第八章§8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系--高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章　§8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
1.了解空间中两直线间的位置关系.(重点)
2.理解空间中直线与平面的位置关系.(重点)
3.掌握空间中平面与平面的位置关系.(难点)
导语
前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
一、空间中直线与直线的位置关系
二、空间中直线与平面的位置关系
三、空间中平面与平面的位置关系
随堂演练
内容索引
空间中直线与直线的位置关系
一
阅读课本第129页完成以下内容.
问题1　观察你所在的教室.
(1)教室内同一列的灯管所在的直线有什么位置关系？
提示　互相平行.
(2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？
提示　既不是平行直线，也不是相交直线.
知识梳理
1.异面直线的定义和画法
(1)定义： 的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个 衬托.
不同在任何一个平面内
平面
2.空间中直线与直线的位置关系
位置关系 是否在同一平面内 公共点个数
共面直线 相交直线 ___ 1
平行直线 是 0
异面直线 ___ 0
是
否
例1
(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
①直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
平行
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
②直线A1B与直线B1C的位置关系是______；
异面
直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
③直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
相交
直线D1D与直线D1C相交于点D1.
④直线AB与直线B1C的位置关系是______.
异面
直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
(2)(课本130页例2)如图，AB∩α＝B，A α，a α，B a.则直线AB与直线a具有怎样的位置关系？为什么？
直线AB与直线a异面.理由如下：
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B∈β，a β.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，
因此平面α与β重合，从而AB α，进而A∈α，这与A α矛盾.
所以直线AB与直线a是异面直线.
反思感悟
(1)判断空间中两条直线位置关系的决窍：建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)判断异面直线的方法
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
图象法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线
跟踪训练1
如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M，P是直线a上的两点，N，Q分别是直线b，c上的一点，判断MN与PQ的位置关系，并说明理由.
MN与PQ为异面直线.理由如下：
方法一　(反证法)假设MN和PQ共面，
设所确定的平面为α，
那么P，Q，M，N和O都在平面α内，
所以直线a，b，c都在平面α内，
这与已知a，b，c不共面矛盾，
所以假设不成立，MN和PQ是异面直线.
方法二　(直接法)因为a∩c＝O，
所以a，c确定一个平面，设为α，
由已知P∈平面α，Q∈平面α，
所以PQ 平面α，
又M∈平面α，且MD PQ，ND 平面α，
所以MN和PQ是异面直线.
空间中直线与平面的位置关系
二
问题2　一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？
提示　(1)直线在平面内——有无数个公共点.
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点.
(3)直线与平面平行——没有公共点.
知识梳理
空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有 公共点 公共点 公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
无数个
有且只有一个
没有
例2
(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
√
直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，
故直线上有无数多个点在平面外.
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是
A.若a∥b，b α，则a∥α
B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α
D.若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
√
√
√
可以借助正方体来判断.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A是假命题；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1与B1C1相交，故B是假命题；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C是假命题；
因为a∥α，所以a与α无公共点，
又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.
反思感悟
在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
跟踪训练2
下列命题中正确的个数是
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
可以借助正方体来判断.
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，
AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′
不平行于BC，故命题②不正确；
假设b与α相交，
因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.
空间中平面与平面的位置关系
三
问题3　拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
提示　有两种.平行、相交.
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.
知识梳理
空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 公共点 有 个公共点(在一条直线上)
符号表示 ______ _________
图形表示
没有
无数
α∥β
α∩β＝l
例3
(多选)以下四个命题中，正确的有
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不
为0，那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平
行或相交
√
√
当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，
即平行于另一个平面，所以A，B错误.
反思感悟
利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
跟踪训练3
(1)已知两直线m，n，两平面α，β，若m α，n β，α∥β，则m与n的位置关系是
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
√
因为α∥β，所以α与β没有公共点，
又m α，n β，所以m与n没有公共点，
则m与n的关系为平行或异面.
(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
√
根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)两直线的位置关系.
(2)直线与平面的位置关系.
(3)平面与平面的位置关系.
2.方法归纳：举反例、特例.
3.常见误区：异面直线的判断.