第八章 §8.6.1 直线与直线垂直--高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
8.6.1　直线与直线垂直
第八章　§8.6　空间直线、平面的垂直
学习目标
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.
2.理解并掌握异面直线所成的角.(重点)
3.会求任意两条直线所成的角.(难点)
导语
我们知道，空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线.在初中，我们已经研究了平行直线和相交直线.本节课我们一起来探究异面直线吧！
一、异面直线所成的角
二、直线与直线垂直
随堂演练
内容索引
异面直线所成的角
一
问题1　平面内两条直线所成的角的范围是多少？
问题2　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线A′C′与直线AB，直线A′D′与直线AB都是异面直线，直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
提示　不同.我们可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
知识梳理
异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90°
注意点：
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.
(3)找出两条异面直线所成的角，要做平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
例1
如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟
求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练1
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
直线与直线垂直
二
知识梳理
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线____
.直线a与直线b垂直，记作 .
直角
互相
垂直
a⊥b
注意点：
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.
例2
(课本147页例2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD.
如图，连接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴BB1綉DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴B1D1∥BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1.
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点，
∴AO1⊥B1D1.
∴AO1⊥BD.
反思感悟
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直.
跟踪训练2
如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成的角为∠BEF，
在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)异面直线所成的角.
(2)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：容易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.