第八章§8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积
学习目标
1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(重点)
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几
何体的表面积与体积.(难点)
导语
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
三、球的表面积与体积
随堂演练
四、简单几何体的表面积和体积公式的应用
内容索引
圆柱、圆锥、圆台的表面积
一
问题1　圆柱的表面积是围成圆柱的各个面的面积和，大家能说一下圆柱的表面包括哪几部分吗？我们又如何计算它们的面积呢？
提示　圆柱的表面积＝上底面面积＋下底面面积＋侧面面积.
圆柱的上、下底面是大小相等的两个圆.
圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).
则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长.
问题2　如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
提示　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
问题3　如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
提示　圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，
S扇环＝S大扇形－S小扇形＝πR(x＋l)－πrx＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
知识梳理
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝_________
圆锥 底面积：S底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝________
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋转体 圆台 上底面面积：S上底＝ ；
下底面面积：S下底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝__________________
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
问题4　圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
提示　
例1
(1)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.
1
方法一　设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，
所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，
则2πR＝2π，解得R＝1.
方法二　设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，
则πr＝2πR，即r＝2R，
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为___.
3
设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.
反思感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1
若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为
√
由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h＝2r＝3，
所以圆柱的侧面积为2πr·h＝9π.
圆柱、圆锥、圆台的体积
二
问题5　我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
知识梳理
1.
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝_____ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝ Sh＝______ 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝ ＝__________________ 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
πr2h
2.柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)
锥体 V锥体＝ Sh(S为底面面积，h为高)
台体 (S′，S分别为上、下底面面积，h为高)
注意点：
当S＝S′时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
例2
(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
√
√
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为______.
224π
设上底面半径为r，则下底面半径R＝4r，高h＝4r，如图.
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
反思感悟
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解.
跟踪训练2
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的体积为______.
画出示意图，如图所示，
球的表面积与体积
三
知识梳理
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2.球的体积公式V＝ .
4πR2
例3
一个球的表面积是16π，则它的体积是
√
设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.
反思感悟
计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径.
跟踪训练3
将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为_____.
简单几何体的表面积和体积公式的应用
四
例4
球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________.
①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，
反思感悟
球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题.
跟踪训练4
若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为
A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R＋r)2
√
如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，
又OE⊥AB且BO⊥OA，
∴△AEO∽△OEB，
∴OE2＝AE·BE＝rR，
∴球的表面积为4πOE2＝4πrR.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)球的表面积和体积.
(4)简单几何体的表面积和体积公式的应用.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.