐运动
产生该误区是没有认识到简谐运动是最简单的机械振动，机械振动包含简谐运动。复杂的振动其回复力不一定符合F=-kx的规律。误区2：误认为回复力一定是物体所受的合力
其原因是没有意识到回复力是根据力的效果命名的。回复力是指向平衡位置的合力,其效果是使物体回到平衡位置,回复力不一定是振动物体所受的合力,它可以由一个力单独提供,也可由一个力的分力或几个力的合力提供。
误区3：误认为振子通过同一位置时，动能相同，速度也相同
这是由于忽略了速度的矢量性，没有注意速度可能沿正方向也可能沿负方向。【典例】关于做简谐运动的弹簧振子，下述说法中正确的
是( )
A．振子通过平衡位置时，速度最大，势能最大
B．振子在最大位移处时，加速度最大
C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同
D．振子连续两次通过同一位置时，动能相同，速度相同【解析】通过以下表格进行逐项分析课件49张PPT。第2节 振动的描述1.做直线运动的物体，其位移随时间的变化规律可以用____图
像描述。
2.做直线运动的物体，其速度随时间的变化规律可以用____图
像描述。
3.做简谐运动的物体在时间上具有_______，在空间上具有___
_____。s-tv-t周期性对称性4.发声体发出声音的响度与声源振动的幅度有关，振动幅度越
大，响度_____。
5.发声体发声音调的高低与发声体振动的快慢有关，物体振动
越快，音调就_____。越大越高一、振动特征的描述
1.振幅(A)：
(1)定义:振动物体离开平衡位置的_________。
(2)物理意义:表示振动_____的物理量,是标量。最大距离强弱2.周期(T)和频率(f)：
(1)全振动:物体从某一初始状态开始第一次回到这一_____的
过程。
(2)周期(T)：振动物体完成___________经历的时间。
(3)频率(f)：振动物体在1 s内完成_____________。
(4)固有周期(或固有频率):物体在_________下的振动周期(或
频率)，是_____________的属性,与振动的_____无关。
(5)物理意义：周期和频率都是表示振动物体空间运动重复___
___的物理量，周期越小，频率越大，表示振动重复_____，周
期和频率的关系是T= 。 状态一次全振动全振动的次数自由状态振动系统本身振幅快慢越快二、简谐运动图像的描述
1.坐标系的建立：以横轴t表示简谐运动物体的运动_____，
以纵轴x表示做简谐运动的物体运动过程中_______________
_____。
2.图像的意义：表示做简谐运动的物体在_____时刻相对于平
衡位置的_____。即表示做简谐运动的物体偏离平衡位置的位
移随时间的变化关系。 时间偏离平衡位置的位移任意位移3.简谐运动图像的特点：一条_____________曲线，如图所示。正弦(或余弦)三、简谐运动的公式
1.表达式：x=Asinωt= 或x=Asin(ωt+φ0)。
2.公式中各符号的含义：
3.圆频率ω与周期(或频率)的关系： 。振幅相位圆频率初相位位移【思考辨析】
1.判断正误：
(1)振幅是矢量。( )
(2)振幅随时间做周期性变化。( )
(3)物体两次通过平衡位置的时间叫做周期。( )
(4)简谐运动的频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多。( )提示：(1)×。物体离开平衡位置的最大距离叫振幅,是标量。
(2)×。物体振动的振幅不变。
(3)×。振动物体完成一次全振动所需要的时间是一个周期,物体两次通过平衡位置的时间不是一个周期。
(4)√。做简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多。2.问题思考：
简谐运动的图像是振动物体的运动轨迹吗?
提示：图像描述的是振动物体的位移随时间的变化规律,并不是物体运动的轨迹。一、对描述简谐运动物理量的理解
1.全振动：
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:历时一个周期。
(4)路程特征:振幅的4倍。
(5)相位特征:增加2π。2.振幅与振动中几个常见量的关系：
(1)振幅与路程的关系：
①一个周期内的路程为振幅的4倍;
②半个周期内的路程为振幅的2倍。
(2)振幅与周期(或频率)的关系：
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
(3)振幅和振动系统的能量关系：
对一个确定的振动系统来说,系统的能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统的能量就越大。 【学而后思】
(1)做简谐运动的物体在 周期内的路程是否一定等于振幅？
提示：不一定，若从平衡位置或最大位移处开始计时, 周期
内的路程等于振幅;若从其他位置开始计时, 周期内路程与
振幅之间没有确定关系，路程可能大于或小于振幅。
(2)做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程,是否一定
为一次全振动？
提示：不一定，只有连续两次以相同的速度经过同一位置的过
程，才是一次全振动。【典例1】(2013·门头沟高二检测)
如图所示，弹簧振子在B、C间做简
谐运动，O为平衡位置，B、C间距离
为10 cm，B→C运动时间为1 s，则( )
A．从O→C→O振子做了一次全振动
B．振动周期为1 s，振幅为10 cm
C．经过两次全振动，通过的路程为20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm【解题探究】(1)弹簧振子从B到C是否完成了一次全振动？
提示：没有完成，弹簧振子从B到C再到B才完成了一次全振
动。
(2)弹簧振子由B到C的时间是_________，运动的路程为____
_____。半个周期2倍振幅【标准解答】选D。从O→C→O振子做了一次全振动的一半，A错；B→C运动时间为1 s，可知周期为2 s, B、C间距离为10 cm，可知振幅为5 cm，B错；经过两次全振动，通过的路程为40 cm，C错；从B开始经过3 s，时间是周期的1.5倍，路程是振幅的6倍，D对。【变式训练】一个质点在平衡位
置O点附近做简谐运动，如图所
示，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点。则该质点第三次经过M点所需要的时间是( )
A.8 s B.4 s
C.14 s D. s【解析】选C、D。设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位
移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历
时3 s，M→b→M过程历时2 s，显然 s，T=16 s，质点第
三次经过M点所需要的时间Δt3=T-2 s=16 s-2 s=14 s，C正
确。若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过
程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然， s，
T= s，质点第三次再经过M点所需要的时间Δt3=T-2 s
D正确。【变式备选】一个做简谐运动的质点，其振幅是4 cm，频率
是2.5 Hz，该质点从平衡位置经过2.5 s后的位移大小和路程
是( )
A.4 cm，24 cm B.4 cm，100 cm
C.0，24 cm D.0，100 cm
【解析】选B。因为质点做简谐运动的频率是2.5 Hz，所以周
期是0.4 s，质点从平衡位置经过2.5 s是 周期，因此位
移大小是4 cm，路程是4×4×(6+ )cm=100 cm。 二、对简谐运动图像(x-t图像)的理解
1.图像的意义：图像反映了做简谐运动的质点位移随时间的变化规律，并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线，但其x-t图像是一条正弦(或余弦)曲线。2.由图像可以得出的量：
简谐运动的图像如图所示，由此可以得出：
(1)由图像可以直接读取振幅A；
(2)由图像可以直接读取周期T,进而求出频率f；
(3)由图像可知质点在不同时刻的位移；(4)x-t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度，斜率的绝对值为速度的大小，斜率的正负为速度的方向。所以，图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度方向为负，t2时刻速度方向也为负；
(5)从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。3.对称性：
(1)空间的对称性：经过平衡位置两侧的对称点时位移的大小相等,方向相反;速度的大小相等,方向有时相同,有时相反。
(2)时间的对称性：不论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间都相等。4.周期性：
做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就是说其运动具有周期性。不同的简谐运动,其周期一般是不同的。根据简谐运动的周期性可作出判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+ 则t1、t2两时刻振动物体所处的位置关于平衡位置对称,描述运动的物理量(x、F、a)大小相等,方向相反。(3)若t2-t1=nT+ 或t2-t1=nT+ 则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。【学而后思】
(1)如何根据简谐运动的图像判断质点任意时刻的位移大小和方向？
提示：判断质点任意时刻位移的大小看质点离开平衡位置距离的大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小,方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。图中，t1时刻质点的位移比t2时刻质点的位移大，t1时刻位移方向为正，t2时刻位移方向为负。(2)如何根据简谐运动的图像判断质点任意时刻加速度(回复力)的大小和方向？
提示：由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。所以，图中t1时刻质点的加速度(回复力)比t2时刻质点的加速度(回复力)大，t1时刻加速度(回复力)方向为负，t2时刻加速度(回复力)方向为正。【典例2】(2013·烟台高二检测)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是4 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝3 s时，质点所受的合外力最大【解题探究】(1)振幅表示振动物体离开平衡位置的_____
_____。
周期表示振动物体完成___________经历的时间。
(2)如何确定做简谐运动的质点在某一时刻所受合力及加速度的大小？
提示：可以根据质点在某一时刻位移的大小确定回复力的大小，由此确定加速度的大小。最大距离一次全振动【标准解答】选B、C。由图可知质点的振幅为2 cm，质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz，A错，C对；t＝2 s时，质点离开平衡位置的距离最大，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大，B对；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，合外力不能确定，D错。【变式训练】一质点做简谐运动时，
其振动图像如图所示。由图可知，
在t1和t2时刻，质点运动的( )
A．位移相同
B．回复力相同
C．速度相同
D．加速度相同【解析】选C。从题图中可以看出在t1和t2时刻，质点的位移大小相等、方向相反。由公式F=-kx可知，在t1和t2时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，A、B、D错误；在t1和t2时刻，质点速度方向相同，由于位移大小相等，所以速度大小相等，C正确。 三、对简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ0)的理解
1.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示质点振动的时间。
2.式中A表示振幅,描述的是振动的强弱。
3.式中ω叫做圆频率,它与周期、频率的关系为
可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
4.式中(ωt+φ0)表示相位，描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体又多完成了一次全振动。【学而后思】
同一简谐运动用正弦和余弦函数表示时有何不同？
提示：如弹簧振子从平衡位置开始计时其位移—时间关系可
表示为：x=Asinωt，用余弦函数可表示为x′=
可见同一振动用不同函数表示时相位不同。【典例3】某物体做简谐运动，其位移与时间的变化关系式为x=10sin5πt cm，由此可知：
(1)物体的振幅为多少？
(2)物体振动的频率为多少？
(3)在t=0.1 s时，物体的位移是多少？【解题探究】(1)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ0)中A表示
_____, ω表示_______，它与频率的关系为________。
(2)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ0)中x表示振动质点相对
于平衡位置的_____,t表示质点振动的_____。振幅圆频率ω=2πf位移时间【标准解答】将本题中表达式x=10sin5πt cm与简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ0)对应项比较，可得：
(1)振幅A=10 cm。
(2)振动频率
(3)t=0.1 s时，
位移x=10sin(5π×0.1) cm=10 cm。
答案：(1)10 cm (2)2.5 Hz (3)10 cm【总结提升】用x=Asin(ωt+φ)解题的方法
1.首先要明确表达式中各物理量的意义。
(1)A表示简谐运动的振幅。
(2)ω是做简谐运动的角速度。
(3)ωt+φ代表简谐运动的相位，φ是初相位。
2.根据 确定三个描述振动快慢的物理量的关系。
3.根据表达式求解某时刻的位移。
4.对于同一质点的振动，不同形式位移表达式初相位并不同。【变式训练】物体A做简谐运动的振动位移为
物体B做简谐运动的振动位移为 比较A、B的运动可知( )
A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B.周期是标量，A、B的周期相等，均为100 s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB【解析】选C。振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、
10 m，但振幅分别是3 m、5 m，选项A错误；周期是标量，
A、B的周期 选项B错误；因为
TA=TB，故fA=fB，选项C正确，选项D错误。【典例】一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则正确的说法
是( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移大小相等、方向相同，
则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度大小相等、方向相同，
则Δt一定等于 的整数倍
C.若Δt=T，则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定
相等
D.若Δt= 则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等【标准解答】选C。做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，所以A选项错误。当振子沿同一方向经过关于平衡位置对称的两位置时，其速度的大小、方向均一样，所以B选项错误。根据简谐运动的对称性知，C选项正确。当振子先后出现在两个端点时，恰相隔半个周期，而弹簧的长度不等，所以D选项错误。关于简谐运动图像理解的两个误区
误区1：误认为随着时间的推移位移一定越来越大
产生误区的原因是对简谐运动中的位移定义方式与直线运动中位移定义方式的不同分辨不清。简谐运动中的位移的大小指的是离开平衡位置距离的大小，而直线运动中的位移大小等于从初位置到末位置的距离大小。误区2：误认为只要质点做简谐运动的时间是 的整数倍，速度就一定是最大值
其原因是始终认为开始计时时，质点一定在平衡位置。质点开始计时的位置是任意的，在不同位置开始计时，效果是不同的。【典例】一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm。振子的平衡位置位于x轴上的O点。如图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态。黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向。如图给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像的是( )A.若规定状态a时t＝0，则图像为①
B.若规定状态b时t＝0，则图像为②
C.若规定状态c时t＝0，则图像为③
D.若规定状态d时t＝0，则图像为④【解析】通过以下表格进行逐项分析：课件63张PPT。第3节 单 摆
第4节 生活中的振动1.简谐运动：物体所受回复力的大小与位移大小成_____,并且
总是指向_________的运动。
2.回复力的作用效果总是要把振动物体拉回到_________。
3.回复力来源：可能是几个力的_____,也可能是由某一个力或
某一个力的_____来提供。正比平衡位置平衡位置合力分力一、单摆的运动
1．单摆是一种理想化的模型：
(1)细线形变要求：细线的_____可以忽略。
(2)细线与小球质量要求：细线质量与小球质量相比可以_____。
(3)小球密度要求:小球的密度较___。
(4)线长度要求：球的直径与线的长度相比可以_____。
(5)受力要求：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气对它的
阻力可以_____。
(6)摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角小于____。 伸缩忽略大忽略忽略5°2.单摆的回复力：
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的_____。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力的大小
与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，方向总指向_______
___，即
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做_____运动，其振动图像遵
循_________________规律。 分力平衡位置简谐正弦(或余弦)函数二、单摆的周期
1.影响单摆周期因素的实验探究：
(1)探究方法：_________法。
(2)实验结论：
①单摆周期与摆球质量__(A.有关 B.无关)。
②单摆周期与振幅__(A.有关 B.无关)。
③单摆的摆长越长，周期_____；摆长越短，周期_____。控制变量BB越长越短2.周期公式及应用：
(1)周期公式是荷兰物理学家_______首先提出的。
(2)单摆的等时性：单摆做简谐运动时，其周期与振幅__(A.有
关 B.无关)。
(3)公式： ，即T与摆长l的二次方根成_____，与重力
加速度g的二次方根成_____。 惠更斯B正比反比(4)应用：
①计时器(摆钟)：
a.原理：单摆的_____性。
b.校准：调节_____可调节钟表的快慢。
②测重力加速度：
由 得，g= ，即只要测出单摆的_____和_____，
就可以求出当地的重力加速度。等时摆长摆长周期三、阻尼振动
1.定义：指振幅不断_____的振动。
2.产生的原因：振动系统克服摩擦力和其他阻力做功，系统的
机械能不断减小，振幅也不断_____，而且振动系统受到的阻
力越大，振幅减小得_____。 减小减小越快3.阻尼振动的振动图像：如图所示，阻尼振动的振幅_______
___，最后停止运动。
4.应用：在实际问题中，如果要求系统很快回到平衡位置，就
需要_____阻力；如果希望物体在某段时间内的运动接近简谐
运动，则应_____阻力。 越来越小增大减小四、受迫振动和共振
1.受迫振动：
(1)驱动力：给振动物体施加的一个_______的外力。
(2)受迫振动：在_______外力作用下的振动。
(3)受迫振动的周期或频率：物体做受迫振动时,振动稳定后的
周期或频率总等于_______的周期或频率,与物体的固有周期或
固有频率无关。 周期性周期性驱动力2.共振：
(1)条件：驱动力的频率等于物体的_________。
(2)特征：共振时，物体振动的振幅最__(A.大B.小)。
(3)共振曲线：如图所示。 固有频率A(4)共振的应用和防止：
①应用：在应用共振时，应使___________接近或等于振动系
统的_________，振动将更剧烈，如音叉共鸣箱、核磁共振
仪、转速计、共振筛等。
②预防：在防止共振时，驱动力频率与系统的_________相差
越大越好，如火车过桥时减速；轮船航行时,常通过改变轮船
的航向和速率,使海浪冲击力的频率与轮船的固有频率相差很
大,防止发生共振现象。 驱动力频率固有频率固有频率【思考辨析】
1.判断正误：
(1)单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力与悬线对摆球的拉力的合力。( )
(2)单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力在圆弧切线方向上的分力。( )
(3)单摆的摆球经过平衡位置时加速度等于零。( )
(4)受迫振动稳定后的频率与物体的固有频率无关。( )提示：(1)×，(2)√。单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向上的分力；(3)×。摆球经过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，加速度不为零，有向心加速度；(4)√。物体做受迫振动时,振动稳定后的周期或频率总等于驱动力的周期或频率,与物体的固有周期或固有频率无关。2.问题思考：
(1)2012年6月“神舟九号”飞船与“天宫
一号”空间站成功对接。假设中国第一位
女宇航员刘洋将一个摆钟(如图)带到空间
站内，则该摆钟的钟摆周期如何变化？
提示：在空间站内摆钟完全失重，回复力
为零，等效值g′=0，摆钟不摆动了，周
期无穷大。(2)用扁担挑水时，有时桶里的水会荡得厉害，甚至从桶中溅出来，这是为什么？如何避免这一现象的发生？
提示：挑水时，由于行走时肩膀的起伏，人通过扁担对水桶作用，使水受到驱动力而做受迫振动，当驱动力的频率接近(或等于)桶里水的固有频率时，水桶里的水就发生共振，所以水会荡得厉害，以至于飞溅出来。为了避免发生这种现象，就要使驱动力的频率尽量与桶里水的固有频率相差变大，解决的办法有改变行走的步频或停止走动片刻，也可以在桶里放些漂浮物，增大阻力，使振动系统克服阻力做功，消耗部分机械能，以减小水的振幅。一、对单摆做简谐运动的理解
1.单摆做简谐运动：如图所示：(1)O点为单摆
的最低点，即平衡位置。在任意位置P,有向线
段 为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向
的分力G1=Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复
运动的回复力。(2)在摆角很小时， G1方向与摆球
位移方向相反，所以回复力表示为 令
则F=-kx。因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。(摆角一
般不超过5°)2.单摆做简谐运动的规律：单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线。
回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与弹簧振子相同。例如，当摆球到达最低点(平衡位置)时，位移、回复力、水平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点(最大位移处)时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零。【学而后思】
(1)单摆在摆动过程中，受什么力？摆球所受的合外力是否是回复力？
提示：单摆在摆动过程中，受到重力和拉力共两个力的作用，摆球所受的合外力不是回复力，单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)单摆在任何情况下的摆动都是简谐运动吗？
提示：单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动。【典例1】下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零【解题探究】(1)简谐运动中的位移是如何定义的？
提示：简谐运动中的位移是以平衡位置为坐标原点,以振动所
在的直线为坐标轴,规定正方向,则某一时刻振子的位移用该时
刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)单摆摆动时，其回复力是由摆球的_____________________
_____提供。重力沿圆弧切线方向的分力【标准解答】选C。简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A错；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，B错，C对；合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，D错。 【变式训练】单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
【解析】选A、B、C。单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确；但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ＜5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动，故D错误。 二、对单摆周期公式 的理解
1.摆长l：单摆的摆长是从悬点到摆球球心的长度，即l=
其中L为摆线长，d为摆球直径。
2.重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且处于静止状
态，g由单摆所处的空间位置决定，即 式中R为物体
到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化
而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不
同,g=9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。 【学而后思】
(1)图(a)中甲摆的周期为多少？图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，周期为多少？乙在纸面内小角度摆动时，周期又为多少？提示：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，
所以甲摆的等效摆长为l·sinα,其周期 图(b)
中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效，其周期
乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效，其周期(2)如图，在一倾角为θ的光滑的斜面上，一个单摆一端固定于O1点，摆线长为l，其周期为多少？
提示：球静止在O点时，FT=mgsinθ，等效重力加速度g′=
=gsinθ，故其周期为【典例2】一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。【解题探究】(1)摆球在左边和右边的周期是否相同，为什么？
提示：不相同，因为在左边和右边的摆长不相同。
(2)如何确定单摆的周期？
提示：单摆的振动周期等于在左边和右边两个摆长的周期和的一半。【标准解答】摆球释放后到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
小球在左边的周期为
小球在右边的周期为
则整个单摆的周期为
答案：【总结提升】求单摆周期的方法
(1)明确单摆的运动过程,看是否符合简谐运动的条件。
(2)在运用 时,要注意l和g是否发生变化,如果发生变化,则分别求出不同l和g时的运动时间。
(3)改变单摆振动周期的途径:
①改变单摆的摆长;
②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。
(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。【变式训练】若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,
摆球经过平衡位置的速度减小为原来的 则单摆振动的( )
A.频率不变,振幅不变
B.频率不变,振幅改变
C.频率改变,振幅改变
D.频率改变,振幅不变
【解析】选B。摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减
小,由 可得单摆振动的频率与摆球的质量和振
幅无关,故B正确。 【变式备选】(2013·桂林高二检测)如图所示为一单摆的共振曲线，摆球的质量为0.1 kg，求：
(1)该单摆的摆长为多少？
(2)摆球运动过程中由回复力产生的最大加速度是多大？【解析】(1)由图像知单摆的固有频率为0.50 Hz，即T=2 s，
根据 得 =0.99 m。
(2)设摆线与竖直方向最大偏角为θ，因摆线与竖直方向偏角
很小，所以sinθ≈θ≈ 最大加速度a=gsinθ=
= m/s2=0.79 m/s2。
答案：(1)0.99 m (2)0.79 m/s2 三、利用单摆测重力加速度
1.实验原理：单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成
是简谐运动。其固有周期为 由此可得 据
此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度
值。2.实验步骤：
(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的
结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处
做上标记。
(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量
出摆球的直径d，则单摆的摆长l=l线
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释
放摆球，当单摆振动稳定后，过平衡位置时开始用秒表计时，
测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测
出相应的摆长l和周期T。 3.数据处理：
(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式
中求出g值，最后求出g的平均值。设计如表所示
实验表格。(2)图像法：由 得 作出T2-l图像，即以T2为
纵轴,以l为横轴，其斜率 由图像的斜率即可求出重力
加速度g。【学而后思】
为了减小测量单摆的周期而产生的误差，应该从摆球经过什么位置开始计时较好？
提示：要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。 【典例3】在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出如下建议，其中对提高测量结果精确度有利的是( )
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期【解题探究】(1)单摆看作简谐运动的条件：摆角_________
______。
(2)减小误差的基本方法：_________________。一般不超过5°多次测量求平均值【标准解答】选A、C。单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度。适当加长摆线，有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，A对。摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球影响越大，B错。摆角应小于5°，C对。本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动的时间，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，D错。【变式训练】某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，
测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值。
造成这一情况的可能原因是( )
A．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长
B．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球
第30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由
计算式 求得周期
C．开始摆动时振幅过小
D．所用摆球的质量过大【解析】选B。由 得 g值偏大说明l偏大或
T偏小。把悬挂状态的摆线长当成摆长，会使l偏小，g值偏
小，A错；摆球第30次通过平衡位置时，实际上共完成15次全
振动，周期 误认为30次全振动，T变小引起g值明显偏
大，B对；单摆周期与振幅和摆球质量无关，C、D错误。 四、几种机械振动的比较
1.阻尼振动与简谐运动的比较：2.自由振动、受迫振动、共振的比较：【学而后思】
(1)物体做阻尼振动时，其周期是否随振幅的减小而变化?
提示：物体做阻尼振动时，振幅虽然逐渐减小，但其周期由自身结构决定，并不会随振幅的减小而变化。
(2)受迫振动的频率是否一定等于驱动力的频率?
提示：不一定，只有当受迫振动达到稳定时，其频率才等于驱动力的频率。【典例4】如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹
簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧
振子上下振动。问：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，
然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s
内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？【解题探究】(1)不转动把手和转动把手，振子的振动有什么区别?
提示：不转动把手时振子做自由振动，转动把手时振子做受迫振动。
(2)振子做受迫振动，振动正常时，振动的频率由什么决定?
提示：振动的频率等于驱动力的频率。【标准解答】(1)根据题意振子做自由振动
由于摩擦力和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动。
(2)振子做受迫振动。由于把手转动的转速为4 r/s,即驱动力频率为f驱=4 Hz，周期T驱=0.25 s。弹簧振子振动达稳定状态后，其周期等于驱动力的周期,T=T驱=0.25 s。
(3)处于共振状态时，若要弹簧振子的振幅最大，必须使驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱=f固=2 Hz，故把手的转速应为2 r/s。
答案：见标准解答【变式训练】洗衣机在把衣服脱水完毕关闭电源后，电动机还要转动一会儿才能停下来。在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较小，然后有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减小直到停下来。其间振动剧烈的原因是( )
A.洗衣机没有放平稳
B.电动机有一阵子转快了
C.电动机转动的频率和洗衣机的固有频率相近或相等，洗衣机发生共振
D.这是一种偶然现象【解析】选C。洗衣机脱水时，电动机转速很快，频率很大，远大于洗衣机的固有频率，因此不会发生共振现象。当脱水终止后，电动机转速减小，频率也在不断减小，这期间肯定有一段时间频率接近或等于洗衣机的固有频率，从而发生共振现象，反映在宏观上就是洗衣机剧烈振动。【典例】(2013·洛阳高二检测)如图所示是一个单摆的共振曲线。
(1)若单摆所处的环境重力加速度g=9.8 m/s2，试求此摆的摆长。
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？ 【标准解答】(1)由题图可知，单摆的固有频率f=0.3 Hz，由
频率公式 得
(2)由 知，单摆移到高山上，重力加速度g减小，其
固有频率减小，故共振曲线的“峰”向左移动。
答案：(1)2.8 m (2)向左移动对单摆理解的五个误区
误区1：误认为摆线的长度即为摆长
产生误区的原因是在实际问题中把摆球看作了质点，忽略了摆球的大小，但在实验中摆球的大小是不能忽略的。
误区2：误认为单摆做的一定是简谐运动
其原因是忽略了单摆做简谐运动的条件，只有摆角小于5°时，才可以看作简谐运动。误区3：误认为摆角越大，周期越长
这是由于只分析了弧长的变化，忽略了速度大小的变化，实际上偏角越大，回复力越大，加速度(gsinα)越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关。
误区4：误认为摆球所受的合力提供回复力
其原因是弹簧振子的影响，弹簧振子所受的合外力提供回复力，由于惯性思维，误认为单摆的回复力也是由摆球所受的合外力提供的，其实是由重力沿圆弧切线方向的分力提供的。误区5：误认为摆球经过平衡位置时所受合力为零
产生该误区是由于摆球经过平衡位置时回复力为零，误认为合外力为零。此时摆球所受的合力竖直向上指向悬点，有向心加速度，合外力产生向心加速度。 【典例】关于单摆，下列说法正确的是( )
A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B.摆球受到的回复力是它所受的合力
C.摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D.摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比【解析】通过以下表格进行逐项分析：课件25张PPT。阶段归纳整合
第1章一、关于平衡位置需认清的几个问题
1.平衡位置是回复力为零的位置。
2.平衡位置不一定是合力为零的位置，当摆球运动到平衡位置时单摆受力是不平衡的；处在加速上升电梯里的单摆停止摆动后仍存在向上的加速度，受力是不平衡的。3.不同振动系统平衡位置不同：弹簧振子处于平衡位置时，弹簧不一定处于原长，比如竖直方向放置的弹簧振子，平衡位置是其弹力等于重力的位置；而单摆的平衡位置也不一定是在竖直的最低点，如在水平匀强电场和重力场共同作用下的单摆，平衡位置在电场力与重力的合力方向上。【典例1】如图所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力是fm，在劲度系数为k的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动。为使小车能跟木块一起振动，不发生相对滑动，简谐运动的振幅不能大于( )
A． B．
C． D．【标准解答】选A。小车做简谐运动的回复力是木块对它的
静摩擦力。当它们的位移最大时，加速度最大，受到的静摩
擦力最大。为了不发生相对滑动，达到最大位移时，小车的
最大加速度 此即系统一起振动的最大加速度，对整
体达到最大位移时的加速度最大，回复力kA＝(M+m)a，则振
幅【变式训练】如图所示，A、B叠放在光滑水平地面上，B与自
由长度为L0的轻弹簧相连，当系统振动时，A、B始终无相对滑
动，已知mA＝3m，mB＝m，当振子距平衡位置的位移 时，
系统的加速度为a，求A、B间摩擦力f与位移x的函数关系。【解析】设弹簧的劲度系数为k，以A、B整体为研究对象，系
统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力作为系统的回复
力，所以系统运动到距平衡位置 时， ①
当系统的位移为x时，A、B间的静摩擦力为f，此时A、B具有共
同加速度a′，对系统有
kx＝(mA＋mB)a′ ②
对A有f=mAa′ ③
联立①②③得
答案：二、简谐运动的往复性、周期性和对称性
1.空间周期性：
(1)在同一位置时，振子的位移相等，回复力、加速度、动能和势能也相等；速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(2)在关于平衡位置的对称点，位移、回复力和加速度等大反向；速度大小相等，方向可能相同或相反；动能与势能的大小均相等。2.时间周期性：经过t=nT(n为正整数)，质点回到出发点，所有的运动描述量完全相同。
经过 (n为正整数)，质点所处位置必定与原来的位置关于平衡位置对称，所有的运动描述量大小相等，如果为矢量，则方向相反。【典例2】一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经过0.1 s质点第二次通过M点，则质点振动周期为( )
A.0.24 s B.0.62 s C.0.72 s D.0.92 s【标准解答】选A、C。有两种可能：(1)如图甲，质点从O到
M，然后经最右端A再返回M点，由对称性可求周期为T=4×
(0.13 s+0.05 s)=0.72 s；(2)如图乙，质点由O点经最右方A
点后向左经过O点到达M点，然后由M点向左经最左端A′返回M
点，同理可求周期 =0.24 s，所以
A、C正确。【变式训练】一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为
A，设振子第一次从平衡位置运动到 处所经最短时间为
t1，第一次从最大正位移处运动到 所经最短时间为t2，
关于t1与t2，以下说法正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1C．t1>t2 D．无法判断
【解析】选B。振子从平衡位置到达 处和从最大位移处到达
处，位移的大小相同，设两个过程的平均速度分别为v1和
v2，则v1>v2，由 可知，t11.单摆周期公式中的g：
(1)只受重力和绳拉力，且悬点静止或做匀速直线运动的单摆，g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。
(2)单摆处于超重或失重状态，等效重力加速度g＝g0±a，其中g0为单摆所在处的重力加速度，如在轨道上运动的卫星a＝g0，完全失重，等效g＝0。2.含有其他作用力的单摆的周期：
(1)若该作用力对单摆的回复力没有影响，则周期仍然不变。
如悬点处有带正电的点电荷，而摆球带正电，此时库仑力沿摆
线方向，不影响回复力，周期与不带电时一样。
(2)若该作用力为一恒力，等效g的取值为单摆不摆动时，摆线
的拉力F与摆球质量m的比值，即等效【典例3】有一秒摆，摆球带负电，在如图所示的匀强磁场中做简谐振动，则( )
Ａ.振动周期T0=2 s
Ｂ.振动周期T0>2 s
Ｃ.振动周期T0<2 s
Ｄ.无法确定其周期大小【标准解答】选A。秒摆的周期为2 s，加上磁场后，摆球在运动过程中受到洛伦兹力作用，但洛伦兹力始终沿绳子方向，与摆球运动方向垂直。因此对摆球做简谐振动不起作用，所以摆球的周期不变。应选A项。【变式训练】如图所示,将摆长为l的单摆放在一升降机中,若升降机以加速度a匀加速上升,求单摆的摆动周期。【解析】单摆的平衡位置在竖直位置,若摆球相对升降机静止,
则单摆受重力mg和绳拉力F,根据牛顿第二定律得:F-mg=ma。此
时摆球的视重mg′=F=m(g+a)。所以,单摆的等效重力加速度
因而单摆的周期
答案:四、共振
1.共振曲线：如图所示,横坐标为驱动力频率f驱,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响,由图可知,f驱与f固越接近,振幅A越大;当f驱＝f固时,振幅A最大。 2.受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。发生共振时,驱动力对振动系统总是做正功,总是向系统输入能量,使系统的机械能逐渐增加,振动物体的振幅逐渐增大。当驱动力对系统做的功与系统克服阻力做的功相等时,振动系统的机械能不再增加,振幅达到最大。【典例4】如图表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A.驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
B.驱动力频率为f3时，振子稳定振动频率为f3
C.假如让振子自由振动，它的频率为f2
D.振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3【标准解答】选A、B、C。由题图知，弹簧振子的固有频率为f2，故当驱动力的频率等于f2时，振子发生共振，A正确。振子自由振动的频率为固有频率，C正确、D错误。当驱动力的频率为f3时，振子做受迫振动，稳定振动时振动频率等于驱动力的频率f3，B正确。【变式训练】铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,匀速运动的列车经过轨端接缝处时,车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等,所以这个冲击力是周期性的,列车由于受到周期性的冲击力做受迫振动。普通钢轨长为12.6 m,列车的固有振动周期为0.315 s。下列说法正确的是( )
A.列车的危险速率为40 m/s
B.列车过桥需要减速,是为了防止列车与桥发生共振现象
C.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D.增加钢轨的长度有利于列车高速运行 【解析】选A、B、D。对于受迫振动,当驱动力的频率与固有频
率相等时发生共振现象,所以列车的危险速率 ＝40 m/s,
A正确;为了防止共振现象发生,过桥时需要减速,B正确;列车运
行时的振动频率总等于驱动力的频率,只有共振时才等于列车
的固有频率,C错误;由 可知,L增大,T不变,v变大,所以D
正确。
