上海市三校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（含解析）

上海市三校2022-2023学年高一下学期5月联考
数学试卷
2023.05
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则__________.
2.已知，若，则实数的值为__________.
3.已知正实数满足，则的最小值为__________.
4.已知，且为第四象限角，则__________.
5.方程的解集是__________.
6.已知向量与的夹角为，则在方向上的数量投影为__________.
7.在中，所对边分别为，若，则__________.
8.已知函数的部分图像如图所示，则__________.
9.已知函数的零点有且仅有一个，则实数的取值集合为__________.
10.设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有，则的最小值为__________.
11.如图，在中，为的中点，为上点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________.
12.函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是__________.
二 选择题（本大题共有4小题，满分18分，4+4+5+5）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是止确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格梌黑，选对得满分，否则得0分.
13.用反证法证明命题“若为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A.方程至多有一个实根方程
B.方程恰好有两个实根
C.方程至多有两个实根
D.没有实根
14.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（ ）
A. B. C. D.
15.已知向量满足，且，则中最小的值是（ ）
A. B. C. D.不能确定的
16.设函数，记则（ ）
A. B.
C. D.
三 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数的最小正周期为
（1）求的值；
（2）求该函数的弚调增区间
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
函数的定义域为
（1）设，求的取值范围；
（2）求函数的值域
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知 道德观念 实践经验，生活理想和审美情趣.现有一张矩形卡片ABCD，对角线长为（为常数），从中裁处一个内接正方形纸，使得点分別在上.设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为
（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；
（2）当变化时，求的最大值及对应的值
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知向量
（1）当时，求的值
（2）当时，方程有解，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求正数的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且
（1）求边的长度
（2）求的面积
（3）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于，若，求的值
上海市三校2022-2023学年高一下学期5月联考
数学试卷 答案
2023.05
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】
2.【答案】2
【解析】
3.【答案】8
【解析】
当且仅当时，取到等号
4.【答案】
【解析】由题意知
5.【答案】
【解析】
或
6.【答案】3
【解析】在方向上的数量投影为
7.【答案】
【解析】
8.【答案】2
【解析】由图可知
且，即
山于，所以，则
所以
依题意，即
所以，所以
所以
9.【答案】
【解析】由题意知，函数为偶函数，又零点有且貝有一个，故函数零点只能为
即，解得
10.【答案】7
【解析】函数
对任意实数，具有
的最小正周期为
因为是正整数，则的最小值为7
11.【答案】
【解析】在△ABC中，D为AB的中点，因为C，P，D三点共线，
设
又因为，所以
所以，所以，所以
因为，所以
将代入，得，即
所以
（当且仅当时，等式成立），所以的最小值为
12.【答案】
【解析】因，又当时，
当时，
当时，
当时，由，解得或
显然当时，
对任意，都有，必有
所以的最大值是
二 选择题（本大题共有4小题，满分18分，4+4+5+5）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则得0分.
13.【答案】D
【解析】至少一个实根的对立面是方程至多有0个实根，即为方程没有实根故选D
14.【答案】B
【解析】角的终边上有一点，由三角函数的定义知，
所以
将四个选项依次代入检验即可
故选B
15.【答案】B
【解析】向量满足，可得
同理
故选B
16.【答案】B
【解析】因为在上单调递增，
因为在上单调递增，在上单调递减
因为在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数
即在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数
又
后续同理
则
故选B
三 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）因为函数的最小处周期为
（2）
则函数的单调增区间为
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，在上单调递增，所以
（2）函数可化为
在上单调递减，在上单调递增
时，
时，
则函数的值域为
19.【答案】（1）（2）
【解析】（1）设正方形的边长为，则
则，即
整理得到
当时，
（2）
，则
则
此时
20.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），
（2）令，因为，
所以，所以，
即
又因为当时，方程有解
所以当时，方程有解
所以
又因为，当且仅当，即时取等号
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以实数的取值范围是
（3）由（1）知
其中
H.恒成立
所以在上恒成立
即在上恒成立
又因为
所以
令
解得
所以
所以
因为为正实数，所以正数的取值范围为
21.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由已知条件可知
在：中，由正弦定埋
得
在中，由余弦定理得
得
，又
（2）设
为边上中线，
则
①
或
由①得
（3）为中点，
设
又三点共线
展开得到
即①
①整理为，②
又③
且
由②③④得