第八章§8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积
学习目标
1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点)
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几
何体的表面积与体积.(重点、难点)
导语
前面我们认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，而且我们在初中学习了正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法.对于一般的棱柱、棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
三、简单组合体的表面积和体积
随堂演练
内容索引
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
一
问题1　我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，多面体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？
提示　长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
知识梳理
多面体的表面积就是围成多面体 的面积的 .棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
各个面
和
例1
已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，
其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，
则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底
反思感悟
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
跟踪训练1
(课本114页例1)如图，四面体P－ABC的各棱长均为a，求它的表面积.
棱柱、棱锥、棱台的体积
二
知识梳理
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的___
棱锥 V棱锥＝ Sh S为棱锥的 ，h为棱锥的___
棱台 S′，S分别为棱台的____________
，h为棱台的___
底面积
高
底面积
高
上、下底面面
积
高
问题2　观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？
提示　
例2
(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
√
设三棱锥B1－ABC的高为h，
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，
取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13(cm).
在直角梯形EOO1E1中，
故该正四棱台的体积为
反思感悟
求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题.
跟踪训练2
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为______.
，
又三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，
简单组合体的表面积和体积
三
例3
(课本115页例2)如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)？(计算漏斗的容积时，不考虑漏斗的厚度)
由题意知V长方体ABCD－A′B′C′D′＝1×1×0.5＝0.5(m3)，
反思感悟
(1)求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
反思感悟
(2)常见的几何体体积求法.
跟踪训练3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥
A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积
S＝ ＋3S△DBC＋
几何体A1B1C1D1－DBC的体积V＝
课堂
小结
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.
2.方法归纳：公式法、等体积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
随堂演练
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则这个长方体的体积为
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
√
V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
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2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的
√
令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，
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3.棱台的上、下底面面积分别是2和4，高为3，则棱台的体积为________.
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4.如图，已知正四棱锥的底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为____ cm2.
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正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成一Rt△POE.
因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
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本课结束