第八章 §8.4.1 平面高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
8.4.1　平　面
第八章　§8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.掌握关于平面的基本性质的三个基本事实.(重点)
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.(难点)
导语
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节课，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始.
一、平面的概念、画法及表示
二、基本事实及应用
三、点、线共面问题
随堂演练
四、共线、共点问题
内容索引
平面的概念、画法及表示
一
问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原、宽阔的马路等，你能说出平面的一些几何特征吗？
提示　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等.
问题2　回想我们是怎么用图形和符号表示点和直线的，类似的，我们如何用图形和符号表示平面？
提示　选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图，即平行四边形表示平面.从而用表示平行四边形的符号表示平面.
知识梳理
平面的画法及表示
画法 平面水平放置 平面竖直放置

表示 ①平行四边形的四个顶点：平面 ； ②相对的两个顶点：平面 或平面 ； ③希腊字母：平面 ，平面 ，平面γ
ABCD
AC
BD
α
β
例1
(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
√
√
平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B两种说法是正确的；
C，D两种说法是错误的.
反思感悟
(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；
(2)“平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.
跟踪训练1
下列说法正确的是
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋海面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
√
A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；
B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；
C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；
D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
基本事实及应用
二
问题3　我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？你能从生活中的哪些例子中找到启发？
提示　不在同一条直线上的三点可以确定一个平面；在凹凸不平的地面上，三条腿的凳子比四条腿的凳子更稳定等.
问题4　如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？请同学们利用你身边的小帮手(比如直尺、笔、书桌)来帮你探索这个问题.
提示　如果直线l与平面α有一个公共点P，则直线l不一定在平面内，如果有两个公共点，则直线l在平面内.
问题5　同学们，我们把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点呢？
提示　三角尺所在平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌面，两个平面相交于一条直线.
知识梳理
1.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 _____
点A在直线l外 _____
点A在平面α内 _____
点A在平面α外 _____
直线l在平面α内 _____
直线l不在平面α内 _____
平面α，β相交于直线l ________
A∈l
A l
A∈α
A α
l α
l α
α∩β＝l
2.
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面 A，B，C三点不共线 存在 平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的___ 在一个平面内，那么这条直线在_____ _______ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α _______
有且只有
两
个点
这个
平面内
唯一的
l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
公共直线
3.
推论 文字语言 图形语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
例2
用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
反思感悟
根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练2
(1)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作
A.A∈b∈β B.A∈b β
C.A b β D.A b∈β
√
(2)如图所示，用符号语言可表述为
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
√
点、线共面问题
三
例3
如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
反思感悟
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
共线、共点问题
四
例4
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
如图，连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
又因为A1B綉D1C，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以由基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点.
延伸探究　若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：D，A，M三点共线.
因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD.
所以D，A，M三点共线.
反思感悟
(1)证明三点共线的方法
反思感悟
(2)证明三线共点的步骤
跟踪训练3
如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，
所以M∈α，且M∈β，
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共点.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)基本事实及应用.
(3)共面、共线、共点问题.
2.方法归纳：同一法、纳入法.
3.常见误区：三种语言的相互转换.