第八章§8.5.3 平面与平面平行--高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
8.5.3　平面与平面平行
第八章　§8.5　空间直线、平面的平行
学习目标
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.(重点)
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.(难点)
导语
前面我们研究了空间中直线与平面的位置关系，并从文字语言、图形语言、符号语言进行了表述.
类似于直线与平面平行的判定，我们是不是可以把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题呢？
一、平面与平面平行的判定定理
二、平面与平面平行的性质定理
三、平行关系的综合应用
随堂演练
内容索引
平面与平面平行的判定定理
一
问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
提示　三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.
即如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
知识梳理
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a β， ，
，
，b∥α
β∥α
两条相交直线
b β
a∩b＝P
a∥α
图形语言
例1
(1)已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是
A.α，β都平行于直线l，m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D.l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
√
对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；
对B，当α∩β＝a，且在平面α同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；
对C，当l∥m时，不能推出α∥β；
对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，
∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.
(2)(课本140页例4)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D.
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴D1C1綉A1B1，AB綉A1B1，
∴D1C1綉AB.
∴四边形D1C1BA为平行四边形.
∴D1A∥C1B.
又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，
∴D1A∥平面BC1D.
同理D1B1∥平面BC1D.
又D1A∩D1B1＝D1，D1A，D1B1 平面AB1D1，
∴平面AB1D1∥平面BC1D.
延伸探究　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面BDEF.
连接B1D1，NE，如图所示.
∵在△B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，
∴EF∥B1D1，
同理MN∥B1D1，∴MN∥EF，
又∵EF 平面BDEF，MN 平面BDEF，
∴MN∥平面BDEF.
在正方形A1B1C1D1中，N，E分别为A1B1，C1D1的中点，
∴NE綉A1D1，又∵A1D1綉AD，∴NE綉AD，
∴四边形ADEN是平行四边形，
∴AN∥DE，
又∵AN 平面BDEF，DE 平面BDEF，
∴AN∥平面BDEF，
又∵AN∩MN＝N且AN，MN 平面AMN，
∴平面AMN∥平面BDEF.
反思感悟
(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行.
(2)平面与平面平行的判定方法
①定义法：两个平面没有公共点.
②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
③转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
④利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练1
(1)如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是
A.这两个角相等
B.这两个角互补
C.这两个角所在的两个平面平行
D.这两个角所在的两个平面平行或重合
√
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
平面与平面平行的性质定理
二
问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
提示　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.
当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行.
问题3　你能证明你得到的结论吗？
提示　如图，平面α∥β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b.
∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，
∴a α，b β.
又α∥β，
∴a，b没有公共点.
又a，b同在平面γ内，∴a∥b.
知识梳理
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
图形语言
平行
a∥b
例2
(课本141页例5)求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，
求证：AB＝CD.
证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β
分别相交于AC和BD.
∵α∥β，∴BD∥AC，
又AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形.
∴AB＝CD.
反思感悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练2
如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
平行关系的综合应用
三
例3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
如图，连接AC，CD1.
因为四边形ABCD是正方形，且Q是BD的中点，
所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ 平面DCC1D1，CD1 平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
方法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，如图所示，
所以BE∥FO1，BE＝FO1，
所以四边形BEFO1为平行四边形，
所以EF∥BO1.
又EF 平面BB1D1D，BO1 平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，如图所示，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，
FE1，EE1 平面EE1F，
B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
反思感悟
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
跟踪训练3
如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
(3)平行关系的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
随堂演练
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
√
1
2
3
4
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又m α，n β，
∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面.
2.a是平面α外一条直线，过a作平面β，使α∥β，这样的β
A.只能作一个 B.至少可以作一个
C.不存在 D.至多可以作一个
√
1
2
3
4
1
2
3
4
当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，
由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个.
当a与α相交时，设a与α的交点为P，
根据题意知，P∈β，P∈α，则α∩β＝l且P∈l，这与α∥β矛盾，
所以这样的β不存在.
综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面至多有1个.
3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
√
如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，
平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
故此六棱柱的面中互相平行的有4对.
1
2
3
4
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则
＝_____.
1
2
3
4
1
2
3
4
∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
本课结束