第八章 §8.2 立体图形的直观图 --高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
§8.2　立体图形的直观图
第八章　立体几何初步
学习目标
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点)
2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.
(难点)
导语
北京冬奥会的场馆是不是很美？“冰立方”“雪如意”等一个个极富创意和科技含量的竞赛场馆让我们从不同的角度领悟了空间几何体的美.正如苏轼在《题西林壁》中写的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.为了将这些空间几何体画在纸上，使我们能根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识.
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
二、空间几何体的直观图的画法
三、直观图的还原与计算
随堂演练
内容索引
水平放置的平面图形的直观图的画法
一
问题1　我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？
提示　在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图1所示，
当将两坐标轴的夹角不是90°时，如图2所示，台面看起来就是平行四边形了.
知识梳理
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴或
y′轴的线段
保持原长度不变
一半
例1
(课本108页例1)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
(1)如图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.
在图(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝ MN.
以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；
再以M′为中点，画F′E′平行于x′轴，并且等于FE.
(3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图(3)).
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，(1)一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.(2)原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.(3)确定多边形顶点的位置.(4)借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1
用斜二测画法画水平放置的边长为4 cm的正三角形(如图)的直观图.
(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝ OA.
连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC水平放置的直观图，如图②所示.
空间几何体的直观图的画法
二
问题2　我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？
提示　先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图.
知识梳理
1.立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴.
(2)画底面：平面 表示水平平面，平面 和_________
表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中___
和 都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
z
z′
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平
行性
长度
虚线
2.圆柱的直观图的画法步骤
(1)画轴：画x轴，z轴，使∠xOz＝ ，
(2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面.
(3)画上底面：在Oz上截取点O′，使OO′等于侧面 ，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似于下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A′，B′.
(4)成图：连接AA′，BB′，整理得到圆柱的直观图.
90°
母线长
3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的 ，再借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的 母线.
4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的 ，它们的直观图是椭圆.
底面
两条
截面圆
例2
(1)(课本109页例2)已知长方体的长、宽、高分别是3 cm,2 cm,1.5 cm，用斜二测画法画出它的直观图.
①画轴.如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3 cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1 cm.过点B作y轴
的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则 ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
③画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5 cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段BB′，CC′，DD′.
④成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了，如图(2)所示.
(2)(课本111页例4)某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，画出这个组合体的直观图.(尺寸自定)
如图(1)，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图，如图(2).
反思感悟
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
直观图的还原与计算
三
例3
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为__________.
菱形
如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的 倍.
跟踪训练2
已知等边△ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为
√
方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，
所以△A′B′C′的面积是
课堂
小结
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
随堂演练
1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
√
√
斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
1
2
3
4
2.若利用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应
A.平行于z′轴且大小为10 cm
B.平行于z′轴且大小为5 cm
C.与z′轴成45°且大小为10 cm
D.与z′轴成45°且大小为5 cm
√
平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.
1
2
3
4
3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为_____.
2.5
由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所以所求中线长为2.5.
1
2
3
4
4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是_____.
16
由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.
又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8.
1
2
3
4
本课结束