长春市绿园区2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题答案
2023年5月
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.BC 10.BCD 11.AC 12.ABD
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14. 2
15. （2，1，3） 不唯一 16． 9π
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.(1)因为，所以；
因为，所以；
(2)因为，共线，所以，
所以或（舍）；
当时，，所以为直角三角形.
18.解 ＝×3×4×6＝36(cm3)．
设圆柱底面圆的半径为r，则r＝
＝＝1，
＝πr2h＝6π(cm3)．
所以V＝＝(36－6π)cm3.
19．（1）取的中点，连接，
因为F为CD的中点，
所以∥，，
因为平面ACD，平面ACD，
所以∥，
所以∥，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
（2）因为为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
因为平面ACD，平面ACD，所以，
因为，所以平面，
因为∥，所以平面，
因为平面，所以平面平面
20. (1)是高，，在Rt中，，
所以.
是中线，，
，
(2)，
.
另解：过D作交于，
是的中点，是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，
.
21.（1）解：，
，即，，
又，，，
，
，
，即，
，解得．
（2）解：由正弦定理得，，
，，，
， ，
则
，
为锐角三角形，，
，，，
即．
22.【详解】(1)因为，是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，,
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2) 因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3) 假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
所以，所以，，， 四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.长春市绿园区2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
2023年5月
本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷 客观题
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 复数，其中为虚数单位，则在复平面内的对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
B.
C. D.
3. 圆锥的母线长是3，侧面积是，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. 2 D.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3 B．2 C. D．5
5. 中，角、、的对边分别为、、，并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 一个正四面体展开图如图所示，A，B分别为正四面体的两个顶点，M，N分别是正四面体两条棱的中点，则在原来的正四面体中，直线AB和MN所成角为（ ）
30° B. 45°
C. 60° D. 90°
堑堵和阳马都是中国古代算数中的几何体，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为长方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，在如图所示的堑堵中，面积最大的侧面是边长为2的正方形，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B．
C．1 D．
8.在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点.给出下列四个结论，错误的是（ ）
存在点，使得//平面
对于任意的点，平面⊥平面
存在点，使得⊥平面
对于任意的点，四棱锥的体积均不变
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，其中正确的命题是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则△ABC为等腰三角形
B. 若，， ，则△ABC有两解
C. 若，则△ABC为钝角三角形
D. 若，则
11. 如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱、、上的截点分别是，，，则截面可以是（ ）
等边三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 直角三角形
12. 如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）
A. 四面体的体积的最大值为1
B. 存在某一位置，使得
C. 异面直线，所成的角为定值
D. 当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的______倍．
14. 若复数 （，i为虚数单位）的实部和虚部相等，则m=______．
15. 如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
写出平面的一个法向量 __
16．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为__ __．
第Ⅱ卷 主观题
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17. 在中，是角所对的边，且满足
（1）求角的大小；
（2）设向量，向量，且向量共线，判断的形状.
18. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm,5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
19. 如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证：
(1)平面BCE；
(2)平面平面CDE.
20. 如图，在中，是边的中点，与交于点.
（1）求和的长度；
（2）求.
21. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
(1)求c；
(2)求的取值范围．
22.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
